2023學年九年級數(shù)學上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 二次函數(shù)與四邊形存在性問題（強化）（解析版）

二次函數(shù)與四邊形存在性問題【例題精講】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）是二次函數(shù)圖象對稱軸上的點在二次函數(shù)圖象上是否存在點使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若有請直接寫出點的坐標．【解答】解：（1）設(shè)把代入得：解得：該拋物線的解析式為；（2）存在．如圖2中當是平行四邊形的邊時可得或當為對角線時點的橫坐標為2時．綜上所述滿足條件的點的坐標為或或．如圖一次函數(shù)圖象與坐標軸交于點、二次函數(shù)圖象過、兩點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點點是對稱軸上一動點在拋物線上是否存在點使得以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在求出點坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）在中令得令得二次函數(shù)圖象過、兩點解得二次函數(shù)解析式為；（2）存在理由如下：由二次函數(shù)可得其對稱軸為直線設(shè)而與關(guān)于直線對稱①當、為對角線時如圖：此時的中點即是的中點即解得當時四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時；②、為對角線時如圖：同理、中點重合可得解得當時四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時；③以、為對角線如圖：、中點重合可得解得時四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時；綜上所述的坐標為：或或．如圖在平面直角坐標系中拋物線與坐標軸交于兩點直線交軸于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點使得四邊形為矩形？如果存在求出點的坐標；如果不存在請說明理由．【解答】解：（1）把代入拋物線得解得：該拋物線的解析式為；（2）存在．過點作的平行線過點作的平行線兩條直線相較于則即為所求．在中令則四邊形是矩形設(shè)直線的解析式為則解得：直線的解析式為直線的解析式為直線的解析式為聯(lián)立方程組解得：點坐標為．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點其對稱軸為直線與軸的另一交點為．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點在直線上且在第四象限過點作軸于點．①若點在線段上且求點的坐標；②以為對角線作正方形（點在右側(cè)）當點在拋物線上時求點的坐標．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點對稱軸為直線經(jīng)過解得拋物線的解析式為；（2）①如圖1中設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為關(guān)于直線對稱設(shè)軸點；②如圖2中連接交于點．設(shè)則點四邊形是正方形軸點在拋物線上解得點在第四象限舍去點坐標為．【題組訓練】4．如圖在平面直角坐標系中拋物線與軸交于點與軸交于點、．且點點為拋物線上的一動點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1過點作平行于軸交拋物線于點若點在的上方作平行于軸交于點連接當時求點坐標；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點點在直線上當以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時請直接寫出點的坐標．【解答】解：（1）將點分別代入得二次函數(shù)的解析式為；（2）軸點當時設(shè)直線的解析式為將分別代入得解得直線的解析式為；設(shè)點的橫坐標為則函數(shù)當時有又解得：或；（3）拋物線的對稱軸與交于點設(shè)若四邊形為平行四邊形解得或或；若四邊形為平行四邊形同理求出；若為對角線則解得（不合題意舍去）或綜合以上可得出點的坐標為或或或．5．拋物線經(jīng)過、兩點頂點為點連接．（1）求拋物線及直線的解析式；（2）請你直接寫出的面積；（3）過點作軸垂足為平行于軸的直線交直線于點交拋物線于點是否存在點使以點、點、點、點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過兩點解得即該拋物線的解析式為設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為；（2）如圖過點作軸交于點頂點的坐標為直線的解析式為當時；（3）設(shè)以點、點、點、點為頂點的四邊形為平行四邊形或當時或當時或綜合以上可得點的坐標為或或或．6．如圖已知拋物線與軸的交點為、在的右側(cè)）與軸的交點為頂點為．（1）直接寫出、、、四點的坐標；（2）若點在拋物線上使得的面積與的面積相等求點的坐標；（3）在對稱軸上存在點拋物線上是否存在點使得以、、、四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）當時；當時則解得；拋物線的頂點的坐標為．（2）如圖1設(shè)與有相同的底邊且的面積與的面積相等點到軸的距離等于點到軸的距離解得點的坐標為或或或．（3）存在如圖2點的橫坐標為3作軸作于點由（1）得拋物線的對稱軸為直線在上截取過點作直線的垂線垂足為點連結(jié)并延長交軸于點作四邊形四邊形是平行四邊形；如圖3點的橫坐標為作軸作于點設(shè)直線交軸于點在軸上方的直線上截取作四邊形交軸于點軸四邊形是平行四邊形；如圖4點的橫坐標為作軸于點作軸于點在上截取過點作直線的垂線垂足為點連結(jié)并延長交于點作四邊形軸四邊形是平行四邊形綜上所述點的坐標為或或．7．如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點與軸交于點為線段上一動點將射線繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與函數(shù)圖象交于點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當在二次函數(shù)圖象對稱軸上時求此時的長；（3）求線段的最大值；（4）拋物線對稱軸上是否存在使、、、四點能構(gòu)成平行四邊形若存在請求出點的坐標若不存在請說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得該二次函數(shù)的表達式為．（2）如圖1作軸于點作直線交軸于點則且該直線過點設(shè)直線的解析式為直線由得拋物線的對稱軸為直線當點落在直線上則解得由得（不符合題意舍去）．（3）如圖2當時的長隨的增大而減?。旤c與點重合時的長最大的長也最大此時直線的解析式為由得（不符合題意舍去）此時的最大值為．（4）存在．如圖3為以、、、四點為頂點的四邊形的一邊則．設(shè)直線交軸于點此時在拋物線上一定存在點其縱坐標為作軸于點在軸上取點使則且四邊形是平行四邊形此時；如圖4．設(shè)設(shè)直線的解析式為則即由得（不符合題意舍去）解得（不符合題意舍去）．綜上所述點的坐標為或．8．如圖拋物線與軸交于兩點與軸交于點直線經(jīng)過點點是拋物線上的動點過點作軸垂足為交直線于點．（1）求拋物線的解析式及點的坐標；（2）當點位于直線上方且面積最大時求的坐標；（3）若點是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點是否存在點使得以為頂點的四邊形是菱形？若存在請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得直線的解析式為．令則．把點代入拋物線的解析式得解得．拋物線的解析式為．令解得；（2）設(shè)則．當時的面積最大此時；（3）存在理由如下：當點在軸右側(cè)時四邊形為菱形設(shè)的解析式為把坐標代入得的解析式為設(shè)解得或（舍；當點在軸左側(cè)時同理可得；綜上．9．如圖在平面直角坐標系中拋物線與軸交于兩點與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線上當時求點的坐標；（3）將拋物線的對稱軸沿軸向右平移個單位得直線點為直線上一動點在平面直角坐標系中是否存在點使以點為頂點的四邊形為菱形？若存在請求出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線與軸交于兩點解得．拋物線的解析式為；（2）如圖設(shè)直線與交于點拋物線解析式與軸交于點又或設(shè)直線的解析式為或解得或直線的解析式為或或解得（舍去）（舍去）或；（3）由（1）知拋物線解析式為對稱軸直線為將拋物線的對稱軸沿軸向右平移個單位得直線設(shè)①當為對角線時如圖以點為頂點的四邊形為菱形或或或；②當為對角線時如圖以點為頂點的四邊形為菱形或或或；綜上所述存在點使以點為頂點的四邊形為菱形點的坐標為或或或．10．如圖拋物線的對稱軸是直線與軸交于點與軸交于點連接．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點過點作軸垂足為點交直線于點是否存在這樣的點使得以為頂點的三角形是等腰三角形．若存在請求出點的坐標若不存在請說明理由；（3）已知點是拋物線對稱軸上的點在坐標平面內(nèi)是否存在點使以點、、、為頂點的四邊形為矩形若存在請直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸是直線與軸交于點解得拋物線的解析式；（2）設(shè)直線的解析式為將點代入得：解得：直線的解析式為；設(shè)點坐標為則點①當時解得（不合題意舍去）點的坐標為；②當時解得（不合題意舍去）點的坐標為；③當時解得點的坐標為；綜上存在點的坐標為或或；（3）設(shè)①以為對角線時解得：或或或或點的坐標為或；②以為邊時或或解得：或或或或點的坐標為或綜上所述：存在點的坐標為或或或．11．綜合與探究如圖某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點為．（1）求拋物線的解析式；（2）點為拋物線對稱軸上一動點當與的和最小時點的坐標為；（3）點為拋物線位于線段下方圖象上一動點過點作軸交線段于點求線段長度的最大值；（4）在（2）條件下點為軸上一點點為直線上一點點為平面直角坐標系內(nèi)一點若以點為頂點的四邊形是正方形請直接寫出點的坐標．【解答】解：（1）將代入得拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為直線的解析式為當點、、三點共線時的最小值為的長拋物線的對稱軸為當時故答案為：；（3）設(shè)則當時的最大值為；（4）當為對角線時如圖此時四邊形是正方形當為邊時若點在的上方此時軸是等腰直角三角形當點在點的下方時如圖四邊形是正方形同理可得當點在點的下方時如圖四邊形是正方形同理可得綜上：或或或．12．如圖已知拋物線與一直線相交于兩點與軸交于點其頂點為．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若是拋物線上位于直線上方的一個動點設(shè)點的橫坐標為過點作軸的平行線交與當為何值時線段的長最大并求其最大值；（3）若拋物線的對稱軸與直線相交于點為直線上的任意一點過點作交拋物線于點以為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能請直接寫出點的坐標；若不能請說明理由．【解答】解：（1）將代入拋物線的解析式得：解得：拋物線的解析式為故答案為：；（2）是拋物線上位于直線上方的一個動點橫坐標為點的坐標為；設(shè)直線的解析式為將代入得：解得：直線的解析式為；軸點在上點的坐標為當時的長最大最大值為；（3）以為頂點的四邊形能為平行四邊形理由如下：頂點直線的解析式為拋物線的對稱軸與直線相交于點設(shè)點則或解得：（舍．點的坐標為：或或．13．如圖已知拋物線與軸交于、兩點與軸交于點連接．（1）求拋物線的解析式；（2）若點為線段上的一動點（不與、重合）軸且交拋物線于點交軸于點當?shù)拿娣e最大時求點的坐標；（3）在（2）的條件下當?shù)拿娣e最大時點是拋物線的對稱軸上的動點在拋物線上是否存在點使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）依題意得：解得：拋物線的解析式為．（2）設(shè)直線的解析式為則解得：直線的解析式為設(shè)點坐標為則點坐標為當時的面積最大．此時點的坐標為．（3）對稱軸為直線當四邊形為平行四邊形時；當四邊形為平行四邊形時；當四邊形為平行四邊形時；存在點使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形點的坐標是或或．14．綜合與實踐如圖二次函數(shù)的圖象交軸于點、點其中點的坐標為點的坐標為過點、的直線交二次函數(shù)的圖象于點．（1）求二次函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；（2）連接則的面積為6；（3）在軸上確定點使得點的坐標為；（4）點是拋物線上一點點為平面上一點是否存在這樣的點使得以點、點、點、點為頂點的四邊形是以為邊的矩形？若存在請你直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得：二次函數(shù)的表達式為．當時解得：點的坐標為．設(shè)直線的函數(shù)表達式為將代入得：解得：直線的函數(shù)表達式為．（2）聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達式得：解得：點的坐標為．故答案為：6．（3）當點在軸正半軸軸時過點作于點如圖1所示．點關(guān)于軸對稱．點的坐標為點的坐標為平分．點的坐標為．當點在軸負半軸時點的坐標為故答案為：或．（4）連接則即利用待定系數(shù)法可求出直線的函數(shù)表達式．分兩種情況考慮如圖2所示．①當四邊形為矩形時設(shè)直線的函數(shù)表達式為將代入得：解得：直線的函數(shù)表達式為．聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達式得：解得：點的坐標為又四邊形為矩形點的坐標為即；②當四邊形為矩形時同理可得出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達式得：解得：點的坐標為又四邊形為矩形點的坐標為即．綜上所述存在這樣的點使得以點、點、點、點為頂點的四邊形是以為邊的矩形點的坐標為或．15．在平面直角坐標系中二次函數(shù)為常數(shù)）的圖象記作圖象上點的橫坐標為．（1）當求圖象的最低點坐標；（2）平面內(nèi)有點．當不與坐標軸平行時以為對角線構(gòu)造矩形與軸平行與軸平行．①若矩形為正方形時求點坐標；②圖象與矩形的邊有兩個公共點時求的取值范圍．【解答】解：（1）時頂點為圖象的最低點坐標為；（2）①當時正方形中與軸平行與軸平行同理得或解得或點的坐標為或；②點在圖象上圖象與矩形已經(jīng)有一個公共點圖象與矩形的邊有兩個公共點只需圖象與矩形的邊再由一個公共點即可；點的橫坐標為當時當時如圖1當時圖象在時隨的增大而減小矩形與圖象只有一個交點；當時圖象在時隨的增大而減小當時圖象與矩形有兩個交點；當經(jīng)過點時解得時圖象與矩形有兩個交點；如圖3當時即當時整理得△△此時圖象與邊有另一個交點此時圖象與矩形有三個交點當時點坐標為此時不與軸平行不符合題意；當時此時圖象與矩形有兩個交點；綜上所述：或時圖象與矩形有兩個交點．16．如圖在平面直角坐標系中拋物線的頂點坐標為與軸交于點與交于點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）過點作平行于軸交拋物線于點點為拋物線上的一點（點在上方）作平行于軸交于點當點在何位置時四邊形的面積最大？求出最大面積；（3）若點在拋物線上點在其對稱軸上以為頂點的四邊形是平行四邊形且為其一邊求點的坐標．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為拋物線與軸交于點即二次函數(shù)的表達式是；（2）當時設(shè)直線的解析式為由點、的坐標得直線的解析式為；設(shè)當時即點時；（3）如圖過作垂直于對稱軸垂足為（兩角的兩邊相互平行這兩角相等）．又點的橫坐標為或當時點縱坐標為8當時點縱坐標為8點的坐標為或．17．如圖拋物線過兩點交軸于點．動點從點出發(fā)以每秒5個單位長度的速度沿射線運動設(shè)運動的時間為秒．（1）求拋物線的表達式；（2）過點作軸交拋物線于點．當時求的長；（3）若在平面內(nèi)存在一點使得以為頂點的四邊形是菱形求點的坐標．【解答】解：（1）將代入中得：解得：．故拋物線的解析式為；（2）當時如圖1過點作軸于中即當時；（3）存在兩種情況：①如圖2四邊形是菱形過點作軸于即；同理可得；②如圖3四邊形是菱形設(shè)直線的解析式為：則解得直線的解析式為：設(shè)點四邊形是菱形解得：；綜上點的坐標為或或．18．如圖拋物線與軸交于、交軸于．（1）求拋物線的解析式；（2）是直線上方的拋物線上的一個動點設(shè)的橫坐標為到的距離為求與的函數(shù)關(guān)系式并求出的最大值；（3）設(shè)點是軸上的動點在平面直角坐標系中存在點使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形直接寫出所有符合條件的點坐標．【解答】解：（1）拋物線過、、三點解得拋物線的解析式為；（2）如圖1過點作軸于點交于點于點連接、‘、設(shè)直線解析式為則解得直線解析式為點的橫坐標為且在拋物線上又軸于點交于點又與的函數(shù)關(guān)系式為：當時有最大值為；（3）存在．①若為菱形對角線如圖2則與互相垂直平分；②若為菱形對角線如圖3和圖4則或；③若為菱形對角線如圖5則設(shè)由得解得．綜上可知存在點使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形符合條件的點有4個：或或或．19．如圖拋物線交軸于兩點交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1點為第四象限拋物線上一點連接過點作于點若求點的橫坐標；（3）若點是拋物線對稱軸上一動點且在軸的上方點是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點如果以為頂點的四邊形是菱形請直接寫出符合條件的點的坐標．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：把代入得；（2）設(shè)點由題意得（舍去）點的橫坐標為：；（3）拋物線的對稱軸為直線：設(shè)點當時（舍去）當時（舍去）當菱形時此時綜上所述：或或．20．如圖已知直線與軸、軸分別交于、兩點拋物線經(jīng)過、兩點與軸的另一個交點為點的坐標為．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱點是對稱軸上一動點在拋物線上是否存在點使得以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在求出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）在中令得令得把代入得：解得拋物線的函數(shù)表達式是；（2）在拋物線上存在點使得以、、、為頂點的四邊形是菱形理由如下：拋物線的對稱軸是直線關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱設(shè)①當是對角線時的中點即是的中點如圖：解得關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱以、、、為頂點的四邊形是菱形；②當為對角線時的中點重合如圖：解得而以、、、為頂點的四邊形是菱形；③當為對角線的中點重合如圖：解得而以、、、為頂點的四邊形是菱形綜上所述的坐標是或或．21．如圖拋物線與軸交于兩點與軸交于點連接點是直線下方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接設(shè)點的橫坐標為的面積為求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點作的平行線1交線段于點在直線上是否存在點使得以點為頂點的四邊形為菱形若存在請直接寫出點的坐標若不存在請說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得：；（2）如圖1過點作軸交直線于點設(shè)直線的解析式為：的解析式為：點的橫坐標為的坐標是則的坐標是點是直線下方拋物線上的一個動點；（3）分兩種情況：①如圖2四邊形是菱形設(shè)則四邊形是菱形；②如圖3四邊形是菱形設(shè)則四邊形是菱形（舍或；綜上所述點的坐標為或．22．如圖在平面直角坐標系中經(jīng)過點的直線與軸交于點．經(jīng)過原點的拋物線交直線于點拋物線的頂點為．（1）求拋物線的表達式；（2）是線段上一點是拋物線上一點當軸且時求點的坐標；（3）是拋物線上一動點是平面直角坐標系內(nèi)一點．是否存在以點為頂點的四邊形是矩形？若存在直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線過點和解得：拋物線的解析式為：；（2）直線經(jīng)過點和直線的解析式為：軸設(shè)其中當在點的上方時解得：（舍當在點下方時解得：綜上滿足條件的點的坐標有三個或或；（3）存在①如圖2若是矩形的邊設(shè)拋物線的對稱軸與直線交于點且過點分別作直線的垂線交拋物線于點同理得：點與點重合當時四邊形是矩形向右平移1個單位向上平移1個單位得到向右平移1個單位向上平移1個單位得到此時直線的解析式為：直線與平行且過點直線的解析式為：點是直線與拋物線的交點解得：（舍當時四邊形是矩形向左平移3個單位向上平移3個單位得到向左平移3個單位向上平移3個單位得到；②如圖3若是矩形的對角線設(shè)當時過點作軸于過點作于△△點不與點重合或如圖4滿足條件的點有兩個即當時四邊形是矩形向左平移個單位向下平移個單位得到向左平移個單位向下平移個單位得到當時四邊形是矩形向右平移個單位向上平移個單位得到向右平移個單位向上平移個單位得到；綜上點的坐標為或或或．23．如圖拋物線與軸交于點、（點在點左側(cè)）與軸交于點連接．（1）求線段的長；（2）過點作與軸交于點與拋物線第四象限的圖象交于點為拋物線上位于第一象限的點連接交于點連接求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線與原拋物線交于點點在直線上且位于軸右側(cè)在平面直角坐標系中是否存在點使以點、、、為頂點的四邊形為菱形？若存在請直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）令代入拋物線解析式得或令代入拋物線解析式得的長度為．（2）設(shè)：過設(shè)過令得：聯(lián)立解得：或設(shè)過聯(lián)立得如圖過做交軸于將代入得：當時①把代入①解得時四邊形面積最大為8此時．（3）由題意知聯(lián)立解得：①為邊設(shè)由可得解得（負值舍去）由菱形性質(zhì)可得：；②為對角線時設(shè)由可得解得由菱形性質(zhì)可得：得．綜上所述滿足條件的點的坐標為．24．如圖在平面直角坐標系中矩形的兩邊分別在軸和軸上拋物線經(jīng)過點且與軸交于點和點．（1）求拋物線的表達式；（2）若是第一象限拋物線上的一個動點連接當四邊形的面積最大時求點的坐標此時四邊形的最大面積是多少；（3）若是拋物線對稱軸上一點在平面內(nèi)是否存在一點使以點為頂點的四邊形是矩形？若存在請直接寫出點的坐標；若不存在說明理由．【解答】解：（1）四邊形為矩形且點的坐標為點的坐標為點的坐標為．將代入得：解得：拋物線的表達式為．（2）當時解得：點的坐標為．過點作軸于點如圖1所示．設(shè)點的坐標為則時取得最大值最大值此時點的坐標為當四邊形的面積最大時點的坐標為此時四邊形的最大面積是16．（3）拋物線的表達式為拋物線的對稱軸為直線．利用待定系數(shù)法可求出直線的表達式為分為邊及為對角線兩種情況考慮：①當為邊時若四邊形為矩形則直線的解析式為點的坐標為點的坐標為即；若四邊形為矩形則直線的解析式為點的坐標為點的坐標為即；②當為