隨機(jī)變量RandomVariables課件

第二章隨機(jī)變量

RandomVariables隨機(jī)變量RandomVariables課件

為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在第一章中我們學(xué)習(xí)了如下基本概念為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在第一章中我們學(xué)習(xí)了如E:隨機(jī)試驗(yàn)S:樣本空間我們常常關(guān)心樣本空間S的某些子集，如從某型電子元件中任取一件,觀測其壽命(E)，S={t:t0},我們關(guān)心諸如{t:1500t2000},{t<1000}等子集:我們把這些子集和S

的一些其他子集作為元素，組成一個(gè)大的集合，稱其為事件域，將事件域中每一個(gè)元素稱為E的隨機(jī)事件P:R1

AP(A)滿足三條公理E:隨機(jī)試驗(yàn)S:樣本空間我們常常關(guān)心樣本空間S的某問題第一章研究的是對試驗(yàn)E求P(A)，只是孤立的研究一個(gè)個(gè)事件，對E的全貌不了解。同時(shí)，A是集合，P(A)是數(shù)，無法用圖形和其他數(shù)學(xué)工具，對其研究受到限制。因此為了深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象，認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的整體性質(zhì)，需要全面地研究隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E中事件的概率首先，如何能夠系統(tǒng)而全面地描述E的隨機(jī)事件呢？——我們能否引入一個(gè)變量（即數(shù)），當(dāng)它取不同的值時(shí)，或許可以表達(dá)不同的隨機(jī)事件？

S的某些樣本點(diǎn)組成的集合問題第一章研究的是對試驗(yàn)E求P(A)，只是孤立的研究一個(gè)個(gè)即引入樣本空間到實(shí)數(shù)域上的一個(gè)映射.X()R因此，我們需要根據(jù)問題的性質(zhì)，通過引入一個(gè)變量，來描述隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)。

即引入樣本空間到實(shí)數(shù)域上的一個(gè)映射.X()R因此，我們需例1.擲一枚硬幣，觀察其面朝上的情況(E)樣本空間:S={正面，反面}X(正面）=1，X（反面）=0定義映射X:SR1其中,滿足:

{:X()=1}={出現(xiàn)正面}，{：X()=0}={出現(xiàn)反面}X的取值是隨機(jī)的，但是我們知道它所有的可能的取值為{0，1}X為擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)例1.擲一枚硬幣，觀察其面朝上的情況(E)樣本空間例2.對于某型電子元件，任抽一件，觀測其壽命(E)

樣本空間，S={t:t0}定義映射X:SR

tt

X在某一范圍內(nèi)的取值可以表達(dá)E中的事件，如

{:X()[a,b]}={t:t[a,b]}其可能取值的范圍為[0，+）X為任抽一電子元件的壽命。例2.對于某型電子元件，任抽一件，觀測其壽命(E)§2-1隨機(jī)變量

定義：

設(shè)(S，，P)是一概率空間，若X為樣本空間S到實(shí)數(shù)域R1上的映射：滿足：xR1,有{:X()x}則稱X()為(S,,P)上的一個(gè)隨機(jī)變量。常常將{：X()x}簡記為（Xx）。

X：S

R1

X()

隨機(jī)變量常用大寫字母X,Y,Z表示，小寫字母x,y,z表示實(shí)數(shù)§2-1隨機(jī)變量定義：設(shè)(S，，P)是一概率空間，引入隨機(jī)變量X以后，就可以用X來描述事件。一般地，設(shè)L是實(shí)數(shù)域上一集合，將X在L上的取值寫成{XL},它表示事件{XL}

={:X()L}{:X()L}即引入隨機(jī)變量X以后，就可以用X來描述事件。一般地，設(shè)隨機(jī)變量與一般實(shí)函數(shù)的差別：

1.

X隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值。2.定義域不同其定義域?yàn)闃颖究臻gS，是一個(gè)集合，自變量是樣樣本點(diǎn)，與數(shù)學(xué)上的定義方式有所區(qū)別隨機(jī)變量與一般實(shí)函數(shù)的差別：1.X隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而

隨機(jī)變量的引入，使我們能用隨機(jī)變量來描述各種隨機(jī)現(xiàn)象，并且有可能利用數(shù)學(xué)分析的方法來對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行深入廣泛的研究和討論。隨機(jī)變量的引入，使我們能用隨機(jī)變量來描述引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概§2-2離散型隨機(jī)變量

1

定義

若隨機(jī)變量X所有可能的取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。否則稱為非離散型隨機(jī)變量。

§2-2離散型隨機(jī)變量1定義若隨2.離散型隨機(jī)變量的分布

定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為x1，x2，…，xn，…，且X取這些值的概率為

P(X=xi)=pi,i=1,2,...（2.1）則稱（2.1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。DiscreteRandomVariables2.離散型隨機(jī)變量的分布定義：若隨機(jī)變量X所(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:上述表格稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩陣的形式Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:上述表格稱為離散型隨性質(zhì)

(1)pi0,i=1，2，...(2)性質(zhì)(1)pi0,i=1，2，...(例3.一汽車沿一街道行駛，需要通過四個(gè)均設(shè)有信號燈的路口，每個(gè)信號燈以概率p允許通過，設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的。以X表示該汽車首次停下時(shí)，它已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解：X所有可能的取值為：0，1，2，3，4X=0表示經(jīng)過的路口為0，即第一個(gè)信號燈就不允許通過，其概率為1-p

即：P(X=0)=1-pX=1表示通過的路口為1個(gè)，即第一個(gè)信號燈允許通過，第二個(gè)不允許通過，且信號定獨(dú)立工作，故其概率為p(1-p)即：P(X=0)=p(1-p)例3.一汽車沿一街道行駛，需要通過四個(gè)均設(shè)有信號燈的路口，同樣的方法可求故X的分布律為同樣的方法可求故X的分布律為例4設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為1,2,...,n，且已知P(X=k)與k成正比，求X的分布;解：由題意知：P(X=k)=b.k，現(xiàn)在要求b由離散性隨機(jī)變量的性質(zhì)知：b+2b+3b+┄+nb=1解得：故X的分布律為例4設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為1,2,...,n，且已知

例5設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123P1/41/21/4求P(X1/2),P(3/2<X

5/2),P(2

X3)解：P(X1/2)=P(X=-1)=1/4P(3/2<X

5/2)=P(X=2)=1/2P(2

X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/4=3/4例5設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123P1/一般地，設(shè)L

是實(shí)數(shù)域上一集合，則有一般地，設(shè)L是實(shí)數(shù)域上一集合，則有3幾種常見的離散型隨機(jī)變量(1)單點(diǎn)分布例6若隨機(jī)變量X只取一個(gè)常數(shù)值C，即P(X=C)=1，則稱X服從單點(diǎn)分布。3幾種常見的離散型隨機(jī)變量(1)單點(diǎn)分布例6若隨機(jī)例7若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值0或1，其分布為X01Pqp(2)0-1分布0<p<1,q=1-p，或記為

P(X=k)=pkq1-k,k=0,1則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或參數(shù)為p的0-1分布。例7若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值0或1，其分布為X01Pq設(shè)在一次伯努利試驗(yàn)中有兩個(gè)可能的結(jié)果，A與SA，且有P(A)=p。則在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為(3)二項(xiàng)分布0,1,2,,n,

稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為

k=設(shè)在一次伯努利試驗(yàn)中有兩個(gè)可能的結(jié)果，A與S例8已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中有放回地抽取20只，問20只元件中恰有k(k=0，1,2,…,20)只一級品的概率是多少？解：易知這是n=20的20重貝努利實(shí)驗(yàn)，且事件A為任取一件元件為一級品，P(A)=0.2設(shè)20只元件中一級品的個(gè)數(shù)用X表示，則易知故例8已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中有放回地抽取2隨機(jī)變量RandomVariables課件(c)b(6，0.3)的線條圖(c)b(6，0.3)的線條圖當(dāng)k取什么值時(shí)，P(X=k)達(dá)到最大？

設(shè)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布k=0,1,2,,n,

當(dāng)k取什么值時(shí)，P(X=k)達(dá)到最大？設(shè)X服從

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí)，在

k=[(n+1)p]與[(n+1)p]–1處的概率取得最大值

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時(shí)，在

k=[(n+1)p]

處的概率取得最大值

對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布；固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí)，在k=[((4)幾何分布

例9一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈，打中的概率為p(0<p<1),不中的概率為q=1p。今向靶作獨(dú)立重復(fù)射擊，直到中靶為止，則消耗的子彈數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為X123…k…或記為

P(X=k)=qk-1p,k=1,2,...稱X服從參數(shù)為p的幾何分布。Ppqpq2p…qk-1p(4)幾何分布例9一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈，打中的(5)超幾何分布例10設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n(假定nN-M)件，則這n件中所含的次品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為0,1…,l,l=min(M,n)

稱X服從超幾何分布

m=(5)超幾何分布例10設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，例11已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中不放回地抽取20只，問20只元件中恰有k(k=1,2,…,20)只一級品的概率是多少？解：（一）可看作超幾何分布來計(jì)算設(shè)產(chǎn)品總數(shù)為N，則一級品數(shù)為0.2N，20只元件中一級品的個(gè)數(shù)為X：則（二）當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)近似看成二項(xiàng)分布來進(jìn)行計(jì)算例11已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中不放回地抽取(6)泊松分布

定義:若離散型隨機(jī)變量X的分布律為

k=0，1，2，其中常數(shù)

>0，

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X()。(6)泊松分布定義:若離散型隨機(jī)變量X的分布律為k隨機(jī)變量RandomVariables課件在一定時(shí)間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；電話總機(jī)接到的電話次數(shù)；應(yīng)用場合一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；等等在一定時(shí)間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；電話總假設(shè)電話交換臺每小時(shí)接到的呼叫次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布，求(1)

每小時(shí)恰有4次呼叫的概率(2)一小時(shí)內(nèi)呼叫不超過5次的概率例12解：由泊松分布的定義知：假設(shè)電話交換臺每小時(shí)接到的呼叫次數(shù)X服從參數(shù)=34二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系，二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系定理1設(shè)0<p<1，對固定的正整數(shù)n和m=0，1，…，n都有

4二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系，二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系定理例13設(shè)有15000件產(chǎn)品，其中有150件次品?，F(xiàn)任取100件，求次品數(shù)X恰好為兩件的概率。

解：X可近似看成服從二項(xiàng)分布，

p=150/15000=0.01,n=100例13設(shè)有15000件產(chǎn)品，其中有150件次品?，F(xiàn)任取10定理2設(shè)有一列二項(xiàng)分布Xn～B(n,pn)，n=1,2,...,如果是與n無關(guān)的正常數(shù)，則對任意固定的非負(fù)整數(shù)k，均有

定理2設(shè)有一列二項(xiàng)分布Xn～B(n,pn)，n=1例14某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，他獨(dú)立射擊了5000次，試求他至少命中兩次的概率。

解：設(shè)命中次數(shù)為X，則可用泊松分布進(jìn)行近似計(jì)算，此時(shí)例14某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，他獨(dú)立說明：（1）在一次試驗(yàn)中，盡管成功概率很小，但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，能命中至少兩次的概率是很大的，即小概率事件，在一次試驗(yàn)中不易發(fā)生，但試驗(yàn)次數(shù)多了，就成了大概率事件了（2）5000次射擊中，至多命中一發(fā)的概率為0.0504，為小概率事件，如果一個(gè)人在5000次射擊中真的只命中1發(fā)或0發(fā)，說明小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，因此，命中率0.001時(shí)值得懷疑的說明：（1）在一次試驗(yàn)中，盡管成功概率很小，（2）5000次對離散型隨機(jī)變量，其取值為單點(diǎn)，但是有些隨機(jī)變量的取值不能一個(gè)個(gè)的列出，在實(shí)際問題中，我們感興趣的往往不是隨機(jī)變量取一點(diǎn)的概率，而是研究隨機(jī)變量在某個(gè)范圍的概率。如：電子元件的壽命X，關(guān)心的是P(X>T)=?,測量誤差X，關(guān)心而為了表示的方便，我們引入了隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念，是描述隨機(jī)變量分布的又一方法對離散型隨機(jī)變量，其取值為單點(diǎn)，但是有些隨機(jī)變量的取值不能一

§2-3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1.概念則稱F(x)為X的分布函數(shù)。定義2.1設(shè)X是一隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù)x，令§2-3隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.概念則稱F(x)為2.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

若X的分布律為i=1,2,...,則X的分布函數(shù)為

BR1,P(XB)2.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)若X的分布律為i=離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是單調(diào)增加的，右連續(xù)的，具有跳躍型間斷點(diǎn){xi:i=1,2,…}的階梯函數(shù)，在間斷點(diǎn)處的跳躍度為離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是單調(diào)增加的，右連續(xù)的，具有跳躍型當(dāng)1

x<2時(shí)，

F(x)=

P(X

x)=P(X=0)+P(X=1)=1/3+1/6=1/2當(dāng)x2時(shí)，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例5，求F(x).解:當(dāng)x<0

時(shí)，

F(x)=P(X

x)=0當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=1/3當(dāng)1x<