浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件一二章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

教材：浙江大學(xué)盛驟謝世千潘承毅編高等教育出版社數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材：浙江大學(xué)盛驟謝概率論--------研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。

序言概率論是研究什么的？?隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性2概率論--------研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。

概率論3概率論3關(guān)鍵詞：

樣本空間 隨機(jī)事件 頻率和概率

古典概型 條件概率 事件的獨(dú)立性第一章概率論的基本概念4關(guān)鍵詞：第一章概率論的基本概念4§1隨機(jī)試驗(yàn)確定性現(xiàn)象：結(jié)果可以預(yù)言。不確定性現(xiàn)象：結(jié)果事先不能預(yù)言自然界與社會(huì)生活中的現(xiàn)象按照結(jié)果能否預(yù)言分為兩類一類是確定性現(xiàn)象；一類是隨機(jī)現(xiàn)象。5§1隨機(jī)試驗(yàn)自然界與社會(huì)生活中的現(xiàn)象按照結(jié)果能否預(yù)言分為一在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會(huì)從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實(shí)例確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果在一定條件下必然發(fā)生“太陽不會(huì)從西邊升起”,1.確定性6在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例17結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會(huì)各不相同”.結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,實(shí)例38實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果實(shí)例4“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品92.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量10§1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的例子E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2:擲兩顆骰子，E3:記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)；在區(qū)間上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。E6:E5:記錄某物理量的測(cè)量誤差；E4:在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命；觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；§1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的例子E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、11

上述試驗(yàn)的特點(diǎn)：1.試驗(yàn)的可重復(fù)性——可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性——一次試驗(yàn)之前無法確定具體

是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。3.全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性——所有可能的結(jié)果是預(yù)先可知的。

在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示。

上述試驗(yàn)的特點(diǎn)：12§2樣本空間·隨機(jī)事件(一)樣本空間

定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素，即為E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)

下面分別寫出§1上述各試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況E2:擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)E3:記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)在區(qū)間上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)E6:E5:記錄某物理量的測(cè)量誤差E4:在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命13§2樣本空間·隨機(jī)事件(一)樣本空間下面分別寫出§1上述(二)隨機(jī)事件

一般我們稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡稱事件.當(dāng)且僅當(dāng)這一子集所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生.

S＝{0,1,2,…}；例：觀察221路公交車西華大學(xué)站候車人數(shù)，

如果將S亦視作事件，則每次試驗(yàn)S總是發(fā)生，故又稱S為必然事件。記A＝{至少有10人候車}＝{10,11,12,…}S，A為隨機(jī)事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含任何樣本點(diǎn)。

14(二)隨機(jī)事件S＝{0,1,2,…}；例：觀察221路公

我們把必然事件和不可能事件看成是隨機(jī)事件的極端情況，則基本事件、復(fù)雜事件、必然事件和不可能事件就是隨機(jī)事件。由前面得知：（1）基本事件的全體組成了樣本空間；（2）隨機(jī)事件由若干基本事件構(gòu)成，它是樣本空間的子集；（3）樣本空間就是必然事件，都用Ω表示；（4）空集為不可能事件，都用φ表示。我們把必然事件和不可能事件看成是隨機(jī)事件的極端情況，15ΩBA如右圖：ΩBA如右圖：16ABA+B如圖所示:ABA+B如圖所示:17浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章18AB如圖所示：ABAB如圖所示：AB19浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章20A-BBA-B

A-BBA-B21ABAB=φAABAB=φA22浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章23也稱為對(duì)偶律也稱為對(duì)偶律24

“和”、“交”關(guān)系式2525例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示26

§3頻率與概率

1.理解事件頻率的概念，了解概率的定義；2.熟練掌握概率的性質(zhì)；3.掌握古典概型的計(jì)算。

§3頻率與概率

1.理解事件頻率的概念，了解概率的27

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是28

了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.29

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？

我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傺a(bǔ)充幾個(gè)例子.了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意30

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.31

了解來商場(chǎng)購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解來商場(chǎng)購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員32(一)頻率的定義頻率：(一)頻率的定義頻率：33**頻率的性質(zhì)：且隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

34**頻率的性質(zhì)：34拋擲錢幣試驗(yàn)記錄試驗(yàn)者拋幣次數(shù)n

“正面向上”次數(shù)

頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗(yàn)記錄試驗(yàn)者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率35

注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為36（二）概率的定義（二）概率的定義37(三)概率的性質(zhì)(三)概率的性質(zhì)38(三)概率的性質(zhì)(三)概率的性質(zhì)39例例40例例41例例42例

設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，且求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解已知由故得所求概率為例設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，且求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的43若某實(shí)驗(yàn)E滿足：1.有限性：樣本空間含有有限個(gè)樣本點(diǎn);2.等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有則稱E為古典概型也叫等可能概型.它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對(duì)象，所以也稱為古典概型§4等可能概型（古典概型）若某實(shí)驗(yàn)E滿足：§4等可能概型（古典概型）44古典概型中事件概率的計(jì)算公式:根據(jù)概率的有限可加性知：于是對(duì)任意一個(gè)隨機(jī)事件A,如果A是r個(gè)基本事件的和，即古典概型中事件概率的計(jì)算公式:根據(jù)概率的有限可加性知：于是對(duì)45則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則P(AB

)＝P(A)＋P(B)也即則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0P(A)1；也即46例1:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概={H47浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章48浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章49

可解析為一個(gè)64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為99.7%．有許多問題和本例具有相同的數(shù)學(xué)模型例如：若取n＝64，N＝365

再如：一單位有5個(gè)員工，一星期共七天，讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息，求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的概率。

解：將5為員工看成5個(gè)不同的球，7天看成7個(gè)不同的盒子，記A={無2人在同一天休息}， 則由上例知：50 可解析為一個(gè)64人的班上，至少有兩人在同一天過有許多問例5:(抽簽問題)一袋中有a只紅球，b只白球，個(gè)人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽樣；（2）作不放回抽樣，求第i(i=1,2,…,k)人取到白球（記為事件B）的概率（k=a+b）

解(1)：放回抽樣。顯然有

51例5:(抽簽問題)51解（2）不放回抽樣

①②…n可以是①號(hào)球，亦可以是②號(hào)球……是號(hào)球

n

可設(shè)想將a+b=n個(gè)球進(jìn)行編號(hào)，其中前面a個(gè)為白球

視的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn)，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等。

----------與k無關(guān)解1：設(shè){第k人取到白球}，k＝1,2,…,a+b．52解（2）不放回抽樣①②…n可以是①號(hào)球，亦可以是②號(hào)球……解2

將第k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)：此值不僅與k無關(guān)，且與a，b都無關(guān)，若a＝0呢？對(duì)嗎？

為什么？原來這不是等可能概型①，②，…，nS＝{}，①，②，…，a{}{紅色}解3：記第k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn)：

S＝{紅色,白色}，

53解2 將第k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)：此值不僅與k無關(guān)，浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章54

解：

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為

212/712=0.0000003.

例8：

某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?55 解：例8：55但是：切記：小概率事件是會(huì)發(fā)生的，小概率事件一旦發(fā)生后果“不堪設(shè)想”比如：中彩票和車禍，人生的大喜大悲呀

人們?cè)陂L期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。56但是：切記：小概率事件是會(huì)發(fā)生的， 人們?cè)陂L期的實(shí)踐中總例1：箱中有同型的7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，無放回地取兩次，每次取1件。(1)求第2次取到次品的概率；(2)已知第1次取到的是正品，求第2次取到次品的概率。解:(1)設(shè)A=“第1次取到的是正品”B=“第2次取到次品”§5條件概率例1：箱中有同型的7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，無放回地57(2)因?yàn)橐呀?jīng)知道第1次取到正品，所以剩下的6件產(chǎn)品中有3件次品(2)因?yàn)橐呀?jīng)知道第1次取到正品，所以剩下的6件產(chǎn)品中有58例2已知一個(gè)人活到60歲的概率為0.8，能活到90歲的概率為0.3?，F(xiàn)在一個(gè)人已經(jīng)60歲了，問他能活到90歲的概率.例2已知一個(gè)人活到60歲的概率為0.8，能活到90歲的概59解：設(shè)A=“一個(gè)人能活到60歲”

B=“一個(gè)人能活到90歲時(shí)”則：B|A=“已活到60歲還能活到90歲”解：設(shè)A=“一個(gè)人能活到60歲”則：B|A=“已活到60歲還60“條件概率”是“概率”嗎？不難驗(yàn)證，條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件，

(1)非負(fù)性；對(duì)于每一個(gè)事件P(B|A)≥0；(2)規(guī)范性；對(duì)于必然事件S，有P(S|A)＝1;(3)可列可加性：設(shè)B1，B2，…,是一列兩兩互不相容的事件，則有P(B1

B2

…|A

)＝P(B1|A)＋P(B2|A

)+….既然符合，則概率中的一些重要結(jié)果都適用于條件概率例如：?“條件概率”是“概率”嗎？不難驗(yàn)證，條件概率符合概率定義中的61

由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。

例如：二、乘法公式

當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)：62 由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。二、乘法公二、乘法公式（p16）設(shè)，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(5.3）式(5.3）就稱為事件A、B的概率乘法公式。

還可推廣到三個(gè)事件的情形：P（AB）>0

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：P(A1A2…An-1)>0

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)二、乘法公式（p16）設(shè)，P（A）>0,則還可推63

例3袋中有r只紅球，t只白球,每次從袋中任取一只，觀察顏色后放回，再放入a只與所取球顏色相同的球，若從袋中連續(xù)取球4次,求第1、2次取到紅球且第3、4次取到白球的概率。解：設(shè)Ai為第i（i=1,2,3,4）次取球時(shí)取到紅球，則例3袋中有r只紅球，t只白球,每次從袋中任取一只，觀察顏64解：設(shè)Ai={這人第i次通過考核}，i=1,2,3 A={這人通過考核}，

例4：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如果第一次未通過就去參加第二次，這時(shí)能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時(shí)能通過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。亦可：

65解：設(shè)Ai={這人第i次通過考核}，i=1,2,3

例5：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式與不相容（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣：

解： 設(shè)Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2B={取2張恰是一紅一黑}66例5：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不三、全概率公式與Bayes公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件。若：則稱B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。67三、全概率公式與Bayes公式B1B2BnS即：B1,B2,

定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。為S的一個(gè)劃分，則稱：

為全概率公式

證明:

A68定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。為全概率公式浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章69

例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；2)

若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。

Bayes公式全概率公式解：設(shè)A={甲出差}，B={乙出差}70例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為Bay例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽性}，C={被診斷患有癌癥}則有： 現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患癌的概率為0.005，即P(C)=0.005，試求解：已知由貝葉斯公式此例說明1000個(gè)陽性反應(yīng)的人中大約有87人確患有癌71例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概72§6獨(dú)立性

例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2次,每次取1件，設(shè)A={第1次取到正品}，B={第2次取到正品}不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)，

即放回抽樣時(shí)，A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生概率不影響 同樣，A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生概率不影響

73§6獨(dú)立性例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件定義1設(shè)A，B是兩事件，若則稱事件A與B相互獨(dú)立.一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義1設(shè)A，B是兩事件，若則稱事件A與B相互獨(dú)立.一74

定理一設(shè)A、B是兩事件，P(A)≠0,若A與B相互獨(dú)立，則

P(B)＝P(B|A)反之亦然定理一設(shè)A、B是兩事件，P(A)≠0,若A與B相75例2：甲、乙二人射擊一目標(biāo)，擊中概率分別為0.8和0.9,今個(gè)射擊一次，求目標(biāo)被擊中的概率。解：設(shè)A={甲擊中目標(biāo)}，B={乙擊中目標(biāo)}，則A+B={目標(biāo)被擊中}，且A與B相互獨(dú)立。

p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98例2：甲、乙二人射擊一目標(biāo)，擊中概率分別為0.8和0.9,今76二、多個(gè)事件的獨(dú)立性注意：前三個(gè)等式不能推出第四個(gè)等式；這四個(gè)等式必須同時(shí)滿足，才能保證A,B,C相互獨(dú)立。二、多個(gè)事件的獨(dú)立性注意：前三個(gè)等式不能推出第四個(gè)等式；這四771：如果從n個(gè)事件相互獨(dú)立則其中任取k個(gè)事件（k≤n），都相互獨(dú)立。2：如果n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意k個(gè)事件（k≤n）換成它們的對(duì)立事件仍相互獨(dú)立。一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k(1kn),任意的

，具有等式、則稱n個(gè)事件

相互獨(dú)立。兩個(gè)推論1：如果從n個(gè)事件相互獨(dú)立則其中任取k個(gè)事件（k≤n），都相78例：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率。

143279例：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元143279

例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為

，

問對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利，設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立80例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為80總結(jié)：81總結(jié)：81第二章隨機(jī)變量及其分布

關(guān)鍵詞：

隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)82第二章隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞：822.1隨機(jī)變量的概念

定義.

設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。2.1隨機(jī)變量的概念定義.設(shè)S={e}是試驗(yàn)83說明說明84例1：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況，樣本空間是

以X記三次投擲得到正面H的總數(shù)，那么，對(duì)于樣本空間S={e}中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e,X都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。X是定義在樣本空間S上的一個(gè)實(shí)值單值函數(shù)，它的定義域在樣本空間S上，值域是實(shí)值函數(shù)集合{0,1,2,3}.使用函數(shù)記號(hào)可將X寫成例1：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面以X85隨機(jī)變量的取值隨隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率.這也顯示了隨機(jī)變量和普通變量有著本質(zhì)的區(qū)別。

例如在例1中X取值為2，記成{X=2}對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合A={HHT,HTH,THH},這是一個(gè)事件，而且當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有{X=2}則：隨機(jī)變量的取值隨隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一86例盒中有5個(gè)乒乓球,其中2個(gè)白球，3個(gè)黃球,從中任取3個(gè),記X=“取到白球的個(gè)數(shù)”則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X的可能取值是0,1,2,且有例盒中有5個(gè)乒乓球,其中2個(gè)白球，3個(gè)黃87例

上午8:00～9:00

在某路口觀察，令Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．例上午8:00～9:00在某路口觀察，令表示通過的

關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．

也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．

變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量.關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)89隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量

對(duì)于隨機(jī)變量，主要介紹常見的兩大類：離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的分類：對(duì)于隨機(jī)變量，主要介紹常見的兩大類90定義1若r.v的所有可能取到值是有限個(gè)或可列無限個(gè),則稱這樣的r.v為離散型r.v.

對(duì)于離散型r.v，主要討論它的所有可能取值以及取這些值的概率，即概率的分布情況?！?離散型隨機(jī)變量及其分布律定義1若r.v的所有可能取到值是有限個(gè)或可列無限個(gè)91

上述表中X值應(yīng)該從小到大，沒有重復(fù)上述表中X值應(yīng)該從小到大，沒有重復(fù)92

反之，具有以上性質(zhì)的pk，一定可以作為某個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律。反之，具有以上性質(zhì)的pk，一定可以作為某個(gè)離散型隨機(jī)變量93

例2

設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率為p,以X表示汽車首次停下時(shí)已通過信號(hào)燈的盞數(shù),求X的分布律.例2設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈94同理可求得同理可求得951.(0-1)分布

若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或三、三種重要的離散型隨機(jī)變量1.(0-1)分布三、三種重要的離散型隨機(jī)變量96

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩97例200

件產(chǎn)品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布.于是,4

件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定例200件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0.98

定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).2.伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件99

例：

1.獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果：正面，反面，

2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A={得到1點(diǎn)}，則每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：

3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A={取到紅牌}則每次只有兩個(gè)結(jié)果：100 例： 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A={得到1點(diǎn)}，則設(shè)X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，101二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn):對(duì)于固定及當(dāng)增加時(shí),概率先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn):對(duì)于固定及當(dāng)增加時(shí),概率先是隨之增加直至102例2按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知某批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級(jí)品的概率為多少？記X為20只元件中一級(jí)品的只數(shù),解例2按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的103浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章104浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章105例4：

設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。106例4：106107107三、Poisson分布若r.v.X的分布律為:

則稱X服從參數(shù)為λ的泊淞(Poisson)分布記為X~P(λ)例如：一本書一頁中印刷的錯(cuò)誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)，車流量，車站單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)，商店的顧客等都服從poisson分布三、Poisson分布若r.v.X的分布律為:則稱X服108泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀109電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水110浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章111浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章112§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義

設(shè)X是隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)＝P{Xx}.記為F(x)，即稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)0xxX幾何定義：§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.113對(duì)于任意實(shí)數(shù)因此，若已知變量的分布函數(shù)，我們就知道變量落在任意區(qū)間上的概率，從這個(gè)意義上說，分布函數(shù)完整的描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.對(duì)于任意實(shí)數(shù)因此，若已知變量的分布函數(shù)，我們就知道變量落在任114分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即(2)對(duì)任115

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.v116浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章117浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章118浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章1191-10231上題分布函數(shù)的圖形為：1-10231上題分布函數(shù)的圖形為：120其分布函數(shù)為即，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，一般的，對(duì)離散型隨機(jī)變量其分布函數(shù)為即，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，一般的，對(duì)離散型隨機(jī)121例判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在

上單調(diào)下降,不可能是分布函數(shù).所以解例判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在122

1.概率密度定義

對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1.概率密度定義對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x123xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義1242.密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性反之，滿足以上兩條性質(zhì)的函數(shù)p(x)就可以作為某個(gè)連續(xù)型RV.的概率密度。2.密度函數(shù)的性質(zhì)反之，滿足以上兩條性質(zhì)的函數(shù)p(x)就125（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)

，（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)126

與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似注：連續(xù)r.v.在任何一點(diǎn)的概率都為0,但它不是不可能事件127與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似注：連續(xù)r.v浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章128浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章129浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章130浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章131三種重要的概率分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布.1、均勻分布三種重要的概率分布：1、均勻分布13211133浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章134例

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位例某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即7135所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.

從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站。為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.136（二）指數(shù)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。（二）指數(shù)分布137指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1138

服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通?？山忉尀槟撤N壽命,如果已知壽命長于S年,則再活t年的概率與年齡S無關(guān),亦稱指數(shù)分布具有“無記憶性”.服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通常可解釋為139見P45（三）正態(tài)分布定義：X的概率密度為其中為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或(Gauss分布)記為可以驗(yàn)算：140見P45（三）正態(tài)分布定義：X的概率密度為其中為常數(shù)，稱X服正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征141浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章142浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章143正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)144標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)145標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形146標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點(diǎn)147標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點(diǎn)148例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=149一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)隨機(jī)變量：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換（1）一般正態(tài)隨機(jī)變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)之間的關(guān)系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)隨機(jī)變量：X~150浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件一二章151引理：若，則證明：令，得到