重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊常考題專練（人教A版2019選修一）專題01 通過空間向量解決立體幾何中的角度問題（高考真題專練）含答案

重難點(diǎn)突破--高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練（人教A版2019選修一）專題01通過空間向量解決立體幾何中的角度問題（高考真題專練）題型一直線與平面所成的角1．（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．

2．（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．

3．（2020?天津）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

4．（2021?浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

5．（2018?浙江）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．

題型二二面角的平面角及求法6．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

7．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．

8．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．

9．（2021?天津）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．

10．（2021?北京）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求．

11．（2021?乙卷）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．

12．（2021?甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最??？

13．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．

14．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．

15．（2020?江蘇）在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn)．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．

16．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．

17．（2019?天津）如圖，平面，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．

18．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形、和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的二面角的大?。?/p>

19．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

20．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．

21．（2019?北京）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．專題01通過空間向量解決立體幾何中的角度問題（高考真題專練）題型一直線與平面所成的角 1．（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，，平面；（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，為上的點(diǎn)，，，，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，則為平面與平面的交線為，因?yàn)?，是等腰直角三角形，所以?，，則，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，取，可得，0，，，，與平面所成角的正弦值為．2．（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，，平面；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，設(shè)，0，，，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，取，可得，0，，，，與平面所成角的正弦值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，與平面所成角的正弦值的最大值為．3．（2020?天津）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，（Ⅰ）證明：依題意，，1，，，，，，；（Ⅱ）依題意，，0，是平面的一個(gè)法向量，，2，，，0，，設(shè)，，為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，則，，，，，，，二面角的正弦值；（Ⅲ）依題意，，2，，由（Ⅱ）知，，，為平面的一個(gè)法向量，，，直線與平面所成角的正弦值為．4．（2021?浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，由已知可得，，，，由余弦定理可得，，則，即，又，，平面，而平面，，，；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，，且平面，平面，連接，則，在中，，，，可得，又，在中，求得，取中點(diǎn)，連接，則，可得、、兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，0，，，又為的中點(diǎn)，，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．5．（2018?浙江）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．【解答】證明：平面，平面，，，，，，又，，，同理可得：，又，平面．解：取中點(diǎn)，過作平面的垂線，交于，，，，，，，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，令可得，1，，．設(shè)直線與平面所成的角為，則．直線與平面所成的角的正弦值為．題型二二面角的平面角及求法6．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：中，，，，所以，所以；又，，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)，在平面內(nèi)作，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，，，，，，1，，，0，，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，2，，，，，得，即，令，得，，所以，2，；所以，，所以二面角的平面角的余弦值為．7．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）不妨設(shè)圓的半徑為1，，，，，，在中，，故，同理可得，又，故平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，1，，故，設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，則，，所以平面的法向量為，由（1）可知平面，不妨取平面的法向量為，故，即二面角的余弦值為．8．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．【解答】證明：（1）長方體中，平面，，，，平面．解：（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，平面，，，，，，則，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，，面，故取平面的法向量為，0，，設(shè)平面的法向量，，，由，得，取，得，，，，二面角的正弦值為．9．（2021?天津）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，1，，，2，，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又，2，，，2，，所以，則，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：由（1）可知，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，所以，故二面角的正弦值為．10．（2021?北京）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求．【解答】（1）證明：連結(jié)，在正方體中，，平面，平面，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則，故，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，故，則點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體邊長為2，設(shè)點(diǎn)，0，，且，則，2，，，1，，，1，，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，，故，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，解得，又，所以，故．11．（2021?乙卷）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【解答】解：（1）連結(jié)，因?yàn)榈酌妫移矫?，則，又，，，平面，所以平面，又平面，則，所以，又，則有，所以，則，所以，解得；（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，故以點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，0，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，故，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為．12．（2021?甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最??？【解答】（1）證明：連接，，分別為直三棱柱的棱和的中點(diǎn)，且，，，，，，，，即，故以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，設(shè)，則，0，，，2，，，1，，，即．（2）解：平面，平面的一個(gè)法向量為，0，，由（1）知，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，，，，當(dāng)時(shí)，面與面所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最?。?3．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：如圖，過作，則，且，又，，四邊形為平行四邊形，則，由，為中點(diǎn)，得為中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，，，則四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，1，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，又平面的一個(gè)法向量為，．二面角的正弦值為．14．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【解答】解：（1）證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：取的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎切?，所以，過作與交于點(diǎn)，則，所以，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，1，，設(shè)，0，，則，因?yàn)槠矫?，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，所以由，得，令，則，，故，因?yàn)槎娼堑拇笮椋裕獾?，所以，又，所以，故．方法二：過作，交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連結(jié)，由題意可知，，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，又，所以，則，故，所以，因?yàn)?，則，所以，則，所以，則，所以．15．（2020?江蘇）在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn)．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．【解答】解：（1）如圖，連接，，為的中點(diǎn)，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，則．，0，，，0，，，2，，，0，，是的中點(diǎn)，，1，，，．設(shè)直線與所成角為，則，即直線與所成角的余弦值為；（2），，設(shè)，，，則，，，，，，，．，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得．．．16．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：在上取點(diǎn)，使得，連接，，，，在長方體中，有，且．又，，，．四邊形和四邊形都是平行四邊形．，且，，且．又在長方體中，有，且，且，則四邊形為平行四邊形，，且，又，且，，且，則四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，，，1，，，0，，，1，，，1，，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，取，得．．設(shè)二面角為，則．二面角的正弦值為．17．（2019?天津）如圖，平面，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．【解答】（Ⅰ）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．設(shè)，則，2，．則是平面的法向量，又，可得．又直線平面，平面；（Ⅱ）解：依題意，，，．設(shè)為平面的法向量，則，令，得．．直線與平面所成角的正弦值為；（Ⅲ）解：設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，由題意，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．線段的長為．18．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形、和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的二面角的大?。窘獯稹孔C明：（1）由已知得，，，，確定一個(gè)平面，，，，四點(diǎn)共面，由已知得，，面，平面，平面平面．解：（2）作，垂足為，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的邊長為2，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，則，1，，，0，，，0，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，6，，又平面的法向量為，1，，，二面角的大小為．19．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）證明：在半圓中，，正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，平面，則，，平面，平面，平面平面．（2）的面積為定值，要使三棱錐體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)為圓弧的中點(diǎn)，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖正方形的邊長為2，，，，，1，，，0，，則平面的法向量，0，，設(shè)平面的法向量為，，則，2，，，1，，由，，令，則，，即，0，，則，，則面與面所成二面角的正弦值．20．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：連接，，是的中點(diǎn)，，且，又，，，則，則，，平面；（2）建立以坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：，，，，0，，，2，，，0，，，2，，設(shè)，，，則，，，，，，，則平面的法向量為，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，，則，令，則，，即，，，二面角為，，即，解得或（舍，則平面的法向量，，，，2，，與平面所成角的正弦值，．21．（2019?北京）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．【解答】證明：（Ⅰ）平面，，，，平面．解：（Ⅱ）以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，1，，，，，，0，，，，，，1，，，平面的法向量，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）直線在平面內(nèi)，理由如下：點(diǎn)在上，且．，，，，，，平面的法向量，1，，，故直線在平面內(nèi)．專題02立體幾何中存在性問題的向量解法題型一與平行有關(guān)的存在性問題1．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使平面，給出你的結(jié)論，并證明．2．如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)．（1）若平面，求二面角的大??；（2）在（1）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由．

3．已知在六面體中，平面，平面，且，底面為菱形，且．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，試問：在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．4．如圖：平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．

5．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．6．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻chú甍méng者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大??；（2）求三棱錐的體積；（3）點(diǎn)在直線上，滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．題型二與垂直有關(guān)的存在性問題7．如圖，在直角梯形中，，，且，是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請求出點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由．8．如圖所示，在長方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在直三棱柱中、．，是中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱存在一點(diǎn)，滿足，求平面與平面夾角的余弦值．10．如圖，在長方體中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若線段上存在點(diǎn)使得，求與平面所成角的正弦值．11．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是線段的中點(diǎn)．已知，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直線上是否存在點(diǎn)，使得與垂直？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．12．如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，二面角的大小為，設(shè)平面與平面的交線為．（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；（2）若點(diǎn)在上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．題型三與距離有關(guān)的存在性問題13．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？14．如圖，長方體中，，為棱中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)．（1）求二面角平面角的大?。唬?）線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

15．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點(diǎn)．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？請說明理由．題型四與角度有關(guān)的存在性問題16．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由．

17．如圖1，在直角梯形中，，，，．將沿折起，折起后點(diǎn)的位置為點(diǎn)，得到三棱錐如圖2所示，平面平面，直線與平面所成角的正切值為．（1）求線段的長度；（2）試判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，請確定其位置；若不存在，請說明理由．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

19．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：，，三線共點(diǎn)；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面，所成角的正弦值為，若存在，請旨出點(diǎn)的位置，并求二面角的平面角的余弦值大??；若不存在，請說明理由．20．如圖，在多面體中，平面平面，底面為直角梯形，，，，與平行并且相等，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．22．如圖，在四棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面平面，平面，，在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明由．

23．如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是和的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．24．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在線段是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

25．如圖，四棱錐的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一動點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的正弦值為？若存在，試確定的位置；若不存在，說明理由．26．如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）棱（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．專題02立體幾何中存在性問題的向量解法題型一與平行有關(guān)的存在性問題1．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使平面，給出你的結(jié)論，并證明．【解答】（1）解：設(shè)正方體的邊長為單位長度，建立如圖直角坐標(biāo)系，則，，0，，，1，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以二面角的余弦值為；（2）棱（包含端點(diǎn)）上不存在點(diǎn)，使平面．證明如下：設(shè)的坐標(biāo)為，1，，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，1，，所以，若在棱（包含端點(diǎn)）上存在點(diǎn)，使平面，則，所以，即，這與矛盾，所以棱（包含端點(diǎn)）上不存在點(diǎn)，使平面．2．如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)．（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由．【解答】解：（1）連接，，設(shè)交點(diǎn)為，連接，為正方形，點(diǎn)為與的中點(diǎn)，由題意可知，，故，同理，，且，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的平面角為銳角，則，則，二面角的大小為；（2），設(shè)，故，于是，平面的一個(gè)法向量為，且平面，，解得，即點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)．3．已知在六面體中，平面，平面，且，底面為菱形，且．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，試問：在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：連接，四邊形為菱形，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，為在平面上的射影，為直線與平面所成角，則，得，令，則，又四邊形為菱形，，為等邊三角形，得，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，2，，，0，，，，，2，，，設(shè)，，，，，三點(diǎn)共線，，則，，，，，解得，，，，，，，，，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量為，則，令，則，二面角為，，，解得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，存在點(diǎn)即為點(diǎn)時(shí)，二面角為．4．如圖：平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，，，，所以四邊形為正方形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，于是平面平面．（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫妫?、，又因?yàn)?，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，1，，平面的法向量為，0，，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：不存在，理由如下：假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，令，則，0，，，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量為，1，，因?yàn)槠矫妫?，解得，與，矛盾，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面．5．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）連結(jié)．因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．由（Ⅰ）可知平面，所以，．設(shè)，則．如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則．所以，．因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，，，則，所以令，則，，得，所以．由題知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)平面，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，等價(jià)于．假設(shè)線段上存在點(diǎn)使得平面．設(shè)，則．所以．由，解得．所以當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，且．6．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻chú甍méng者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角的大小；（2）求三棱錐的體積；（3）點(diǎn)在直線上，滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）過點(diǎn)分別作，，分別交，于，，連接，則為二面角的平面角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，所以，，由已知得，所以．?）過點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，，平面，所以平面，所以為三棱錐的高，．因?yàn)?，所以．?）方法一：假設(shè)存在點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接交于，則，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以．②?dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，連接交于，則，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以．綜上，在直線上存在點(diǎn)，使平面，的值為或．方法二：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以．因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以．?dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，所以．所以．綜上，在上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí)或．題型二與垂直有關(guān)的存在性問題7．如圖，在直角梯形中，，，且，是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使平面平面．（1）求二面角的正弦值；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請求出點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）在圖1中，設(shè)，，，，是的中點(diǎn)，則四邊形為正方形，，在圖2中，設(shè)中點(diǎn)為，，平面平面，平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，，，，，，則有，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，1，，，則二面角的正弦值為．（2）假設(shè)在直線上是存在點(diǎn)，使平面，且，則，，，0，，，，平面的法向量，1，，，，方程無解，假設(shè)不成立，在直線上不存在點(diǎn)，使平面．8．如圖所示，在長方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，，，又平面，平面，平面．（2）解：，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，1，，又，0，是平面的一個(gè)法向量，，平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：假設(shè)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，則，不妨設(shè)，則，，，又，0，，，，，，故存在實(shí)數(shù)使得，，方程組無解，故線段上不存在點(diǎn)，使得平面．9．如圖，在直三棱柱中、．，是中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱存在一點(diǎn)，滿足，求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接交于，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，，，，即，，故，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，又，1，為平面的一個(gè)法向量，，，平面與平面夾角的余弦值為．10．如圖，在長方體中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若線段上存在點(diǎn)使得，求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，則，又，故，可得，則有，即，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得底面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面；（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，所以，設(shè)，則，又，則，因?yàn)?，，解得，所以，故，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，，則，故，所以，故與平面所成角的正弦值．11．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是線段的中點(diǎn)．已知，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）直線上是否存在點(diǎn)，使得與垂直？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：連接交于，連接．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以是線段的中點(diǎn)．又因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌?，底面，底面，所以，．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，．因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，故，1，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則．令，則，．于是．因?yàn)榈酌妫詾槠矫娴姆ㄏ蛄浚驗(yàn)?，所以．由題知二面角是銳角，所以其余弦值為．（Ⅲ）解：因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以，，，其中．所以．又因?yàn)?，．所以與垂直等價(jià)于．所以存在點(diǎn)，，，使得與垂直，此時(shí)，，的長為．12．如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，二面角的大小為，設(shè)平面與平面的交線為．（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；（2）若點(diǎn)在上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【解答】解：（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，從而．取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?、分別為矩形對邊中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)?，所以平面，故?dāng)在點(diǎn)時(shí)，平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知為二面角的平面角，其大小為，因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形，，所以，所以，，，，2，，，0，，，2，，設(shè)，，，則，，，，2，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，0，，直線與平面所成角的正弦值為，解得，所以線段的長為．題型三與距離有關(guān)的存在性問題13．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為．可設(shè)，則，，，，0，，，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則由，得，即有①，得，即有②由①②可取，，，則，由于點(diǎn)到平面的距離可看作在上投影的絕對值，則為，解得，，成立．則在線段上存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，使得點(diǎn)到平面的距離為．14．如圖，長方體中，，為棱中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)．（1）求二面角平面角的大??；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，在中，為中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，，所以為正方形，所以，又，所以平面，則為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角平面角的大小為；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為，設(shè)，則，在中，，在中，，所以，由，即，解得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)．15．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點(diǎn)．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？請說明理由．【解答】解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，則，，平面，平面，，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，0，，設(shè)平面和平面的夾角為，由圖知為銳角，則，平面和平面夾角的余弦值為．（2）假設(shè)在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，，，，則，，，點(diǎn)到平面的距離為，，解得（舍或，在線段上存在點(diǎn)（端點(diǎn)處），使點(diǎn)到平面的距離為．題型四與角度有關(guān)的存在性問題16．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，所以為等腰直角三角形，?分）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，?分）又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?分）（2）因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，?分）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，故，0，，，，，，，，，（8分）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，解得，故，（9分）易得平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角，（11分）解得，所以存在滿足題意的點(diǎn)，位置在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處．（12分）17．如圖1，在直角梯形中，，，，．將沿折起，折起后點(diǎn)的位置為點(diǎn)，得到三棱錐如圖2所示，平面平面，直線與平面所成角的正切值為．（1）求線段的長度；（2）試判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，請確定其位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，，所以平面，則與平面所成的角為，又，所以，因?yàn)樵谥苯翘菪沃校?，，所以，故，令，則，解得，所以，即；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，0，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑挠嘞抑禐椋?，解得或（舍，?dāng)時(shí)，，故為的四等分點(diǎn)，且．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，又，平面，平面，，為正方形，，又，，平面，平面，平面，，為線段的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，（2）存在定點(diǎn)，使平面與平面所成的銳二面角為以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為2，則，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，設(shè)，2，，則，設(shè)平向的一個(gè)法向量為，則，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，則，平面與平面所成的銳二面角為，，解得，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為．19．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：，，三線共點(diǎn)；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面，所成角的正弦值為，若存在，請旨出點(diǎn)的位置，并求二面角的平面角的余弦值大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．【解答】（1）證明：且，，共面．設(shè)，則，而面，面；同理可得面，點(diǎn)在面與面的公共直線上，即，，三線共點(diǎn)．（2）解：根據(jù)題意可知，，，兩兩垂直，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，0，，，0，，，2，，，1，，故，．假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，2，，，則，設(shè)平面的法向量為，則由，得，不妨取，則，．所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面的平面角為，則，得設(shè)平面的法向量為，則平面的一個(gè)法向量為，二面角的平面角的余弦值．20．如圖，在多面體中，平面平面，底面為直角梯形，，，，與平行并且相等，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）證明：，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知，平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，，4，，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，設(shè)，，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，，二面角的平面角余弦值為，，，，故在線段上是否存在點(diǎn)，且．21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，