人教版2023年九年級上冊21.2 解一元二次方程 同步練習(xí)（含解析）

第第頁人教版2023年九年級上冊21.2解一元二次方程同步練習(xí)（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺

人教版2023年九年級上冊21.2解一元二次方程精選同步練習(xí)

一、選擇題

1．一元二次方程配方后可化為（）

A．B．

C．D．

2．方程的解是（）

A．B．C．，D．，

3．若分式的值為零，則x的值是（）

A．B．3C．2D．3或

4．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A．B．C．且D．且

5．下列一元二次方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A．B．

C．D．

6．利用公式法求解可得一元二次方程式的兩解為、，且，求a值為何（）

A．B．C．D．

7．，是方程的兩實數(shù)根，則代數(shù)式的值為（）

A．1B．2C．3D．0

8．若菱形的一條對角線長為10，邊的長是方程的一個根，則該菱形的周長為（）

A．20B．24C．20或24D．48

9．一元二次方程的兩根為，則的值為（）

A．B．C．3D．

10．若整數(shù)，使成立，則滿足條件的，的值有（）

A．4對B．6對C．8對D．無數(shù)對

二、填空題

11．一元二次方程的根的情況是．

12．將配方成形式，則．

13．關(guān)于x的一元二次方程的解的解為．

14．方程的判別式Δ＝．

15．對于實數(shù)u、v定義一種運算“*”為：．若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)a的值為．

16．已知關(guān)于的方程的兩個根為，，則．

三、解答題

17．按要求解方程

(1)（直接開平方法）；

(2)（配方法）；

(3)（公式法）

(4)（因式分解法）

(5)（換元法）

18．解下列方程：

(1)；

(2)．

19．已知關(guān)于的一元二次方程．

(1)求證：無論取何值，方程總有實數(shù)根；

(2)若是方程的兩根，且，求的值．

20．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，．

(1)求的取值范圍；

(2)當(dāng)時，求另一個根的值．

21．已知關(guān)于的方程．

(1)求證：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；

(2)若等腰的底邊長，另兩邊、恰好是這個方程的兩個根，求的周長．

22．閱讀材料：

材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，則．

材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，求的值．

解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，

∴，，

則．

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，則_________，_________．

(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為，求的值．

(3)思維拓展：已知實數(shù)滿足，，且，求的值．

參考答案

1．B

【分析】方程變形后，利用完全平方公式化簡即可得到答案．

【詳解】解：，

,

,

,

故選：B．

【點睛】本題考查解一元二次方程—配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．

2．C

【分析】移項后利用因式分解法求解即可．

【詳解】解：移項得：，

因式分解得：，

所以或，

∴，

∴，，

故選：C．

【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題的關(guān)鍵．

3．B

【分析】根據(jù)分式值為0的條件得出，分別求解即可得出結(jié)論．

【詳解】解：分式的值為零，

，

由①得或，

由②得且，

綜上所述，x的值是

故選：B．

【點睛】本題考查分式值為零的條件，解出相關(guān)方程與不等式準(zhǔn)確得出結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵．

4．C

【分析】由關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，知且，解之即可．

【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，

且，

解得且，

故選：C．

【點睛】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．

5．C

【分析】逐項分析四個選項中一元二次方程根的判別式的符號，由此即可得出結(jié)論．

【詳解】解：A.在中，，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故A不符合題意；

B.在中，，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故B不符合題意；

C.在中，，所以該方程有兩個相等的實數(shù)根，故C符合題意；

D.將整理得：，，所以該方程有兩個相等的實數(shù)根，故D不符合題意，

故選：C．

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根．

6．D

【分析】利用公式法即可求解．

【詳解】解：，

這里，，，

△，

，

一元二次方程式的兩解為、，且，

的值為．

故選：D．

【點睛】本題考查了解一元二次方程公式法，能熟練運用公式法解答方程是解此題的關(guān)鍵．

7．D

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，將代數(shù)式化簡，然后代入即可求解．

【詳解】解：∵，是方程的兩實數(shù)根，

∴，

∴

，

故選：D．

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8．B

【分析】解方程得出或，分兩種情況：①當(dāng)時，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)時，，即可得出菱形的周長．

【詳解】解：如圖所示：

∵四邊形是菱形，

∴，

∵，

因式分解得：，

解得：或，

分兩種情況：

①當(dāng)時，，不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)時，，能構(gòu)成三角形，

∴菱形的周長．

故選：B．

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．

9．C

【分析】先求得，，再將變形，代入與的值求解即可．

【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，

∴，

∴

．

故選C．

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記，是解決本題的關(guān)鍵．

10．C

【分析】先化簡可得，設(shè)，則；然后求得a的值，最后列舉出符合題意的，的整數(shù)值即可解答．

【詳解】解：由，設(shè)，則，

∴，即，解得：或（舍棄），

∴．

∴滿足條件的，的整數(shù)值有：

，，，，，，，，共8對．

故選C．

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知識點，掌握二元一次方程的解是解答本題的關(guān)鍵．

11．無實數(shù)根

【分析】根據(jù)根的判別式，可知一元二次方程無實數(shù)根．

【詳解】∵一元二次方程

∴

∴方程無實數(shù)根．

故答案為：無實數(shù)根．

【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．當(dāng)判別式時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式時，一元二次方程沒有實數(shù)根．

12．

【分析】先將常數(shù)項移到方程的右邊，然后兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．

【詳解】解：，

∴，

∴，

即，

∴，

故答案為：．

【點睛】本題考查了用配方法解方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．

13．，

【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．

【詳解】解：∵，

∴，

∴或，

解得，，

故答案為：，．

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．

14．4

【分析】根據(jù)根的判別式△計算即可．

【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，

．

故答案為：4．

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式．注意判別式△中的字母所表示的意義．

15．0

【分析】由于定義一種運算定“*”為：，所以關(guān)于x的方程變?yōu)?，而此方程有兩個相等的實數(shù)根，所以根據(jù)判別式和一元二次方程的一般形式的定義可以得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可解決問題．

【詳解】解：由，得，

即，

∵關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，

∴，

∴，

解得．

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的判別式，解題時首先正確理解定義的運算法則得到關(guān)于x的方程，然后根據(jù)判別式和一元二次方程的定義得到不等式組解決問題．

16．3

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入計算即可得出結(jié)論．

【詳解】解：∵方程的兩個根為，，

∴，，

∴，

故答案為：3．

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出，．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該類型題目時，只需能熟練的運用根與系數(shù)的關(guān)系即可．

17．(1)，

(2)，

(3)，

(4)或

(5)，

【分析】（1）先移項，變成，然后直接開平方；

（2）把方程的二次項系數(shù)化為1，移項，然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解；

（3）找出方程中二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；

（4）將方程整理為，然后通過提取公因式進行因式分解，再求解即可；

（5）先令，則原方程變形為，運用因式分解法解得，，再把和3分別代入得到關(guān)于的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．

【詳解】（1）解：，

，

，

，

∴，；

（2），

，

，

，

，

∴，；

（3），

，，，

，

∴，

∴，；

（4），

，

，

，

，

∴或，

∴或；

（5），

令，則原方程變形為，

即：，

解得：，，

當(dāng)時，，解得：，

當(dāng)時，，解得：，

∴原方程的解為：，．

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法、公式法、因式分解法、配方法、換元法是解題的關(guān)鍵．

18．(1)，

(2)，

【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；

（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．

【詳解】（1）解：．

．

或．

，．

（2），

，，．

．

．

，．

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．

19．(1)見解析

(2)的值為或

【分析】（1）根據(jù)根的判別式進行證明即可；

（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，由得到，從而得到或，分情況進行討論即可得到答案．

【詳解】（1）證明：，

無論取何值，方程總有實數(shù)根；

（2）解：是方程的兩根，

，

，

，

或，

當(dāng)時，，

解得：，

當(dāng)時，即，

，

解得：，

綜上所述：的值為或．

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．

20．(1)的取值范圍是；

(2)另一個根的值是．

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求出答案；

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．

【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，

∴，

解得：，

∴的取值范圍是；

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，

∴，

∵，

∴，

∴另一個根的值是．

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；式子是一元二次方程根的判別式，方程有兩個不等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程無實數(shù)根．掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

21．(1)見解析

(2)5

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，由此即可證出：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則該方程有兩個相等實數(shù)根，求出m的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及三角形的周長公式即可求出的周長．

【詳解】（1）證明：，

無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；

（2）解：∵等腰的底邊長，

∴，

∵、恰好是這個方程的兩個根，

∴該方程的根有兩個相等實數(shù)根，

∴

解得：，

原方程為，

解得：．

、2、1能組成三角形，

該三角形的周長為．

【點睛】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．

22．(1)，

(2)

(3)

【