高中數(shù)學人教A版高考(文科)一輪設計第三章教師用書(含答案)課件

第

1講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算最新考綱

1.了解導數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意1義；3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)

y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝xx的導數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).知

識

梳

理1.導數(shù)的概念(1)函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x

處的導數(shù)0Δy一

般

地

，

函

數(shù)

y＝

f(x)在

x＝

x

處

的

瞬

時

變

化

率

是

lim

＝

lim0x0Δxx0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，我們稱它為函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x

處的導數(shù)，記作

f′(x

)或00f（x0＋Δx）－f（x0）Δxy′|x＝x

，即

f′(x

)＝

lim.00x0(2)函數(shù)

f(x)的導函數(shù)如果函數(shù)

y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內構成f（x＋Δx）－f（x）一個新函數(shù)，這個函數(shù)

f′(x)＝

lim為

f(x)的導函數(shù).x0Δx2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)

y＝f(x)在點

x

處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線

y＝f(x)在點

P(x

，f(x

))處的切000線的斜率，過點

P的切線方程為

y－y

＝f′(x

)(x－x

).0003.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f′(x)＝0f(x)＝C(C為常數(shù))f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－11第1講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算最新考綱1.了解導數(shù)概1f(x)＝sinxf(x)＝cosxf′(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf′(x)＝exf(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlna1f(x)＝lnxf′(x)＝x1f(x)＝log

xaf′(x)＝xln

a(a>0，且

a≠1)4.導數(shù)的運算法則若

f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(3)[

]′＝(g(x)≠0).g（x）[g（x）]2診

斷

自

測1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)

精彩

PPT展示(1)f′(x

)與(f(x

))′表示的意義相同.(

)00(2)求

f′(x

)時，可先求

f(x

)，再求

f′(x

).(

)000(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.(

)(4)若

f(x)＝a3＋2ax＋x2，則

f′(x)＝3a2＋2x.(

)解析

(1)f′(x

)表示函數(shù)

f(x)的導數(shù)在

x

處的值，而

f((x

))′表示函數(shù)值

f(x

)的導數(shù)，0000其意義不同，(1)錯.(2)求

f′(x

)時，應先求

f′(x)，再代入求值，(2)錯.0(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)錯.答案

(1)×(2)×(3)√(4)×32.(選修

1－1P75例

1改編)有一機器人的運動方程為

s(t)＝t2＋

(t是時間，s是位t移)，則該機器人在時刻

t＝2時的瞬時速度為(

)

2f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝exf(2194174154134A.B.C.D.3解析由題意知，機器人的速度方程為

v(t)＝s′(t)＝2t－

，故當

t＝2時，機器人t2313的瞬時速度為

v(2)＝2×2－

＝

.224答案D3.(2016·天津卷)已知函數(shù)

f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為

f(x)的導函數(shù)，則

f′(0)的值為________.解析因為

f(x)＝(2x＋1)ex，所以

f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以

f′(0)＝3e0＝3.答案34.(2017·豫北名校期末聯(lián)考)曲線

y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________.解析∵y′＝－5ex，∴所求曲線的切線斜率

k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切線方程為

y－(－2)＝－5(x－0)，即

5x＋y＋2＝0.答案5x＋y＋2＝05.(2015·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)

f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2，7)，則

a＝________.解析由題意可得

f′(x)＝3ax2＋1，則

f′(1)＝3a＋1，又

f(1)＝a＋2，∴切線方程為

y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1).∵切線過點(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得

a＝1.答案1考點一導數(shù)的計算【例

1】

求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝exlnx；319171513A.B.C.D.3解析由題意知，機器人的速311(2)y＝x(x2＋

＋)；x

x3xx(3)y＝x－sin

cos

；22cosx(4)y＝.ex11解(1)y′＝(ex)′ln

x＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex

＝(lnx＋x)ex.x1(2)因為

y＝x3＋1＋

，x212所以

y′＝(x3)′＋(1)′＋(

)′＝3x2－

.x2x31(3)因為

y＝x－

sinx，211(21所以

y′＝(x－

sinx)′＝x′－sinx

′＝1－

cosx.)22cosx（cosx）′ex－cosx（ex）′（ex）2(4)y′＝(

)′＝exsinx＋cosx＝－.ex規(guī)律方法(1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算法則是導數(shù)計算的前提，求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯.(2)如函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導.【訓練

1】

(1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若

f′(x

)＝2018，則

x

等于(

)00A.e2B.1C.ln2D.e(2)(2015·天津卷)已知函數(shù)

f(x)＝axln

x，x∈(0，＋∞)，其中

a

為實數(shù)，f′(x)為

f(x)的導函數(shù).若

f′(1)＝3，則

a

的值為________.1解析(1)f′(x)＝2017＋lnx＋

·x＝2018＋lnx.x由

f′(x

)＝2018，得

lnx

＝0，則

x

＝1.0001(2)f′(x)＝a(lnx＋x·x)＝a(1＋lnx).411(2)y＝x(x2＋＋)xx3xx(3)y＝x－si4由于

f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又

f′(1)＝3，所以

a＝3.答案(1)B

(2)3考點二導數(shù)的幾何意義(多維探究)命題角度一求切線方程【例

2－1】

(1)(2016·全國Ⅲ卷)已知

f(x)為偶函數(shù)，當

x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線

y＝f(x)在點(1，2)處的切線方程是________.(2)(2017·威海質檢)已知函數(shù)

f(x)＝xlnx，若直線

l

過點(0，－1)，并且與曲線

y＝f(x)相切，則直線

l

的方程為(

)A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0D.x－y＋1＝0C.x＋y＋1＝0解析(1)設

x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又

f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以當

x>0時，f(x)＝ex－1＋x.因此，當

x>0時，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.則曲線

y＝f(x)在點(1，2)處的切線的斜率為

f′(1)＝2，所以切線方程為

y－2＝2(x－1)，即

2x－y＝0.(2)∵點(0，－1)不在曲線

f(x)＝xlnx

上，∴設切點為(x

，y

).00y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，又∵f′(x)＝1＋lnx，∴{解得

x

＝1，y

＝0.)00∴切點為(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直線

l

的方程為

y＝x－1，即

x－y－1＝0.答案

(1)2x－y＝0

(2)B命題角度二求切點坐標1【例

2－2】

(2017·西安調研)設曲線

y＝ex

在點(0，1)處的切線與曲線

y＝

(x>0)上x點

P

處的切線垂直，則

P

的坐標為________.解析由

y′＝ex，知曲線

y＝ex

在點(0，1)處的切線斜率

k

＝e0＝1.111設

P(m，n)，又

y＝

(x>0)的導數(shù)

y′＝－

，xx25由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3511曲線

y＝

(x>0)在點

P

處的切線斜率

k

＝－.2xm2依題意

k

k

＝－1，所以

m＝1，從而

n＝1.1

2則點

P

的坐標為(1，1).答案(1，1)命題角度三求與切線有關的參數(shù)值(或范圍)11【例

2－3】

已知直線

y＝

x＋b

與曲線

y＝－

x＋lnx

相切，則

b

的值為(

)2212A.2B.－1C.－D.1解析設切點坐標為

P(x

，y

)，0011

1由

y＝－

x＋lnx，得

y′＝－

＋

.22

x11∴y′|x＝x

＝－

＋

，02

x011112依題意，－

＋

＝

，∴x

＝1，則

P(1，－)，02

x0211又切點

P(1，－

在直線

y＝

x＋b

上，)221

1故－

＝

＋b，得

b＝－1.2

2答案B規(guī)律方法

(1)導數(shù)

f′(x

)的幾何意義就是函數(shù)

y＝f(x)在點

P(x

，y

)處的切線的斜000率，切點既在曲線上，又在切線上.切線有可能和曲線還有其他的公共點.(2)“曲線在點

P

處的切線”是以點

P

為切點，“曲線過點

P

的切線”則點

P

不一定是切點，此時應先設出切點坐標.(3)當曲線

y＝f(x)在點(x

，f(x

))處的切線垂直于

x

軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存00在，切線方程是

x＝x

.0【訓練

2】

(1)若曲線

y＝xlnx

上點

P

處的切線平行于直線

2x－y＋1＝0，則點

P的坐標是________.(2)函數(shù)

f(x)＝lnx＋ax

的圖象存在與直線

2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)

a

的取值范圍是________.1解析(1)由題意得

y′＝lnx＋x·

＝1＋lnx，直線

2x－y＋1＝0的斜率為

2.x611曲線y＝(x>0)在點P處的切線斜率k＝－.6設

P(m，n)，則

1＋lnm＝2，解得

m＝e，所以

n＝elne＝e，即點

P

的坐標為(e，e).(2)函數(shù)

f(x)＝lnx＋ax

的圖象存在與直線

2x－y＝0

平行的切線，即

f′(x)＝2

在(0，＋111∞)上有解，而

f′(x)＝

＋a，即

＋a

在(0，＋∞)上有解，a＝2－

，因為

a＞0，所xxx1以

2－

＜2，所以

a

的取值范圍是(－∞，2).x答案(1)(e，e)

(2)(－∞，2)[思想方法]1.f′(x

)代表函數(shù)f(x)在x＝x

處的導數(shù)值；(f(x

))′是函數(shù)值f(x

)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x

)00000是一個常數(shù)，其導數(shù)一定為

0，即(f(x

))′＝0.02.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.在實施化簡時，必須注意交換的等價性.3.曲線的切線與二次曲線的切線的區(qū)別：曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.[易錯防范]1.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.2.曲線

y＝f(x)“在點

P(x

，y

)處的切線”與“過點

P(x

，y

)的切線”的區(qū)別：前0000者

P(x

，y

)為切點，而后者

P(x

，y

)不一定為切點.00003.對含有字母參數(shù)的函數(shù)要分清哪是變量哪是參數(shù)，參數(shù)是常量，其導數(shù)為零.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.設

y＝x2ex，則

y′＝(

)A.x2ex＋2xB.2xexC.(2x＋x2)exD.(x＋x2)ex解析y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.7設P(m，n)，則1＋lnm＝2，解得m＝e，所以7答案C2.已知函數(shù)

f(x)的導函數(shù)為

f′(x)，且滿足

f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，則

f′(1)等于(

)A.－eB.－1C.1D.e1解析由

f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得

f′(x)＝2f′(1)＋

，x∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則

f′(1)＝－1.答案B3.曲線

y＝sinx＋ex在點(0，1)處的切線方程是(

)A.x－3y＋3＝0C.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0D.3x－y＋1＝0解析y′＝cosx＋ex，故切線斜率為

k＝2，切線方程為

y＝2x＋1，即

2x－y＋1＝0.答案C4.(2017·成都診斷)已知曲線

y＝lnx的切線過原點，則此切線的斜率為(

)11A.eB.－eC.eD.－e1解析y＝lnx的定義域為(0，＋∞)，且

y′＝

，設切點為(x

，lnx

)，則

y′|x＝x

＝000x11，切線方程為

y－lnx

＝

(x－x

)，因為切線過點(0，0)，所以－lnx

＝－1，解000x0x01得

x

＝e，故此切線的斜率為

.0e答案C1＋cosxsinxπ5.(2017·昆明診斷)設曲線

y＝在點(2，1)處的切線與直線

x－ay＋1＝0平行，則實數(shù)

a等于(

)1A.－1B.C.－2D.22－1－cosxsin2

xπ1解析∵y′＝，∴y′|x＝

＝－1.由條件知

＝－1，∴a＝－1.2a答案A二、填空題6.若曲線

y＝ax2－lnx在點(1，a)處的切線平行于

x軸，則

a＝________.8答案C2.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足81解析因為

y′＝2ax－

，所以

y′|x＝1＝2a－1.因為曲線在點(1，a)處的切線平行于

xx1軸，故其斜率為

0，故

2a－1＝0，解得

a＝

.2答案

127.(2017·長沙一中月考)如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線

l：y＝kx＋2是曲線

y＝f(x)在

x＝3處的切線，令

g(x)＝xf(x)，其中

g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則

g′(3)＝________.1解析由圖形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－

，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，3∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08.(2015·全國Ⅱ卷)已知曲線

y＝x＋lnx

在點(1，1)處的切線與曲線

y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則

a＝________.1解析由

y＝x＋lnx，得

y′＝1＋

，得曲線在點(1，1)處的切線的斜率為

k＝y(tǒng)′|x＝1x＝2，所以切線方程為

y－1＝2(x－1)，即

y＝2x－1.又該切線與

y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去

y，得

ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且

Δ＝a2－8a＝0，解得

a＝8.答案8三、解答題19.已知點

M

是曲線

y＝

x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在

M

處的切線為

l，求：3(1)斜率最小的切線方程；(2)切線

l

的傾斜角

α

的取值范圍.解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，5所以當

x＝2時，y′＝－1，y＝

，35所以斜率最小的切線過點(2，)，311斜率

k＝－1，所以切線方程為

x＋y－

＝0.3(2)由(1)得

k≥－1，91解析因為y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－19π3π所以

tanα≥－1，所以

α∈[0，2∪)

[，π

.)410.已知曲線

y＝x3＋x－2在點

P

處的切線

l

平行于直線

4x－y－1＝0，且點

P

在010第三象限.(1)求

P

的坐標；0(2)若直線

l⊥l

，且

l

也過切點

P

，求直線

l

的方程.10解(1)由

y＝x3＋x－2，得

y′＝3x2＋1，由已知令

3x2＋1＝4，解之得

x＝±1.當

x＝1時，y＝0；當

x＝－1時，y＝－4.又∵點

P

在第三象限，∴切點

P

的坐標為(－1，－4).001(2)∵直線

l⊥l

，l

的斜率為

4，∴直線

l

的斜率為－

.∵l

過切點

P

，點

P

的坐標110041為(－1，－4)，∴直線

l

的方程為

y＋4＝－

(x＋1)，即

x＋4y＋17＝0.4能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2016·山東卷)若函數(shù)

y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱

y＝f(x)具有

T性質，下列函數(shù)中具有

T性質的是(

)A.y＝sinxC.y＝exB.y＝lnxD.y＝x3解析若

y＝f(x)的圖象上存在兩點(x

，f(x

))，(x

，f(x

))，1122使得函數(shù)圖象在這兩點處的切線互相垂直，則

f′(x

)·f′(x

)＝－1.12對于

A：y′＝cosx，若有

cosx

·cosx

＝－1，則當

x

＝2kπ，x

＝2kπ＋π(k∈Z)時，1212結論成立；11

1對于

B：y′＝

，若有

·

＝－1，即

x

x

＝－1，∵x

＞0，x

>0，∴不存在

x

，x

，1

21212xx1

x2使得

x

x

＝－1；1

2對于

C：y′＝ex，若有

ex

·ex

＝－1，即

ex

＋x

＝－1.顯然不存在這樣的

x

，x

；121212對于

D：y′＝3x2，若有

3x21·3x2＝－1，即

9x21x2＝－1，顯然不存在這樣的

x

，x

.12答案A12.(2017·合肥模擬)點

P

是曲線

x2－y－lnx＝0

上的任意一點，則點

P

到直線

y＝x－10π3π所以tanα≥－1，所以α∈[0，2∪，π.)102的最小距離為(

)35A.1B.C.D.

222解析點

P

是曲線

y＝x2－lnx

上任意一點，當過點

P

的切線和直線

y＝x－2平行時，點

P

到直線

y＝x－2的距離最小，直線

y＝x－2的斜率為

1，令

y＝x2－lnx，11得

y′＝2x－

＝1，解得

x＝1或

x＝－

(舍去)，x2故曲線

y＝x2－lnx

上和直線

y＝x－2平行的切線經(jīng)過的切點坐標為(1，1)，點(1，1)到直線

y＝x－2的距離等于

2，∴點

P

到直線

y＝x－2的最小距離為

2.答案D113.若函數(shù)

f(x)＝

x2－ax＋ln

x

存在垂直于

y

軸的切線，則實數(shù)

a

的取值范圍是2________.1解析∵f(x)＝

x2－ax＋lnx，21∴f′(x)＝x－a＋

(x>0).x∵f(x)存在垂直于

y

軸的切線，∴f′(x)存在零點，11即

x＋

－a＝0有解，∴a＝x＋

≥2(當且僅當

x＝1時取等號).xx答案[2，＋∞)214.已知函數(shù)

f(x)＝x－

，g(x)＝a(2－lnx)(a>0).若曲線

y＝f(x)與曲線

y＝g(x)在

x＝1x處的切線斜率相同，求

a

的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線.2a解根據(jù)題意有

f′(x)＝1＋

，g′(x)＝－

.x2x曲線

y＝f(x)在

x＝1處的切線斜率為

f′(1)＝3，曲線

y＝g(x)在

x＝1處的切線斜率為

g′(1)＝－a，所以

f′(1)＝g′(1)，即

a＝－3.曲線

y＝f(x)在

x＝1處的切線方程為

y－f(1)＝3(x－1).所以

y＋1＝3(x－1)，即切線方程為

3x－y－4＝0.曲線

y＝g(x)在

x＝1處的切線方程為

y－g(1)＝3(x－1)，所以

y＋6＝3(x－1)，即切線方程為

3x－y－9＝0，112的最小距離為()35A.1B.C.D.222解析11所以，兩條切線不是同一條直線.第

2講導數(shù)在研究函數(shù)中的應用最新考綱

1.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次)；2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)不超過三次)；3.會用導數(shù)解決實際問題.知

識

梳

理1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系函數(shù)

y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，則：(1)若

f′(x)>0，則

f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；(2)若

f′(x)<0，則

f(x)在這個區(qū)間內單調遞減；(3)若

f′(x)＝0，則

f(x)在這個區(qū)間內是常數(shù)函數(shù).2.函數(shù)的極值與導數(shù)的關系(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點

x＝a

附近的左側

f′(x)<0，右側

f′(x)>0，則點

a

叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點

x＝b

附近的左側

f′(x)>0，右側

f′(x)<0，則點

b

叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值.3.函數(shù)的最值與導數(shù)的關系(1)函數(shù)

f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)

y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求

y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)

y＝f(x)在(a，b)內的極值；12所以，兩條切線不是同一條直線.第2講導數(shù)在研究函數(shù)中的12②將函數(shù)

y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值

f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.診

斷

自

測1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)

精彩

PPT展示(1)若函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有

f′(x)>0.(

)(2)f′(x)>0是

f(x)為增函數(shù)的充要條件.(

)(3)對可導函數(shù)

f(x)，f′(x

)＝0是

x

為極值點的充要條件.(

)00(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.(

)解析

(1)函數(shù)

f(x)在(a，b)上單調遞增，則在(a，b)上有

f′(x)≥0，故(1)錯.(2)f′(x)＞0是

f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，(2)錯.(3)如

f(x)＝x3，當

x＝0時，f′(x)＝0，而函數(shù)

f(x)在

R

上為增函數(shù)，所以

x＝0不是極值點，故(3)錯.答案

(1)×(2)×(3)×(4)√2.(選修

1－1P94探究改編)函數(shù)

f(x)的定義域為區(qū)間(a，b)，導函數(shù)

f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a，b)內極小值點的個數(shù)為(

)A.1B.2C.3D.4解析導函數(shù)

f′(x)的圖象與

x

軸的交點中，左側圖象在

x

軸下方，右側圖象在

x軸上方的只有一個，所以

f(x)在區(qū)間(a，b)內有一個極小值點.答案A13.(2017·鄭州調研)函數(shù)

y＝

x2－lnx

的單調遞減區(qū)間為(

)2A.(－1，1]B.(0，1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)1解析函數(shù)

y＝

x2－lnx

的定義域為(0，＋∞)，21

（x－1）（x＋1）y′＝x－

＝，令

y′≤0，則可得

0<x≤1.xx答案B4.(2016·四川卷)已知

a

為函數(shù)

f(x)＝x3－12x

的極小值點，則

a＝(

)A.－4

B.－2

C.4

D.213②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f13解析由題意得

f′(x)＝3x2－12，令

f′(x)＝0得

x＝±2，當

x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數(shù)

f(x)單調遞增，當

x∈(－2，2)時，f′(x)<0，函數(shù)

f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)

f(x)單調遞增.故

f(x)在

x＝2處取得極小值，∴a＝2.答案D5.(2014·全國Ⅱ卷改編)若函數(shù)

f(x)＝kx－lnx

在區(qū)間(1，＋∞)單調遞增，則

k

的取值范圍是________.1解析依題意得

f′(x)＝k－

≥0在(1，＋∞)上恒成立，x11即

k≥

在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<

<1，∴k≥1.xx答案[1，＋∞)第

1課時導數(shù)與函數(shù)的單調性考點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性1e【例

1】

(2016·四川卷節(jié)選)設函數(shù)

f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝

－

，其中

a∈R，ex

ex＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論

f(x)的單調性；(2)證明：當

x>1時，g(x)>0.1

2ax2－1(1)解由題意得

f′(x)＝2ax－

＝(x>0).xx當

a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減.1當

a>0時，由

f′(x)＝0有

x＝，2a1當

x∈當

x∈(0，

2a)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；1(，＋∞

時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.)2a(2)證明令

s(x)＝ex－1－x，則

s′(x)＝ex－1－1.當

x>1時，s′(x)>0，所以

ex－1>x，14解析由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝01411從而

g(x)＝

－>0.x

ex－1規(guī)律方法用導數(shù)討論(證明)函數(shù)

f(x)在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求

f′(x)；(2)確認

f′(x)在(a，b)內的符號；(3)作出結論：f′(x)>0時為增函數(shù)；f′(x)<0時為減函數(shù).【訓練

1】

設

f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，試討論

f(x)的單調性.解f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2]＝ex(ax＋1)(x＋2)1＝aex(x＋)(x＋2)a11①當

a＝

時，f′(x)＝

ex(x＋2)2≥0恒成立，22∴函數(shù)

f(x)在

R

上單調遞增；11②當

0＜a＜

時，有

＞2，2a1令

f′(x)＝aex(x＋)(x＋2)＞0，a1有

x＞－2或

x＜－

，a11令

f′(x)＝aex(x＋)(x＋2)＜0，有－

＜x＜－2，aa1∴函數(shù)

f(x)在(－∞，－)和(－2，＋∞)上單調遞增，a1在(－

，－2)上單調遞減；a11③當

a＞

時，有

＜2，2a1令

f′(x)＝aex(x＋

(x＋2)＞0時，)a1有

x＞－

或

x＜－2，a1511從而g(x)＝－>0.xex－1規(guī)律方法用導數(shù)討151令

f′(x)＝aex(x＋)(x＋2)＜0時，a1有－2＜x＜－

，a11∴函數(shù)

f(x)在(－∞，－2)和(－

，＋∞)上單調遞增；在(－2，－)上單調遞減.aa考點二求函數(shù)的單調區(qū)間(易錯警示)4【例

2】

(2015·重慶卷改編)已知函數(shù)

f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在

x＝－

處取得極值.3(1)確定

a

的值；(2)若

g(x)＝f(x)ex，求函數(shù)

g(x)的單調減區(qū)間.解(1)對

f(x)求導得

f′(x)＝3ax2＋2x，443因為

f(x)在

x＝－

處取得極值，所以

f′(－)＝0，316即

3a·

＋2·94316a

81(－)＝

－

＝0，解得

a＝

.3321(2(2)由(1)得

g(x)＝x3＋x2

ex)31故

g′(x)＝()ex＋x2＋2x(x3＋x2

ex)221(251＝x3＋

x2＋2x

ex＝

x(x＋1)(x＋4)ex.)22令

g′(x)<0，得

x(x＋1)(x＋4)<0.解之得－1<x<0或

x<－4.所以

g(x)的單調減區(qū)間為(－1，0)，(－∞，－4).規(guī)律方法求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)

f(x)的定義域；(2)求

f′(x)；(3)在定義域內解不等式

f′(x)>0，得單調遞增區(qū)間；(4)在定義域內解不等式

f′(x)<0，得單調遞減區(qū)間.易錯警示個別導數(shù)為

0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如函數(shù)

f(x)＝x3，f′(x)＝161令f′(x)＝aex()(x＋2)＜0時，a1有－2＜163x2≥0(x＝0時，f′(x)＝0)，但

f(x)＝x3在

R

上是增函數(shù).x

a3【訓練

2】

已知函數(shù)

f(x)＝

＋

－ln

x－

，其中

a∈R，且曲線

y＝f(x)在點(1，f(1))4

x21處的切線垂直于直線

y＝

x.2(1)求

a

的值；(2)求函數(shù)

f(x)的單調區(qū)間.1a1解(1)對

f(x)求導得

f′(x)＝

－

－

，4

x2x135由

f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線

y＝

x

知

f′(1)＝－

－a＝－2，解得

a＝

.244x53(2)由(1)知

f(x)＝

＋

－lnx－

，(x>0).4

4x2x2－4x－5則

f′(x)＝.令

f′(x)＝0，解得

x＝－1或

x＝5.4x2但－1?(0，＋∞)，舍去.當

x∈(0，5)時，f′(x)<0；當

x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0.∴f(x)的增區(qū)間為(5，＋∞)，減區(qū)間為(0，5).考點三已知函數(shù)的單調性求參數(shù)(易錯警示)1【例

3】

(2017·西安模擬)已知函數(shù)

f(x)＝lnx，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0).2(1)若函數(shù)

h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區(qū)間，求

a

的取值范圍；(2)若函數(shù)

h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調遞減，求

a

的取值范圍.1解

(1)h(x)＝lnx－

ax2－2x，x>0.21∴h′(x)＝

－ax－2.x若函數(shù)

h(x)在(0，＋∞)上存在單調減區(qū)間，112則當

x>0時，

－ax－2<0有解，即

a>

－

有解.xx2x12設

G(x)＝

－

，所以只要

a>G(x)

.(*)minx2x12又

G(x)＝(x－1)－1，所以

G(x)

＝－1.min所以

a>－1.即實數(shù)

a

的取值范圍是(－1，＋∞).(2)由

h(x)在[1，4]上單調遞減，173x2≥0(x＝0時，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3171∴當

x∈[1，4]時，h′(x)＝

－ax－2≤0恒成立，(**)x12則

a≥

－

恒成立，所以

a≥G(x)max.x2x12－1，x∈[1，4]又

G(x)＝(x－1)114因為

x∈[1，4]，所以

∈[，1

，]x77所以

G(x)max＝－

(此時

x＝4)，所以

a≥－

.16167當

a＝－

時，161716＋7x2－32x

（7x－4）（x－4）h′(x)＝

＋

x－2＝x

16＝，16x16x∵x∈[1，4]，（7x－4）（x－4）16x∴h′(x)＝≤0，當且僅當

x＝4時等號成立.(***)∴h(x)在[1，4]上為減函數(shù).7故實數(shù)

a

的取值范圍是[－

，＋∞).161易錯警示

(1)特稱命題理解不清，不能將第(1)問轉化為

－ax－2<0有解，難以x得到不等式(*).錯求

a

的取值范圍.(2)錯誤理解“f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的

x∈(a，b)都有

f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上

f′(x)不恒為

0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.”導致在第(2)問中(**)處易錯求

h′(x)<0恒7成立，另外在(***)處容易忽視

a＝－

進行檢驗.16【訓練

3】

已知函數(shù)

f(x)＝x3－ax－1.(1)若

f(x)在

R

上為增函數(shù)，求實數(shù)

a

的取值范圍；(2)若函數(shù)

f(x)的單調減區(qū)間為(－1，1)，求

a

的值.解(1)因為

f(x)在

R

上是增函數(shù)，所以

f′(x)＝3x2－a≥0在

R

上恒成立，即

a≤3x2對

x∈R

恒成立.因為

3x2≥0，所以只需

a≤0.181∴當x∈[1，4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成18又因為

a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，當且僅當

x＝0時取等號.∴f(x)＝x3－1在

R

上是增函數(shù).所以實數(shù)

a

的取值范圍是(－∞，0].(2)f′(x)＝3x2－a.當

a≤0時，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，所以

a≤0不合題意.當

a>0時，令

3x2－a<0，3a3a得－<x<，333a3a∴f(x)的單調遞減區(qū)間為(－，)，333a依題意，＝1，即

a＝3.3[思想方法]1.已知函數(shù)解析式求單調區(qū)間，實質上是求

f′(x)>0，f′(x)<0的解，并注意函數(shù)

f(x)的定義域.2.含參函數(shù)的單調性要分類討論，通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性.3.已知函數(shù)單調性可以利用已知區(qū)間和函數(shù)單調區(qū)間的包含關系或轉化為恒成立問題兩種思路解決.[易錯防范]1.求單調區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則.2.注意兩種表述“函數(shù)

f(x)在(a，b)上為減函數(shù)”與“函數(shù)

f(x)的減區(qū)間為(a，b)”的區(qū)別.3.在某區(qū)間內

f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)

f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.4.可導函數(shù)

f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且

f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內都不恒為零.19又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，當且僅當x＝019基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.函數(shù)

f(x)＝x－lnx

的單調遞減區(qū)間為(

)A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)1

x－1解析函數(shù)的定義域是(0，＋∞)，且

f′(x)＝1－

＝，令

f′(x)<0，解得

0<x<1，xx所以單調遞減區(qū)間是(0，1).答案A2.(2015·陜西卷)設

f(x)＝x－sinx，則

f(x)(

)A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)C.是有零點的減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)D.是沒有零點的奇函數(shù)解析因為

f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項

A和

C.又因為

f(0)＝0－sin0＝0，所以函數(shù)存在零點，排除選項

D，故選

B.答案B3.已知定義在

R

上的函數(shù)

f(x)，其導函數(shù)

f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(

)A.f(b)>f(c)>f(d)C.f(c)>f(b)>f(a)B.f(b)>f(a)>f(e)D.f(c)>f(e)>f(d)解析依題意得，當

x∈(－∞，c)時，f′(x)>0，因此，函數(shù)

f(x)在(－∞，c)上是增函數(shù)，由

a<b<c，所以

f(c)>f(b)>f(a).答案C4.若函數(shù)

f(x)＝2x3－3mx2＋6x

在區(qū)間(2，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)

m

的取值范圍為(

)A.(－∞，2)B.(－∞，2]55C.(－∞，)D.(－∞，]22解析∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，當

x∈(2，＋∞)時，f′(x)≥0恒成立，20基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.函數(shù)f(201即

x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋

恒成立.x11令

g(x)＝x＋

，g′(x)＝1－

，xx2∴當

x>2時，g′(x)>0，即

g(x)在(2，＋∞)上單調遞增，1

5∴m≤2＋

＝

.2

2答案D5.(2017·保定第一中學模擬)函數(shù)

f(x)的定義域為

R，f(－1)＝2，對任意

x∈R，f′(x)>2，則

f(x)>2x＋4的解集為(

)A.(－1，1)B.(－1，＋∞)D.(－∞，＋∞)C.(－∞，－1)解析由

f(x)>2x＋4，得

f(x)－2x－4>0，設

F(x)＝f(x)－2x－4，則

F′(x)＝f′(x)－2，因為

f′(x)>2，所以

F′(x)>0在

R

上恒成立，所以

F(x)在

R

上單調遞增.又

F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式

f(x)－2x－4>0等價于F(x)>F(－1)，所以

x>－1.答案B二、填空題6.已知函數(shù)

f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)

f(x)的單調遞增區(qū)間為________.解析因為

f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以

f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令

f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因為

ex>0，所以－x2＋2>0，解得－

2<x<

2，所以函數(shù)

f(x)的單調遞增區(qū)間為(－

2，

2).答案(－

2，

2)17.已知函數(shù)

f(x)＝－

x2＋4x－3ln

x

在區(qū)間[t，t＋1]上不單調，則

t

的取值范圍是2________.3（x－1）（x－3）解析由題意知

f′(x)＝－x＋4－

＝－，由

f′(x)＝0得函數(shù)

f(x)的xx兩個極值點為

1和

3，則只要這兩個極值點有一個在區(qū)間(t，t＋1)內，函數(shù)

f(x)在211即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立.x1121區(qū)間[t，t＋1]上就不單調，由

t<1<t＋1或

t<3<t＋1，得

0<t<1或

2<t<3.答案(0，1)∪(2，3)8.(2017·武漢模擬)已知

f(x)＝2ln

x＋x2－5x＋c

在區(qū)間(m，m＋1)上為遞減函數(shù)，則

m

的取值范圍為________.2解析由

f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c，得

f′(x)＝

＋2x－5，x又函數(shù)

f(x)在區(qū)間(m，m＋1)上為遞減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立，2＋2m－5

≤

0，1m{)∴解得

≤m≤1.22＋2（m＋1）－5

≤

0，m＋112答案[，1]三、解答題9.已知函數(shù)

f(x)＝lnx＋k(k

為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線

y＝f(x)在點(1，f(1))ex處的切線與

x

軸平行.(1)求

k

的值；(2)求

f(x)的單調區(qū)間.1－lnx－k解(1)由題意得

f′(x)＝x，ex1－k又

f′(1)＝＝0，故

k＝1.e1－lnx－1(2)由(1)知，f′(x)＝x.ex111設

h(x)＝

－lnx－1(x>0)，則

h′(x)＝－

－

<0，xx2x即

h(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù).由

h(1)＝0知，當

0<x<1時，h(x)>0，從而

f′(x)>0；當

x>1時，h(x)<0，從而

f′(x)<0.22區(qū)間[t，t＋1]上就不單調，由t<1<t＋1或t<322綜上可知，f(x)的單調遞增區(qū)間是(0，1)，單調遞減區(qū)間是(1，＋∞).210.已知函數(shù)

f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且

a＝f′(

).3(1)求

a的值；(2)求函數(shù)

f(x)的單調區(qū)間；(3)設函數(shù)

g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函數(shù)

g(x)在

x∈[－3，2]上單調遞增，求實數(shù)

c的取值范圍.解(1)由

f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得

f′(x)＝3x2＋2ax－1.22222當

x＝

時，得

a＝f′(

)＝3×(

)＋2a×

－1，3333解得

a＝－1.(2)由(1)可知

f(x)＝x3－x2－x＋c，1則

f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋)(x－1)，列表如下：311x(－∞，－3)(－

，1)(1，＋∞)3f′(x)f(x)＋－＋遞增遞減遞增13(所以

f(x)的單調遞增區(qū)間是

－∞，－)和(1，＋∞)；1f(x)的單調遞減區(qū)間是(－

，1).3(3)函數(shù)

g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有

g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因為函數(shù)

g(x)在

x∈[－3，2]上單調遞增，所以

h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在

x∈[－3，2]上恒成立，只要

h(2)≥0，解得c≥11，23綜上可知，f(x)的單調遞增區(qū)間是(0，1)，單調遞減區(qū)間是23所以

c的取值范圍是[11，＋∞).能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.函數(shù)

f(x)在定義域

R

內可導，若

f(x)＝f(2－x)，且當

x∈(－∞，1)時，(x－11)f′(x)<0，設

a＝f(0)，b＝f

(

)，c＝f(3)，則(

)2A.a<b<cB.c<b<aD.b<c<aC.c<a<b解析依題意得，當

x<1時，f′(x)>0，則

f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)；1又

f(3)＝f(－1)，且－1<0<

<1，21因此有

f(－1)<f(0)<f

(

)，21即有

f(3)<f(0)<f

(

)，c<a<b.2答案C112.(2016·全國Ⅰ卷)若函數(shù)

f(x)＝x－

sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)單調遞增，則

a3的取值范圍是(

)1A.[－1，1]B.[－1，]31

113C.[－

，]D.[－1，－]3

3122解析∵f(x)＝x－

sin2x＋asinx，∴f′(x)＝1－

cos2x＋acosx＝1－

(2cos2x－1)＋33345acosx＝－

cos2

x＋acosx＋

，33由

f(x)在

R

上單調遞增，則

f′(x)