計(jì)算方法-解線性方程組的直接法課件

第8次線性方程組的直接解法計(jì)算方法(NumericalAnalysis)第8次線性方程組的直接解法計(jì)算方法1）高斯消去法2）高斯主元素消去法3）方程組的性態(tài)4)高斯消去法算法構(gòu)造（編程）本講內(nèi)容1）高斯消去法本講內(nèi)容高斯消去法高斯消去法§5.1引言在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，許多問(wèn)題最終都可歸結(jié)為求解線性方程組的數(shù)學(xué)問(wèn)題。線性方程組的求解對(duì)于實(shí)際問(wèn)題是極其重要的。解線性方程組的直接法§5.1引言在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，許多問(wèn)題最解線性方程組的直接法可簡(jiǎn)記為Ax=b，其中

(6.1)

常見(jiàn)的nxn線性方程組，一般形式為解線性方程組的直接法可簡(jiǎn)記為Ax=b，其中(6.1)線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類(lèi)：直接法：就是經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組精確解的方法（若計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有舍入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，直接法中具有代表性的算法是Gauss消去法。迭代法:

就是用某種極限過(guò)程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。也就是從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內(nèi)得不到精確解)線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類(lèi)：例子：求解如下的上三角線性方程組：解：由（4），得將（4）帶入（3），得將結(jié)果代入（2），得將結(jié)果代入（1），得§

5.2高斯消去法

例子：求解如下的上三角線性方程組：解：由（4），得將（4）帶§

5.2高斯消去法

5.2.1高斯消去法的基本思想①②③解:高斯消去法包括如下的消元和迭代的兩個(gè)過(guò)程。

先用一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例來(lái)說(shuō)明Gauss法的基本思想例5.1解線性方程組

§5.2高斯消去法（1）消元過(guò)程④⑤第1步:將方程①乘上(-2)加到方程②上去,將方程①乘上加到方程③上去,這樣就消去了第2、3個(gè)方程的項(xiàng),于是就得到等價(jià)方程組（1）消元過(guò)程④第1步:將方程①乘上(-2)加到方程②上去第2步：將方程④乘上加到方程⑤上去，這樣就消去了第3個(gè)方程的項(xiàng)，于是就得到等價(jià)方程組⑥這樣，消元過(guò)程就是把原方程組化為上三角形方程組，其系數(shù)矩陣是上三角矩陣。

第2步：將方程④乘上加到方程⑤上去，（2）回代過(guò)程將上述三角形方程組自下而上求解得：從而求得原方程組的解：（2）回代過(guò)程將上述三角形方程組自下而上求解得：從而求得原方前述的消元過(guò)程相當(dāng)于對(duì)原方程組的增廣矩陣進(jìn)行下列行變換同樣可得到與原方程組等價(jià)的方程組⑥前述的消元過(guò)程相當(dāng)于對(duì)原方程組的增廣矩陣進(jìn)行下列行變換同樣可高斯消去法的基本思想：這種求解上三角方程組的方法稱(chēng)為回代,通過(guò)一個(gè)方程乘或除以某個(gè)常數(shù),利用矩陣行的初等變換將原方程組Ax=b系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣,然后從最后一個(gè)方程開(kāi)始,依次向前代入求出未知變量：將兩個(gè)方程相加減,逐步減少方程中的變?cè)獢?shù),最終將方程組化成上三角方程組,一般將這一過(guò)程稱(chēng)為消元,然后再回代求解?！咚瓜シǖ幕舅枷耄哼@種求解上三角方程組的方法稱(chēng)為回代,5.2.3高斯消去法的適用條件注2：

設(shè)系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣，則若a11=0，則可以通過(guò)調(diào)換行的方法，使得在第一行的第一個(gè)元素非0。其它在消元過(guò)程中，kk位置的情形類(lèi)似處理。則高斯消元法可以進(jìn)行。注1：設(shè)系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣，直接使用高斯消元法（不進(jìn)行行的交換）對(duì)于某些簡(jiǎn)單的矩陣可能失敗，例如：5.2.3高斯消去法的適用條件注2：設(shè)系數(shù)矩陣A為非奇證明：上三角形方程組是從原方程組出發(fā)，通過(guò)逐次進(jìn)行“一行乘一數(shù)加到另一行”而得出的，該變換不改變系數(shù)矩陣順序主子式的值。

因此，需要對(duì)上述的高斯算法進(jìn)行修改，首先應(yīng)該研究原來(lái)的矩陣A在何條件下能夠保證

…定理1若方程組系數(shù)矩陣的順序主子式全不為0，則高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的求解，即：…證明：上三角形方程組是從原方程組出發(fā)，通過(guò)逐次進(jìn)行“一行乘一設(shè)方程組系數(shù)矩陣，其順序主子式(m=1,2,…，n)

經(jīng)變換得到的上三角形方程組的順序主子式所以能實(shí)現(xiàn)高斯消去法求解

（m=1,2,…，n）…………………...設(shè)方程組系數(shù)矩陣，其順序主定義5.1設(shè)矩陣每一行對(duì)角元素的絕對(duì)值都大于同行其他元素絕對(duì)值之和

則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

……上述條件展開(kāi)以后為：定義5.1設(shè)矩陣定理1.1若方程組的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則用高斯消去法求解時(shí)，全不為0。因此，可以使用高斯消去法求解。

定理1.1若方程組的系數(shù)矩陣A練習(xí)：用高斯消去法求解如下的線性方程組解：增廣矩陣為練習(xí)：用高斯消去法求解如下的線性方程組解：增廣矩陣為HomeHome高斯主元素消去法高斯主元素消去法使用高斯消去法求解時(shí)，在消元過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)

的情況，這時(shí)消去法將無(wú)法進(jìn)行；§5.3高斯主元素消去法即使，但它的絕對(duì)值很小時(shí)，用其作除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，將嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。實(shí)際計(jì)算時(shí)必須避免這類(lèi)情況的發(fā)生。主元素消去法就可彌補(bǔ)這一缺陷。使用高斯消去法求解時(shí)，在消元過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)例4求解如下的方程組解法1使用Gauss消去法求解其精確解為（舍入到4位有效數(shù)字）：例4求解如下的方程組解法1使用Gauss消去法求解其精確計(jì)算解為：計(jì)算解為：解法2。變換行，避免絕對(duì)值小的主元做除數(shù)解為：這個(gè)解比解法1更加接近真實(shí)的解。解法2。變換行，避免絕對(duì)值小的主元做除數(shù)解為：這個(gè)解比解法1交換原則：通過(guò)方程或變量次序的交換，使在對(duì)角線位置上獲得絕對(duì)值盡可能大的系數(shù)作為akk(k)，稱(chēng)這樣的akk(k)

為主元素，并稱(chēng)使用主元素的消元法為主元素法根據(jù)主元素選取范圍分為：列主元素法行主元素法(不講)全主元素法(不講)§5.3高斯主元素消去法（續(xù)）交換原則：通過(guò)方程或變量次序的交換，使在對(duì)角線位置上獲得絕對(duì)5.3.2列主元素法列主元素法就是在待消元的所在列中選取主元（選取一列中絕對(duì)值最大的元素當(dāng)主元），經(jīng)方程的行交換，置主元于對(duì)角線位置后進(jìn)行消元的方法。例5.4用列主元素法解下列線性方程組5.3.2列主元素法列主元素法就是在待消元的所在列中選取解：選擇-20作為該列的主元素，交換方程(1)和(2)得m21

=10/-20=-0.5m31=1/-20=-0.05(5)-m21(4),(6)-m31(4)得解：選擇-20作為該列的主元素，交換方程(1)和(2)得m2選6為主元素，交換方程（7）與（8），得：

(10)-m32(9)得-2.34168x3=4.13332(11)記筆記計(jì)算m32=1/6

=0.16667保留有主元素的方程選6為主元素，交換方程（7）與（8），得：(10)-m3進(jìn)行回代，得列選主元素的計(jì)算方法與高斯消去法完全一樣,不同的是在每步消元之前要按列選出主元進(jìn)行回代，得列選主元素的計(jì)算方法與高斯消去法完全一樣,不同的例5.5用矩陣的初等行變換求解解方程組

解:用矩陣的初等行變換求解,對(duì)增廣矩陣

(下面帶下劃線元素為主元素)矩陣的列主元素計(jì)算方法可以用矩陣的初等行變換實(shí)現(xiàn)例5.5用矩陣的初等行變換求解解方程組解:用矩陣的計(jì)算方法-解線性方程組的直接法ppt課件同學(xué)課堂練習(xí)：用列主元素法求解線性方程組：Home同學(xué)課堂練習(xí)：用列主元素法求解線性方程組：Home方程組的性態(tài)方程組的性態(tài)5.5方程組的性態(tài)在建立方程組時(shí)，其系數(shù)往往含有誤差（如觀測(cè)誤差或計(jì)算誤差），即，所要求解的運(yùn)算是有擾動(dòng)的方程組，因此需要研究擾動(dòng)對(duì)解的影響。5.5方程組的性態(tài)在建立方程組時(shí)，其系數(shù)往往含有誤差（如觀例5.13考察方程組

和上述方程組（1）是方程組（2）在右端項(xiàng)施加了微小的擾動(dòng),但解大不相同.（1）（2）方程組（1）的解：方程組（2）的解：這類(lèi)方程組稱(chēng)為病態(tài)的。例5.13考察方程組和上述方程組（1）是方程組（2）在定義5.8A或b的微小變化(又稱(chēng)擾動(dòng)或攝動(dòng))引起方程組Ax=b解的巨大變化，則稱(chēng)方程組為病態(tài)方程組，矩陣A稱(chēng)為病態(tài)矩陣。否則方程組是良態(tài)方程組，矩陣A也是良態(tài)矩陣。為了定量地刻畫(huà)方程組“病態(tài)”的程度，要對(duì)方程組Ax=b進(jìn)行討論，考察A（或b）微小誤差對(duì)解的影響。為此先引入矩陣范數(shù)的概念：定義5.8A或b的微小變化(又稱(chēng)擾動(dòng)或攝動(dòng))引起方程組A矩陣范數(shù)的概念：A的行范數(shù)矩陣A的無(wú)窮范數(shù)；A的列范數(shù)矩陣A的1范數(shù)；矩陣范數(shù)的概念：A的行范數(shù)矩陣A的無(wú)窮范數(shù)；A的列范數(shù)矩陣A定義5.9（矩陣條件數(shù)）設(shè)A為非奇異矩陣，稱(chēng)

為矩陣A條件數(shù)。常用的條件數(shù)有定義5.9（矩陣條件數(shù)）設(shè)A為非奇異矩陣，稱(chēng)條件數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于任何非奇異矩陣A,都有：當(dāng)cond(A)v>>1時(shí)，則方程組Ax=b是病態(tài)的；否則，Ax=b是良態(tài)的。病態(tài)方程組(矩陣)的定量描述：條件數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于任何非奇異矩陣A,都有：當(dāng)cond(A)v例6.13線性方程組的系數(shù)矩陣帶誤差，成為如下方程組求方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù),并說(shuō)明方程組的性態(tài).

解：因?yàn)?/p>

所以

因此方程組是良態(tài)的例6.13線性方程組的系數(shù)矩陣帶誤差，成為如下方程組例9Hilbert矩陣Hn的定義如下求H3

的條件數(shù)。結(jié)論：Hilbert矩陣H3是病態(tài)矩陣；可以證明，當(dāng)n越大的時(shí)候，Hn的

病態(tài)越嚴(yán)重。解：例9Hilbert矩陣Hn的定義如下求H3的條件數(shù)。結(jié)本次小結(jié)

直接法是一種計(jì)算量小而精度高的方法。直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消去法；克萊姆算法也是一種直接法，但該算法用于高階方程組時(shí)計(jì)算量太大而不實(shí)用；選主元的算法有很好的數(shù)值穩(wěn)定性。從計(jì)算簡(jiǎn)單出發(fā)實(shí)際中多選用列主元法；注意線性方程組有的時(shí)候具有病態(tài)；線性方程組的病態(tài)程度是其本身的固有特性，因此即使用數(shù)值穩(wěn)定的方法求解，也難以克服嚴(yán)重病態(tài)導(dǎo)致的解的失真。Home本次小結(jié)直接法是一種計(jì)算量小而精度高的方法。直接法中具有代高斯消去法算法構(gòu)造高斯消去法算法構(gòu)造5.2.2高斯消去法算法構(gòu)造(Matlab編程使用)

(6.3)Gauss消去法的消元過(guò)程：對(duì)(6.3)的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換。將例6.1中解三階線性方程組的消去法推廣到一般的階線性方程組，并記線性方程組(6.1)用矩陣形式表示為

則高斯消去法的算法構(gòu)造歸納為：………………5.2.2高斯消去法算法構(gòu)造(Matlab編程使用)⑴Gauss消去法的消元過(guò)程(由n-1步組成)：用乘以第1個(gè)方程后加到第個(gè)方程上去,消去第2到第n個(gè)方程的未知數(shù),得到第1步設(shè)記為：…………………⑴Gauss消去法的消元過(guò)程(由n-1步組成)：用第k步（k=2,3,…,n-1）繼續(xù)上述消元過(guò)程，設(shè)第k-1次消元已經(jīng)完成，得到與原方程組等價(jià)的方程組記為………………………………第k步（k=2,3,…,n-1）繼續(xù)上述消元過(guò)程