2020高考理科數(shù)學(xué)詳解(全國(guó)一卷)

2020高考理科數(shù)學(xué)詳解(全國(guó)一卷)2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試-理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷制定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若$z=1+i$，則$z^2-2z=$A.0B.1C.2D.22.設(shè)集合$A=\{x|x^2-4\leq0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq0\}$，且$AB=\{x|-2\leqx\leq1\}$，則$a=$A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為A.$\frac{5-\sqrt{15}}{2}$B.$\frac{4\sqrt{2}}{5+\sqrt{5}}$C.$\frac{4\sqrt{2}}{5-\sqrt{5}}$D.$\frac{5+\sqrt{15}}{2}$4.已知$A$為拋物線$C:y=2px(p>0)$上一點(diǎn)，點(diǎn)$A$到$C$的焦點(diǎn)的距離為$12$，到$y$軸的距離為$9$，則$p=$A.2B.3C.6D.95.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率$y$和溫度$x$（單位：$^\circ$C）的關(guān)系，在$20$個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)(i=1,2,...,20)$得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在$10^\circ$C至$40^\circ$C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率$y$和溫度$x$的回歸方程類型的是A.$y=a+bx$B.$y=a+bx^c$C.$y=a+be^x$D.$y=a+b\lnx$6.函數(shù)$f(x)=x-2x^2$的圖像在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線方程為A.$y=-2x-1$B.$y=-2x+1$C.$y=2x-3$D.$y=2x+1$7.設(shè)函數(shù)$f(x)=\cos(\omegax+\theta)$在$[-\pi,\pi]$的圖像大致如下圖，則$f(x)$的最小正周期為A.$\frac{7\pi}{6}$B.$\frac{9\pi}{4}$C.$2\pi$D.$\frac{3\pi}{2}$8.$(x+y)^5$的展開式中$xy$的系數(shù)為A.5B.10C.15D.209.已知$α\in(0,\pi)$，且$3\cos2α-8\cosα=5$，則$\sinα=$$\dfrac{3}{5}$。10.已知$A,B,C$為球$O$的球面上的三個(gè)點(diǎn)，$O_1$為$\triangleABC$的外接圓，若$O_1$的面積為$4\pi$，$AB=BC=AC=OO_1$，則球$O$的表面積為$48\pi$。11.已知$M:x+y-2x-2y-2=0$，直線$l:2x+y=0$，$p$為$l$上的動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)$p$作$M$的切線$PA$，$PB$，切點(diǎn)為$A,B$，當(dāng)$PM+AB$最小時(shí)，直線$AB$的方程為$2x-y-1=0$。12.若$2a+\log_2a=4b+2\log_4b$，則$a>b$。22.若$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}2x+y-2\leq0\\x-y-1\geq0\\y+1\geq0\end{cases}$，則$z=x+7y$的最大值為$7$。13.設(shè)$a,b$為單位向量，且$|a+b|=1$，則$|a-b|=\sqrt{2}$。14.已知$F$為雙曲線$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦點(diǎn)，$A$為$C$的右頂點(diǎn)，$B$為$C$上的點(diǎn)，且$BF\perpx$軸，若$AB$的斜率為$3$，則$C$的離心率為$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$。15.如圖，在三棱錐$P-ABC$的平面展開圖中，$AC=1$，$AB=AD=3$，$AB\perpAC$，$AB\perpAD$，$\angleCAE=30^\circ$，則$\cos\angleFCB=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$。17.（1）設(shè)$q$為等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比，由已知條件得$\begin{cases}a_2=a_1q\\a_3=a_1q^2\end{cases}$，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得$a_2+a_3=2a_1q^{\frac{3}{2}}$，又由已知條件得$3q^2-8q-5=0$，解得$q=1$或$q=-\dfrac{5}{3}$，因?yàn)?q\neq1$，所以$q=-\dfrac{5}{3}$。（2）由（1）可得$a_n=(-\dfrac{5}{3})^{n-1}$，則$na_n=n\cdot(-\dfrac{5}{3})^{n-1}$，設(shè)$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}ia_i$，則$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}i\cdot(-\dfrac{5}{3})^{i-1}=\sum\limits_{i=1}^{n}(-\dfrac{5}{3})^{i-1}+\sum\limits_{i=1}^{n}(i-1)\cdot(-\dfrac{5}{3})^{i-1}$，利用等比數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求導(dǎo)公式計(jì)算可得$S_n=\dfrac{5}{4}(-\dfrac{5}{3})^{n-1}+\dfrac{5}{9}(n-1)(1-(-\dfrac{5}{3})^{n-1})$。18.（1）因?yàn)?AE$是底面直徑，所以$\angleADE=90^\circ$，又因?yàn)?AE=AD$，所以$\triangleAED$是等腰直角三角形，即$DE=AE/\sqrt{2}$，所以$\anglePDE=45^\circ$，又因?yàn)?OD=OE$，所以$\anglePDE=\anglePOF$，所以$PA\perpPBC$。（2）因?yàn)?\triangleABC$是正三角形，所以$BC=AB=AC=2\sqrt{3}$，設(shè)$M$為$BC$的中點(diǎn)，則$BM=MC=\sqrt{3}$，因?yàn)?AE$是底面直徑，所以$OE=1$，又因?yàn)?OD=6$，所以$DE=5$，所以$DP=\sqrt{6^2-5^2}=3$，所以$PO=\sqrt{10}$，所以$\cos\angleBPC=\dfrac{BP^2+CP^2-BC^2}{2\cdotBP\cdotCP}=\dfrac{(\sqrt{6^2+3^2}-\sqrt{10})^2+(\sqrt{6^2+3^2}+\sqrt{10})^2-4\cdot3^2}{2\cdot(\sqrt{6^2+3^2}-\sqrt{10})\cdot(\sqrt{6^2+3^2}+\sqrt{10})}=-\dfrac{1}{3}$，所以$\cos\angleB-PC-E=\cos(\angleBPC+\angleBPE)=\cos\angleBPC\cdot\cos\angleBPE-\sin\angleBPC\cdot\sin\angleBPE=(-\dfrac{1}{3})\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{\sqrt{30}}$。19.設(shè)$E$為$\triangleABC$的垂心，$H$為$\triangleABC$的重心，則$F$為$C$的對(duì)稱點(diǎn)，$BF$是雙曲線$C$的漸近線，所以$BF\perpCF$，$F$是$\triangleABC$的外心，所以$\angleBFC=90^\circ$，所以$BF$是$\triangleBFC$的高，所以$BF=\dfrac{2ab}{c}$，所以$BC=2a$，$AB=2\sqrt{3}a$，所以$\sin\angleABC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\cos\angleABC=\dfrac{1}{2}$，所以$\cos\angleFCB=\dfrac{\cos\angleABC}{\sin\angleBCF}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。22.由約束條件可得$\begin{cases}y\geq1-x\\y\geq-x-1\\y\geq2-2x\end{cases}$，即$y\geq\max\{1-x,-x-1,2-2x\}$，所以$z=x+7y\leq8x+7$，所以$z$的最大值為$8\times\dfrac{2}{7}+7=7$。23.設(shè)$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$b=\dfrac{1}{2}$，則$|a+b|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$|a-b|=\sqrt{2}$，所以$\cos\angleAOB=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2\cdot|a+b|\cdot|a-b|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$。x|2x1∴Bx|xa，∴a2，a2?！?.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，若f(0)=1，則f(1)A.1B.2C.3D.4【解析：B。由偶函數(shù)可知f(1)=f(1)，由單調(diào)遞增可知f(0)f(1)，∴f(1)f(0)=1，又由偶函數(shù)可知f(1)0，故選B。】4.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|1，且Imz0，則z的輻角滿足A.0/2B./6/2C./3/2D./2【解析：B。由Imz0可知(0,)，又由|z|1可知z在單位圓上，故[/6,/2)?！?.已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且與x軸的距離為2，則PF的長(zhǎng)度為A.2B.3C.4D.5【解析：B。由拋物線的性質(zhì)可知焦距為1，故F的坐標(biāo)為(1,0)，又由題可知P的坐標(biāo)為(2,4)，故PF的長(zhǎng)度為PF2(21)2(40)217，故PF=17，選B?！?.已知函數(shù)f(x)=x33x2mx1在區(qū)間[0,3]上的最小值為1，則mA.3B.2C.2D.3【解析：B。由題可知f(1)=1，又由題可知f(x)=x33x2mx1在區(qū)間[0,3]上的最小值為1，故f(x)在[0,3]上有三個(gè)零點(diǎn)，即f(x)與x軸交點(diǎn)有三個(gè)，設(shè)為a,b,c，則a+b+c=3，且abc=m，又由Vieta定理可知a+b+c=3，故m=abc=2，選B。】7.已知集合Ax|2x30，Bx|3x50，則ABA.x|x5/3B.x|x3/2C.x|x5/3D.x|x3/2【解析：A。解得A=x|x3/2，B=x|x5/3，故AB=x|x5/3，選A?！?.已知函數(shù)f(x)=2x23x1，g(x)=axb，且f(g(x))=x，則a+b的值為A.0B.1C.1D.2【解析：B。由f(g(x))=x可知2(axb)23(axb)1=x，即2a2x2(4ab3a)x(2b23b1)=x，由系數(shù)對(duì)應(yīng)可知a=1/2，b=1/4，故a+b=3/4，選B?！?.若a,b,c均為正數(shù)，且abc=1，則(ab)(ac)(bc)A.8B.9C.10D.11【解析：C。由均值不等式可知(a+b)(a+c)2abc，同理可得(a+b)(b+c)2bac，(a+c)(b+c)2cab，故(a+b)(a+c)(b+c)8abc=8，故選C?！?0.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=8，則a5A.18B.20C.22D.24【解析：C。由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，代入已知條件可得3a1+3d=6，3a1+6d=8，解得a1=1，d=2，故a5=a1+4d=72=14，選C?！?1.已知函數(shù)f(x)=x22x3，g(x)=axb，且f(g(x))x，則ab的值為A.1B.2C.1D.2【解析：A。由f(g(x))x可知a2x22abxb22ax2b3=x，即a2x22(aba)x(b22b3)=x，由系數(shù)對(duì)應(yīng)可知a2=1，2(aba)2，b22b3=0，解得a=1，b=0，故ab=1，選A?！?2.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，且f(0)=0，f(1)=1，則f(1/2)A.1/4B.1/2C.3/4D.1【解析：B。由單調(diào)遞增可知f(1/2)(0,1)，又由f(0)=0，f(1)=1可知f(1/2)0，故選B?！慷⑻羁疹}：本題共5小題，每小題6分，共30分。13.已知函數(shù)f(x)=x33x23x1，則f(2)=__________?！窘馕觯篺(2)=23322321=1，故填1?！?4.已知函數(shù)f(x)=2x23x1，則f(1/2)=__________?！窘馕觯篺(1/2)=2(1/2)23(1/2)1=3/4，故填3/4?！?5.若x,y,z均為正數(shù)，且xyz=1，則x2y2z2__________。【解析：由均值不等式可知(x2y2z2)(xyz)2/3=1/3，故填1/3。】16.已知函數(shù)f(x)=x33x2mx1在區(qū)間[0,3]上的最小值為1，則f(3)=__________?！窘馕觯河深}可知f(x)=x33x2mx1在區(qū)間[0,3]上的最小值為1，故f(3)=3m8=2，故填2?！?7.已知函數(shù)f(x)=exax，則當(dāng)a=__________時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增?！窘馕觯篺(x)=exa，f(x)0時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故exa0，即ae，故填e。】三、解答題：本題共3小題，每小題20分，共60分。18.（20分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an1an2(n≥1)，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有an<2?！窘馕觯海?）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1<2，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即ak<2，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，即ak+1<2。由題可知ak+1=ak1ak2=ak1ak2ak222=ak12ak422=ak121ak422=ak121(ak)222ak1222=ak1<2，故命題成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知對(duì)任意正整數(shù)n，都有an<2?！?9.（20分）已知函數(shù)f(x)=x3axb在區(qū)間[0,1]上的最小值為1，且f(1)=2，求a和b的值?！窘馕觯河深}可知f(x)=x3axb在區(qū)間[0,1]上的最小值為1，故f(x)=3x2a=0的解在[0,1]內(nèi)，即a0，又由f(1)=2可知1ab=2，即ab=1，解得a=2，b=3，故答案為a=2，b=3。】20.（20分）已知函數(shù)f(x)=exax，g(x)=f(x)x2，其中a為常數(shù)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)a1時(shí)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值?！窘馕觯海?）當(dāng)a=1時(shí)，f(x3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一。它的形狀可以視為一個(gè)正四棱錐。假設(shè)該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為多少？解析：設(shè)該正四棱錐側(cè)面三角形底邊上為a，底面正方形的邊長(zhǎng)為b，則該四棱錐的高為a2-b2，因?yàn)橐栽撍睦忮F的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，所以a2-b2=(1/2)ab，解得a/b=(5+√5)/2。24.已知A為拋物線C:y=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=多少？解析：由題意得：p=(1/2)×12×9=54/2=27。5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,...,20)得到下面的散點(diǎn)圖。由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是什么？解析：觀察散點(diǎn)圖的分布，兩變量之間應(yīng)為對(duì)數(shù)相關(guān)，因此最適宜的回歸方程類型是y=a+blnx。36.函數(shù)f(x)=x-2x的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為什么？解析：f(x)=x-2x=-x，因此f'(x)=-1，f'(1)=-1，又f(1)=-1，所以圖像在(1,f(1))處的切線方程斜率為-1，且過點(diǎn)(1,-1)，因此切線方程為y=-x-2。7.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+θ)在[-π,π]的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為多少？解析：觀察圖像可知，它的一個(gè)周期為2π/3，因此最小正周期為2π/3的約數(shù)，即2π/3，4π/3，8π/3，選項(xiàng)中只有2π/3，因此最小正周期為2π/3。9.已知$α∈(0,π)$，且$3cos^2α-8cosα=5$，則$sinα=$$\frac{2}{15}$。10.已知$A,B,C$為球$O$的球面上的三個(gè)點(diǎn)，$O_1$為$\triangleABC$的外接圓，若$O_1$的面積為$4π$，$AB=BC=AC=OO_1$，則球$O$的表面積為$64π$。11.已知$M:x+y-2x-2y-2=0$，直線$l:2x+y=0$，$p$為$l$上的動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)$p$作$M$的切線$PA$，$PB$，切點(diǎn)為$A,B$，當(dāng)$PMAB$最小時(shí)，直線$AB$的方程為$2x+y+1=0$。12.若$2a+log_2a=4b+2log_4b$，則$a<2b$。=a2+a3，3a2=a3+a4，且a2是a1和a3的等差中項(xiàng)，即2a2=a1+a3。將a3和a4用a2和a1表示，得到：3a2=2a2+a1+a2，即a2=a1/2。又因?yàn)閍2是等比數(shù)列的一項(xiàng)，所以有a3=a2*a1/2=a1/4，a4=a3*a1/2=a1/8。以此類推，可以得到通項(xiàng)公式：an=a1/2^(n-1)所以，公比為1/2。（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有：Sn=a1(1-1/2^n)/(1-1/2)=2a1(1-1/2^n)所以，na_n的前n項(xiàng)和為2a1(1-1/2^n)。代入a1=1和公比1/2，得到：S_n=2(1-1/2^n)18.（12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，g(x)=f(x-1)-2f(x)+f(x+1)，求g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：將f(x-1)和f(x+1)展開，得到：f(x-1)=(x-1)^3-3(x-1)^2+2(x-1)+1f(x+1)=(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)+1將f(x-1)、f(x)和f(x+1)代入g(x)的表達(dá)式中，得到：g(x)=-x^3+6x^2-9x+2對(duì)g(x)進(jìn)行因式分解，得到：g(x)=-(x-2)(x-1)^2所以，g(x)的零點(diǎn)為x=1和x=2，共有兩個(gè)。19.（12分）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，證明存在c∈[0,1/2]，使得f(c)=f(c+1/2)。證明：定義函數(shù)g(x)=f(x)-f(x+1/2)，則g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)。由于f(0)=f(1)，所以g(0)=-g(1/2)。因?yàn)間(x)在區(qū)間[0,1/2]上連續(xù)，且g(0)和g(1/2)異號(hào)，所以根據(jù)零點(diǎn)定理，存在c∈[0,1/2]，使得g(c)=0，即f(c)=f(c+1/2)。20.（12分）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，證明存在a,b∈[0,1/2]，使得f(a)=f(b)。證明：定義函數(shù)g(x)=f(x)-f(x+1/2)，則g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)。由于f(0)=f(1)，所以g(0)=-g(1/2)。因?yàn)間(x)在區(qū)間[0,1/2]上連續(xù)，且g(0)和g(1/2)異號(hào)，所以根據(jù)介值定理，存在a∈[0,1/2]，使得g(a)=0，即f(a)=f(a+1/2)。同理，存在b∈[0,1/2]，使得f(b)=f(b+1/2)。因?yàn)閒(0)=f(1)，所以f(1/2)=f(0)=f(1)，即f(1/2)也是f(x)在區(qū)間[0,1/2]上的值。所以，f(a)=f(b)=f(a+1/2)=f(b+1/2)=f(1/2)。21.（12分）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，證明存在c∈[0,1/2]，使得f(c)=f(2c)。證明：定義函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x)，則g(0)=f(0)-f(0)=0，g(1/2)=f(1/2)-f(1)。因?yàn)閒(0)=f(1)，所以g(1/2)=0。因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，所以g(x)也在區(qū)間[0,1/2]上連續(xù)。因?yàn)間(0)和g(1/2)異號(hào)，所以根據(jù)零點(diǎn)定理，存在c∈[0,1/2]，使得g(c)=0，即f(c)=f(2c)。（二）選考題：共10分22.（5分）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，證明存在c∈[0,1/2]，使得f(c)=f(1-c)。證明：定義函數(shù)g(x)=f(x)-f(1-x)，則g(0)=f(0)-f(1)=0，g(1/2)=f(1/2)-f(1/2)=0。因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，所以g(x)也在區(qū)間[0,1/2]上連續(xù)。因?yàn)間(0)和g(1/2)相等，所以根據(jù)介值定理，存在c∈[0,1/2]，使得g(c)=0，即f(c)=f(1-c)。23.（5分）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，證明存在a,b∈[0,1/2]，使得f(a)=f(b+1/2)。證明：定義函數(shù)g(x)=f(x)-f(x+1/2)，則g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)。因?yàn)閒(0)=f(1)，所以g(0)=-g(1/2)。因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，所以g(x)也在區(qū)間[0,1/2]上連續(xù)。因?yàn)間(0)和g(1/2)異號(hào)，所以根據(jù)零點(diǎn)定理，存在a∈[0,1/2]，使得g(a)=0，即f(a)=f(a+1/2)。同理，存在b∈[0,1/2]，使得f(b+1/2)=f(b)。因?yàn)閒(0)=f(1)，所以f(1/2)=f(0)=f(1)，即f(1/2)也是f(x)在區(qū)間[0,1/2]上的值。所以，f(a)=f(b+1/2)=f(1/2)。1.解法：根據(jù)題目，數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，且$a_1\neq0$，又已知$a_2=a_1q+a_1q^2$，整理得$a_1=\frac{a_2}{q+q^2}$。代入通項(xiàng)公式得$a_n=\frac{a_2q^{n-1}}{q+q^2}$。因?yàn)?a_n<0$，所以$q<0$。又因?yàn)?a_1\neq0$，所以$q\neq0$。所以$q=-2$。因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$。2.解法：根據(jù)題意，可以列出如下的式子：$$\begin{aligned}S_n&=1\cdot(-2)+2\cdot(-2)^2+\cdots+n\cdot(-2)^{n-1}\\-2S_n&=-1\cdot(-2)^1-2\cdot(-2)^2-\cdots-n\cdot(-2)^n\\\end{aligned}$$將兩式相減，得到：$$3S_n=(-2)+(-2)^1+(-2)^2+\cdots+(-2)^{n-1}-n\cdot(-2)^n$$化簡(jiǎn)后得到：$$S_n=-\frac{2^n-(-n-2)}{3}$$因此，數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n=-\frac{2^n-(-n-2)}{3}$。3.解法：根據(jù)題目，可以畫出如下的圖形：因?yàn)?AE=AD$，所以$\triangleADE$是等腰三角形，$DE\perpAE$。又因?yàn)?\triangleABC$是內(nèi)接正三角形，所以$\angleBAC=60^\circ$，$\angleABC=\angleBCA=60^\circ$。因此，$\triangleABC$是等邊三角形。設(shè)$\angleBPC=\theta$，則$\angleBPE=180^\circ-\theta$。又因?yàn)?\triangleBPC$是直角三角形，所以$\sin\theta=\frac{BP}{BC}$。因?yàn)?\triangleBPC\sim\triangleAPE$，所以$\frac{BP}{BC}=\frac{AP}{AE}$。又因?yàn)?AE=2AP$，所以$\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$。因此，$\sin\theta=\frac{1}{2}$，$\theta=30^\circ$。所以$\angleBPC=\frac{\pi}{6}$。因此，二面角$B-PC-E$的余弦值為$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。4.解法：設(shè)甲、乙、丙分別為$A$、$B$、$C$。因?yàn)槊繄?chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為$p$，所以$A$獲勝的概率為$p^2$，$B$獲勝的概率為$2p(1-p)$，$C$獲勝的概率為$(1-p)^2$。根據(jù)題目，可以列出如下的比賽流程：第一輪：$A$vs$B$，$C$輪空第二輪：勝者（設(shè)為$D$）vs$C$，敗者（設(shè)為$E$）輪空第三輪：$D$vs$E$因?yàn)橹挥欣塾?jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰，所以$A$連勝四場(chǎng)的概率為$p^4$。，則PA的斜率為k1m13(3)m32a，PB的斜率為k2m313m32a，∴PA的方程為yk1(x6)，PB的方程為yk2(x6)，設(shè)E的方程為x2y21，9代入PA和PB的方程，得到關(guān)于m的二次方程：x22222222222222222(m3)(m3)9aaaa4444444444444444m22224a4a4a4a5，∴C(6,224a)，D(6,224a)，設(shè)CD的方程為ykxb，則b224a，∴CD的方程為ykx224a，即CD的方程為x22222222222222222221(y2a)4a24a224a2x2222222222222222222(y2a)4a24a224a2，即x22222222222222222222(y2a)(y2a)2222222222222222221。4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a4a∴CD過定點(diǎn)(0,0)。已知函數(shù)$f(x)=e^x+ax^2-x$。(1)當(dāng)$a=1$時(shí)，討論$f(x)$的單調(diào)性。解：此時(shí)$f(x)=e^x+x^2-x$，$f'(x)