固體物理-固體比熱容課件

HeatCapacityofSolids

固體熱容HeatCapacityofSolids

固體熱容

在十九世紀，由實驗得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-珀替定律給出的：

熱容是一個與溫度和材料都無關(guān)的常數(shù)。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德羅常數(shù)（6.03×1023atoms/mole）KB是玻爾茲曼常數(shù)（1.38×10-16爾格/開，爾格是功和能量的單位1焦耳=107爾格）?；叵胍幌?，1卡路里=4.18焦耳=4.18×107爾格。因此，（2.90）所給出的結(jié)果cal/degmole（2.91）（2.90）固體比熱的經(jīng)典理論在十九世紀，由實驗得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-

杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的均分定理的基礎(chǔ)之上的，該定理假設(shè)每個原子關(guān)于它的平衡位置做簡諧振蕩，那么一個原子的能量就為：（2.92）

在一個處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中，能量均分定理指出:對于上式中的其他項也都適用，因此在溫度T時每個原子的能量都為E=3kBT固體比熱的經(jīng)典理論杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的均分定理的基1摩爾原子的能量則為（2.93）

隨后，Cv,由（2.90）式給出。后來發(fā)現(xiàn)，杜隆-珀替定律只適用于足夠高的溫度。對于一個典型固體Cv的值被發(fā)現(xiàn)隨溫度的影響具有如圖2.9所示的行為。固體比熱的經(jīng)典理論1摩爾原子的能量則為（2.93）隨后，Cv,

由圖可知，在低溫時，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度的下降很快趨向于零。固體比熱的經(jīng)典理論由圖可知，在低溫時，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度

為了解決這一問題，愛因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量子理論，各個簡諧振動的能量本征值是量子化的，即（nj=整數(shù)）ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論

把晶體看作一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下引入簡正坐標Qi（i=1,2…3N）來描述振子的振動?？梢哉J為這些振子獨立的子系，每個諧振子的的統(tǒng)計平均能量：為了解決這一問題，愛因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量令零點能平均熱能ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論令零點能平均熱能ModernTheoryoftheS固體物理-固體比熱容ppt課件其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動的總能量為：其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動的總能量為：HeatCapacityofSolids

固體熱容上式對T求微商，得到晶格熱容：上式分析了頻率為ωj的振子對熱容量的貢獻，晶體中包含有3N個簡諧振動，總能量為：HeatCapacityofSolids

固體熱容上式HeatCapacityofSolids

固體熱容總熱容就為：HeatCapacityofSolids

固體熱容總熱愛因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動是相互獨立的,而且所有原子都以同一頻率ω0振動。ω0的值由實驗選定，使理論與實驗一致。不足之處：模型過于簡化，得到的結(jié)果以指數(shù)形式趨于0，與實驗中以T3變化不符。Einstein模型趨于零的速度太快！該模型的成功之處：證明Einstein模型由固體比熱的現(xiàn)代理論可知：愛因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動是相互獨立的,而且所有原經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實驗結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實驗值明顯偏小，且當T0時，

CV0，經(jīng)典的能量均分定理無法解釋。2.Einstein模型在一定溫度下，由N個原子組成的晶體的總振動能為：

假設(shè)：晶體中各原子的振動相互獨立，且所有原子都

以同一頻率

0振動。即：經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格定義Einstein溫度：高溫下：T>>

E

即定義Einstein溫度：高溫下：T>>E固體物理-固體比熱容ppt課件在低溫下：T<<

E

即當T0時，CV0，與實驗結(jié)果定性符合。根據(jù)Einstein模型，T0，但實驗結(jié)果表明，T0，CV∝T3;在低溫下：T<<E即當T0時，CV0，與Einstein模型

金剛石熱容量的實驗數(shù)據(jù)Einstein模型

金剛石熱容量的實驗數(shù)據(jù)3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看

成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。這表明，在q空間中，等頻率面為球面。為簡單，設(shè)橫波和縱波的傳播速度相同，均為c。3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格4.Debye模型Einstein模型過于簡化，固體中原子的振動不是孤立的。晶體中原子的振動采用格波的形式，頻率有一個分布,Debye模型考慮了頻率分布。（1）頻率分布函g(ω)的定義在ω—ω+dω之間的簡諧振動數(shù)為ΔN，定義頻率分布函數(shù)為：

g(ω)稱頻率分布函數(shù)或振動模的態(tài)密度函數(shù)（視為連續(xù)函數(shù)）振動模對熱容量的貢獻只決定于它的頻率，由頻率分布函數(shù)，可以寫出熱容：寫出g(ω)的解析表達式就可以計算出熱容量。4.Debye模型g(ω)稱頻率分布函數(shù)或振動模的態(tài)密度在－＋d之間晶格振動的模式數(shù)為由

m在－＋d之間晶格振動的模式數(shù)為由m定義Debye溫度：對于大多數(shù)固體材料：

D?102K定義Debye溫度：對于大多數(shù)固體材料：D?102K元素

D(K)元素

D(K)元素

D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金剛石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225C作變換：在高溫下：T>>

D，即作變換：在高溫下：T>>D，即在低溫下：T<<

D，即在低溫下：T<<D，即利用Taylor展開式：利用積分公式：利用Taylor展開式：利用積分公式：這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV∝T3的實驗結(jié)果。由此可見，用Debye模型來解釋晶格熱容的實驗結(jié)果是相當成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫幾種材料晶格熱容量理論值與實驗值的比較幾種材料晶格熱容量理論值與實驗值的比較

Tqyqx

mqmqT

在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會被熱激發(fā)，而被“冷凍”下來。所以的聲子對熱容幾乎沒有貢獻；只有那些的長波聲子才會被熱激發(fā)，對熱容量有貢獻。TqyqxmqmqT在非常低的溫度下，由在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所

CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約要低到T~

D/50，即約10K以下才能觀察到CV隨T3變化。

Debye模型在解釋晶格熱容的實驗結(jié)果方面已經(jīng)證明是相當成功的，特別是在低溫下，Debye理論是嚴格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一個近似的理論，仍有它的局限性，并不是一個嚴格的理論。CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約In的Debye溫度

D隨溫度的變化In的Debye溫度D隨溫度的變化densityofstates

模式密度（態(tài)密度？）g(ω)densityofstates

模式密度（態(tài)密度？）g(確定振動譜的實驗方法

晶格振動的ω～q關(guān)系，稱格波的色散關(guān)系，也稱晶格振動譜。原則上聲子對X-ray、光子和中子的散射可以通過入射波的非彈性散射反映，測量散射束可以得到聲子信息?！豆腆w物理學(xué)》書上介紹的是中子的非彈性散射，也是最重要的實驗方法，除此之外還有X射線散射，光的散射等。確定振動譜的實驗方法中子的非彈性散射：

為什么說中子的非彈性散射實驗較好？（1）慢中子的能量約在0