氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件

氣象統(tǒng)計(jì)方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院2014年9月本課件主要參考南信大李麗平老師的課件氣象統(tǒng)計(jì)方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)本課件主要參考南信大第七章主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）第七章主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）重點(diǎn)掌握：1）EOF方法原理2）EOF方法在分析氣象問題中的應(yīng)用。重點(diǎn)掌握：一、引言

經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)（EOF）方法最早由統(tǒng)計(jì)學(xué)家pearson在1902年提出，由Lorenz[1]（1956）引入氣象問題分析中。該方法以場的時(shí)間序列為分析對象，對計(jì)算條件要求甚高，故直到20世紀(jì)60年代后期才在實(shí)際工作中得到廣泛應(yīng)用（Craddock，1969[2]；Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。一、引言

近30年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOF分析方法，如擴(kuò)展EOF（EEOF）方法，旋轉(zhuǎn)EOF（REOF）方法，風(fēng)場EOF（EOFW）方法，復(fù)變量EOF（CEOF）方法。

EOF方法不但用于觀測資料的分析，還用于GCM資料的分析和數(shù)值模式的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在，EOF方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出現(xiàn)在大氣科學(xué)研究的文獻(xiàn)中。近30年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOF二、主分量分析

主分量分析是把隨時(shí)間變化的氣象要素場分解為空間函數(shù)部分和時(shí)間函數(shù)部分?？臻g函數(shù)部分概況場的地域分布特點(diǎn)，這部分不隨時(shí)間變化；而時(shí)間函數(shù)部分則由空間點(diǎn)的線性組合構(gòu)成，稱為主分量，一般前幾個(gè)主分量可以解釋原有空間場總方差的很大一部分。二、主分量分析主分量分析是把隨時(shí)間變化的氣兩個(gè)變量的主分量如圖所示我們所分析的氣象要素場僅有兩個(gè)空間點(diǎn)

y1y2x1x2兩個(gè)變量的主分量如圖所示我們所分析的氣象要通過一種線性變換，使得產(chǎn)生的新變量y1的變化代替原場兩個(gè)變量的主要變化情況。通過一種線性變換，使得產(chǎn)生的新變量y1的主分量導(dǎo)出依據(jù)上例，我們希望以原變量組成一個(gè)新變量

（7.1）使它具有極大方差，即

極大（7.2）主分量導(dǎo)出依據(jù)上例，我們希望以原變量用（4.1）式帶入（4.2）有=（4.2）模型的極大值問題轉(zhuǎn)化為的極值問題。為了不同變量相互比較，對新變量中的線性組合系數(shù)通常還需加上約束條件用（4.1）式帶入（4.2）有在上面條件下，問題轉(zhuǎn)變成求下面函數(shù)的極值問題根據(jù)微積分學(xué)求極值有在上面條件下，上面線性方程組等價(jià)于其中S為x1和x2的協(xié)方差陣，I為單位陣，V為（v1,v2）的組合向量。

如果V有非零解，必須使

上式是矩陣S的特征多項(xiàng)式，因此問題就轉(zhuǎn)化為求矩陣S的特征值及其對應(yīng)特征向量的問題。上面線性方程組等價(jià)于因S的秩有兩個(gè)，故它有兩個(gè)非零特征值及其對應(yīng)特征向量：由此，可得到例中兩個(gè)新變量：因S的秩有兩個(gè)，故它有兩個(gè)非零特征值及其對應(yīng)特主分量性質(zhì)1、主分量的方差與它所對應(yīng)的特征值相等

以第一個(gè)主分量為例，說明這一性質(zhì)

（7.4）上面第一式乘

，第二式乘相加，整理得于是：

主分量性質(zhì)1、主分量的方差與它所對應(yīng)的特征值相等2.不同主分量之間是無關(guān)的、相互獨(dú)立的

證明這一性質(zhì)，只需證明兩個(gè)主分量的協(xié)方差為零即可。

根據(jù)（7.4）式，y1和y2的協(xié)方差可寫為由，得證2.不同主分量之間是無關(guān)的、相互獨(dú)立的主分量的幾何意義如果把x1,x2變量第i個(gè)樣品看成2維因子空間中的一個(gè)點(diǎn),主分量中第i個(gè)樣品也可以看成是新變量空間中的一個(gè)點(diǎn)，那么它們可以看成是由因子空間作線性變換的一個(gè)結(jié)果，即其中

，轉(zhuǎn)化矩陣主分量的幾何意義如果把x1,x2變量

主分量也可以看成由原變量組成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果，新變量y1,y2與原變量的變換關(guān)系式可寫為對例中坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角。尋找主分量原則可以看成為尋找這樣的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角，使得樣品點(diǎn)在新坐標(biāo)系中對某一坐標(biāo)軸上投影有極大方差。主分量也可以看成由原變量組成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件多個(gè)變量的主分量

如果我們要研究對象是某一氣象要素場，場中有個(gè)空間點(diǎn)，樣本容量。由這變量線性組合成一個(gè)新變量：則（7.6）式

還可以寫

（7.7）其中

（7.6）多個(gè)變量的主分量如果我們要研究對象是某一氣象要素氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件主分量導(dǎo)出我們希望主分量有極大方差，即

（7.8）將新變量帶入（7.8）式，其中

主分量導(dǎo)出我們希望主分量有極大方差，即

在條件下的極值問題，轉(zhuǎn)化為求的極值問題，即有整理得。要使V有非零解，必須由于S為mxm的協(xié)方差陣，設(shè)它的秩為m，則它有m個(gè)非零特征值及其對應(yīng)的m個(gè)特征向量

在條件下的極值問主分量的性質(zhì)1.各主分量的方差分別與原m個(gè)變量的協(xié)方差的特征值相對應(yīng)。原場m個(gè)變量方差和等于其對應(yīng)協(xié)方差特征值之和主分量的性質(zhì)1.各主分量的方差分別與原m個(gè)變量的協(xié)方差的特第K個(gè)主分量解釋方差：前P個(gè)主分量累積解釋方差：第K個(gè)主分量解釋方差：2.主分量之間是正交的，彼此無關(guān)。2.主分量之間是正交的，彼此無關(guān)。三、EOF分析方法原理將某氣候變量場的觀測資料以矩陣形式給出m是空間點(diǎn)，n是時(shí)間序列長度。三、EOF分析方法原理將某氣候變量場的觀測資料以矩陣形氣象場的自然正交展開，是將X分解為時(shí)間函數(shù)Z和空間函數(shù)V兩部分,即或

含義：場中第i個(gè)格點(diǎn)上的第t次觀測值，可以看作是m個(gè)空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的線性組合。氣象場的自然正交展開，是將X分解為時(shí)間函數(shù)Z和空間函其中，

是第j個(gè)典型場，只是空間的函數(shù)。其中，第t個(gè)空間場可表示為或者第t個(gè)空間場可表示為

上式表明，第t個(gè)場可以表示為m個(gè)空間典型場，按照不同的權(quán)重線性疊加而成。V的每一列表示一個(gè)空間典型場，由于這個(gè)場由實(shí)際資料確定，故又叫經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)。

上述分解要求滿足下列兩個(gè)條件：上式表明，第t個(gè)場可以表示為m個(gè)空間典型場性質(zhì)性質(zhì)分解方法

A為實(shí)對稱矩陣，根據(jù)實(shí)對稱矩陣分解原理，一定有或者分解方法

V的列就是A的特征向量，是A的特征值組成的對角矩陣。即Z就是時(shí)間系數(shù)矩陣，第i個(gè)特征向量對應(yīng)的時(shí)間系數(shù)序列的第t個(gè)值。V的列就是A的特征向量，是A的特征主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)：主分量分析：主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)：要素場的擬合

其中

是擬合場.可以證明誤差要素場的擬合第i個(gè)特征向量對X場的貢獻(xiàn)率

（解釋方差）前p個(gè)特征向量對X場的貢獻(xiàn)率

（累積解釋方差）第i個(gè)特征向量對X場的貢獻(xiàn)率計(jì)算中的時(shí)空轉(zhuǎn)換當(dāng)時(shí)，先求出的特征值，然后求的特征向量，這種方法叫時(shí)空轉(zhuǎn)換。令的特征值為，其特征向量為，

的特征值也為，其特征向量為計(jì)算中的時(shí)空轉(zhuǎn)換當(dāng)轉(zhuǎn)換關(guān)系：轉(zhuǎn)換關(guān)系：1）根據(jù)分析目的，確定X的具體形態(tài)(距平或者標(biāo)準(zhǔn)化距平)；2）由X求協(xié)方差矩陣；3）求A的全部特征值、特征向量，h=1~H（通常使用Jacobi法）；計(jì)算步驟

1）根據(jù)分析目的，確定X的具體形態(tài)(距平或者標(biāo)準(zhǔn)化距平)；計(jì)4）將特征值作降序排列，并對特征向量序數(shù)作相應(yīng)變動(dòng)；

5）根據(jù),h=1~H和X總方差，求出全部、,h=1~H；

6）由X及主要求其時(shí)間系數(shù)、h=1~H，主要的數(shù)量由分析目的及分析對象定；

7）輸出主要計(jì)算結(jié)果。4）將特征值作降序排列，并對特征向量序數(shù)H是非0特征值總個(gè)數(shù)，對實(shí)際問題

需要強(qiáng)調(diào)的是，第1）步很重要。在大多數(shù)情況下，EOF分析對原觀測場時(shí)間序列、距平場時(shí)間序列和標(biāo)準(zhǔn)化距平場時(shí)間序列進(jìn)行。選擇何種形態(tài)作分析取決于分析目的和分析對象。H是非0特征值總個(gè)數(shù)，對實(shí)際問題經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)的物理意義第一特征向量（第一空間典型場）是與n張X圖平均最相似的，或者說具有與所要展開的資料矩陣的n個(gè)樣本最相似的特征。比如：若原始資料矩陣是7月份50年實(shí)測降水場（非距平場），則第一特征向量就可以解釋為這50年的平均場，其相應(yīng)的時(shí)間系數(shù)基本對應(yīng)我國大尺度旱澇年。但當(dāng)降水場由距平組成，第一特征向量就解釋為與50年夏季距平場最相似的特征場，它指出了我國夏季經(jīng)常出現(xiàn)的大尺度澇區(qū)和旱區(qū)。經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)的物理意義第一特征向量（第一空間典型場）是與n張EOF分析實(shí)例EOF分析實(shí)例例1：現(xiàn)有北京1951-1976年12月~2月氣溫資料，變量個(gè)數(shù)m=3,容量=26。對以上資料進(jìn)行主分量分析。例1：現(xiàn)有北京1951-1976年12月~2月氣溫資料，變量1.計(jì)算變量的協(xié)方差陣2.求解實(shí)對稱陣特征值及特征向量1.計(jì)算變量的協(xié)方差陣3.計(jì)算三個(gè)距平主分量4.計(jì)