2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 一元二次方程與韋達定理（強化）（解析版）

一元二次方程與韋達定理【例題精講】已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根為且求的值．【解答】（1）證明：△無論取何值此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得由得解得．已知且．則1．【解答】解：且、可看作方程的兩實數(shù)根．故答案為1．一元二次方程的根分別滿足以下條件求出實數(shù)的對應(yīng)范圍．（1）兩個根同為正根；（2）兩個根均大于1；（3）．【解答】解：根據(jù)題意知（1）根據(jù)題意知．解得；即兩個根同為正根時實數(shù)的對應(yīng)范圍是；（2）設(shè)則根據(jù)方程的2個根均大于1可得解得即當兩個根均大于1時實數(shù)的對應(yīng)范圍是；（3）聯(lián)立得到：．．整理得解得．△或或都符合題意．故實數(shù)的值為．【題組訓(xùn)練】一．韋達定理的直接應(yīng)用（共14小題）1．已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若滿足求實數(shù)的值．【解答】解：（1）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根△解得：實數(shù)的取值范圍為．（2）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根．即解得：或（不符合題意舍去）．實數(shù)的值為．2．閱讀材料：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為則．根據(jù)上述材料結(jié)合你所學(xué)的知識完成下列問題：（1）材料理解：一元二次方程的兩個根為則．（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個根分別為、求的值．（3）思維拓展：已知實數(shù)、滿足且求的值．【解答】解：（1）一元二次方程的兩個根為故答案為：；（2）一元二次方程的兩個根分別為、；（3）實數(shù)、滿足且．3．已知關(guān)于的方程的兩根分別是且滿足則的值是2．【解答】解：的兩個解分別為、解得：故答案為：2．4．若是方程的兩個實數(shù)根則代數(shù)式的值等于A．2022 B．2026 C．2030 D．2034【解答】解：是方程的實數(shù)根是方程的兩個實數(shù)根．故選：．5．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論為何實數(shù)方程總有兩個不相等的實數(shù)根：（2）若該方程的兩個實數(shù)根滿足．求的值．【解答】（1）證明：△無論為何實數(shù)方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出解得．6．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）如果是方程的兩個解令求的最大值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根△解得：的取值范圍為；（2）是關(guān)于的一元二次方程的兩個解．時的最大值為．7．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根為且求的值．【解答】（1）證明：△無論取何值此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得由得解得．8．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）如果是方程的兩個解令求的最大值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根△解得：的取值范圍為；（2）是關(guān)于的一元二次方程的兩個解．時的最大值為．9．已知關(guān)于的方程．（1）求證：無論為何實數(shù)方程總有實數(shù)根．（2）如果方程有兩個實數(shù)根當時求出的值．【解答】（1）證明：①當時方程為是一元一次方程有實數(shù)根；②當時方程是一元二次方程關(guān)于的方程中△無論為何實數(shù)方程總有實數(shù)根．（2）解：如果方程的兩個實數(shù)根則解得．故的值是或2．10．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩實根為、且求的值．【解答】（1）證明：△方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩實根為、且解得即的值是1或2．11．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍．（2）設(shè)出、是方程的兩根且求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：△解得：．的取值范圍是．（2）根據(jù)題意得：解得：（不合題意舍去）的值是．12．關(guān)于的方程．（1）求證：無論為何值方程總有實數(shù)根．（2）設(shè)是方程的兩個根記的值能為2嗎？若能求出此時的值；若不能請說明理由．【解答】解：（1）當時原方程可化為解得：此時該方程有實根；當時方程是一元二次方程△無論為何實數(shù)方程總有實數(shù)根綜上所述無論為何實數(shù)方程總有實數(shù)根．（2）的值可以為2理由如下：由根與系數(shù)關(guān)系可知若則即將、代入整理得：解得（舍或．13．已知關(guān)于的方程有兩個正整數(shù)根是正整數(shù)）．的三邊、、滿足．求：（1）的值；（2）的面積．【解答】解：（1）關(guān)于的方程有兩個正整數(shù)根是整數(shù)）．設(shè)是此方程的兩個根也是正整數(shù)即或2或3或6或9或18又為正整數(shù)；（2）把代入兩等式化簡得當時當時、是方程的兩根而△由韋達定理得則、．①時由于故為直角三角形且．②時因故不能構(gòu)成三角形不合題意舍去．③時因故能構(gòu)成三角形．綜上的面積為1或．14．設(shè)是不小于的實數(shù)關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、（1）若求值；（2）求的最大值．【解答】解：方程有兩個不相等的實數(shù)根△結(jié)合題意知：．（1）；（2）．對稱軸當時式子取最大值為10．二．用韋達定理構(gòu)造一元二次方程（共10小題）15．請寫出一個以和為根的一元二次方程．【解答】解：設(shè)的兩根分別是和方程為故答案為：．16．寫出一個以3和為根的一元二次方程是．【解答】解：以和7為根的一元二次方程可以為．故答案為：．17．已知實數(shù)滿足且且的值為A． B． C． D．【解答】解：方法方程兩邊同時除以可得又、是方程的兩實根．方法．故選：．18．如果是兩個不相等實數(shù)且滿足那么等于A．2 B． C． D．6【解答】解：是兩個不相等實數(shù)且滿足是方程的兩個不相等的實數(shù)根則故選：．19．已知且則．【解答】解：根據(jù)題意得：就是方程的兩根則故本題的答案為．20．已知實數(shù)滿足等式則的值是或或．【解答】解：因為實數(shù)滿足等式（1）當或時原式或；（2）當時可以把看作是方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得．則原式．故填空答案：或或．21．若且則．【解答】解：且和是方程的兩個根．故答案為：．22．已知且則的值為3．【解答】解：方程兩邊同時除以再乘變形為和可看作方程的兩根．故答案為：3．23．若且有則．【解答】解：由得又所以得到與都為的兩根根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：所以則；故答案為：．24．已知且．則1．【解答】解：且、可看作方程的兩實數(shù)根．故答案為1．三．根的分布情況（共14小題）25．已知方程有一正一負實根求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：方程有一正一負實根解得即實數(shù)的取值范圍是．26．已知方程有兩個負根求的取值范圍．【解答】解：由題意得解得．27．若方程有一正實根和一負實根則的取值范圍是．【解答】解：方程有一正實根和一負實根解得：．故答案為：．28．方程的根的情況下列結(jié)論中正確的是A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根一個負根 D．無實數(shù)根【解答】解：方程整理得：△方程有兩個不相等的實數(shù)根設(shè)為方程一個正根一個負根且正根絕對值大于負根絕對值．故選：．29．已知方程．（1）若方程在和內(nèi)各有一個實根求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程有一個根小于1另一個根大于1求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程在內(nèi)有兩個實數(shù)根求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：令方程有兩個實數(shù)根．（1）當時；當時；當時．方程在和內(nèi)各有一個實根解得：或．若方程在和內(nèi)各有一個實根實數(shù)的取值范圍為或．（2）當時．方程有一個根小于1另一個根大于1與的符號相反．當時解得：此時；當時解得：此時．綜上可知：若方程有一個根小于1另一個根大于1實數(shù)的取值范圍為或．（3）當時；當時．方程在內(nèi)有兩個實數(shù)根解得：．若方程在內(nèi)有兩個實數(shù)根實數(shù)的取值范圍為．30．一元二次方程根的情況是A．無實數(shù)根 B．有一個正根一個負根 C．有兩個負根 D．有兩個正根【解答】解：方程化為△方程有兩個不相等的實數(shù)根有一個正根一個負根．故選：．31．已知關(guān)于的方程．（1）不解方程判斷方程根的情況并說明理由；（2）如果該方程有一個根大于0求的取值范圍．【解答】解：（1）方程有兩個實數(shù)根理由：關(guān)于的方程是一元二次方程△△原方程有兩個實數(shù)根；（2）該方程有一個根大于0即的取值范圍為．32．關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍．（2）若試說明此方程有兩個負根．（3）在（2）的條件下若求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得△解得；（2）都為負數(shù)即此方程有兩個負根；（3）都為負數(shù)．33．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）請判斷這個方程的根的情況并說明理由；（2）若這個一元二次方程有一個實根小于0求的取值范圍．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根；理由：△關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根；（2）或關(guān)于的一元二次方程有一個實根小于0．34．一元二次方程的根分別滿足以下條件求出實數(shù)的對應(yīng)范圍．（1）兩個根同為正根；（2）兩個根均大于1；（3）．【解答】解：根據(jù)題意知（1）根據(jù)題意知．解得；即兩個根同為正根時實數(shù)的對應(yīng)范圍是；（2）設(shè)則根據(jù)方程的2個根均大于1可得解得即當兩個根均大于1時實數(shù)的對應(yīng)范圍是；（3）聯(lián)立得到：．．整理得解得．△或或都符合題意．故實數(shù)的值為．35．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）請判斷這個方程的根的情況并說明理由；（2）若這個方程的一個實根大于1另一個實根小于0求的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知△方程有兩個實數(shù)根；（2）由題意知【注：用因式分解法解方程：分解為】方程的一個實根大于1另一個實根小于0．36．已知：關(guān)于的方程．（1）請判斷這個方程根的情況；（2）若該方程的一個根小于1求的取值范圍．【解答】解：（1）在已知一元二次方程中△故原方程始終有兩個實數(shù)根；（2）解得由題意即故該方程的一個根小于1時．故的取值范圍為．37．關(guān)于的方程：①和關(guān)于的一元二次方程：②、、均為實數(shù)）方程①的解為非正數(shù)．（1）求的取值范圍；（2）如果方程②的解為負整數(shù)且為整數(shù)求整數(shù)的值．【解答】解：（1）關(guān)于的方程：解得：關(guān)于的方程的解為非正數(shù)解得：由一元二次方程②可知且；（2）一元二次方程中把代入原方程得：因式分解得方程②的解為負整數(shù)為整數(shù)或或．38．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等且非零的實數(shù)根探究滿足的條件．小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程下面是小華的探究過程第一步設(shè)一元二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)為；第二步：借助二