《專項(xiàng)練習(xí)》 2023學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)（人教版）旋轉(zhuǎn)章末題型過(guò)關(guān)卷（解析版）

旋轉(zhuǎn)章末題型過(guò)關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022?湖北）在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，已知B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣1），（1，﹣2），將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1）【分析】先利用B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)畫(huà)出直角坐標(biāo)系得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的A′，然后寫(xiě)出點(diǎn)A′的坐標(biāo)即可．【解答】解：如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的A′的坐標(biāo)為（5，﹣1）．故選：D．2．（3分）（2022?寧津縣二模）如圖，將Rt△ABC（∠B＝25°）繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AB1C1的位置，使得點(diǎn)C，A，B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于（）A．65° B．80° C．105° D．115°【分析】由三角形的外角性質(zhì)得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵C，A，B1在同一條直線上，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°．故選：D．3．（3分）（2022?焦作二模）若兩個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么下列說(shuō)法．正確的是（）①對(duì)稱點(diǎn)的連線必過(guò)對(duì)稱中心；②這兩個(gè)圖形一定全等；③對(duì)應(yīng)線段一定平行（或在一條直線上）且相等；④將一個(gè)圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°必定與另一個(gè)圖形重合．A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)（1）中心對(duì)稱的定義：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分，判斷各選項(xiàng)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)分析可得：①對(duì)稱點(diǎn)的連線必過(guò)對(duì)稱中心，正確；②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，正確；③對(duì)應(yīng)線段一定平行（或在一條直線上）且相等，正確；④根據(jù)定義可得此說(shuō)法正確；①②③④均符合題意．故選：D．4．（3分）（2022春?邯鄲校級(jí)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)Rt△ABO的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，1），將△ABO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣3，1）【分析】畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后圖形的位置，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可得OB、AB的長(zhǎng)度，從而確定對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后A點(diǎn)所在象限，確定其坐標(biāo)．【解答】解：將△ABO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，位置如圖所示．∵A（3，1），∴OB＝3，AB＝1．∴OB′＝3，A′B′＝1．∵A′在第二象限，∴A′（﹣1，3）．故選：A．5．（3分）（2022秋?明山區(qū)校級(jí)月考）將點(diǎn)P（﹣2，3）向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)P1，點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則P2的坐標(biāo)是（）A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（2，﹣3） D．（2，0）【分析】首先利用平移變化規(guī)律得出P1（﹣2，6），進(jìn)而利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出P2的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)P（﹣2，3）向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)P1，∴P1（﹣2，6），∵點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴P2的坐標(biāo)是：（2，﹣6）．故選：B．6．（3分）（2022?香坊區(qū)模擬）如圖，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．40° D．30°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得知∠A＝∠C，∠AOC為旋轉(zhuǎn)角等于80°，則可以利用三角形內(nèi)角和度數(shù)為180°列出式子進(jìn)行求解．【解答】解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故選：A．7．（3分）（2022?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若∠AA′B′＝20°，則∠BAA′的度數(shù)是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求∠CA'B'＝25°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C連接AA′∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝20°，∴∠CA'B'＝25°＝∠BAC，∴∠BAA'＝∠BAC+∠CAA'＝70°故選：A．8．（3分）（2022秋?海拉爾區(qū)校級(jí)月考）下列是中心對(duì)稱圖形的有（）（1）線段；（2）角；（3）等邊三角形；（4）正方形；（5）平行四邊形；（6）矩形；（7）等腰梯形．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】把一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，能夠與原來(lái)的圖形重合，則這個(gè)點(diǎn)就叫做對(duì)稱點(diǎn)，這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖．依據(jù)定義即可進(jìn)行判斷．【解答】解：由中心對(duì)稱圖形的概念可知，（1）（4）（5）（6）是中心對(duì)稱圖形，符合題意；（2）（3）（7）不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故中心對(duì)稱的圖形有4個(gè)．故選：C．9．（3分）（2022春?洪雅縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，則α的值為（）A．65° B．75° C．85° D．130°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAB即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝105°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是75°，故選：B．10．（3分）（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AF的最小值為3+1，則ABA．2 B．43 C．23 D【分析】由“SAS”可證△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，則點(diǎn)N在與AN成30°的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AF'⊥F'N時(shí)，AF'有最小值，即可求解．【解答】解：如圖，連接BE，延長(zhǎng)AC至N，使EN＝BE，連接FN，∵△ABC是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，BE=∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴點(diǎn)N在與AN成30°的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF'⊥F'N時(shí)，AF'有最小值，∴AF'=12∴3+1=12（AE∴AE＝2，∴AC＝4，故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022春?嶗山區(qū)期末）如圖，風(fēng)車圖案圍繞著旋轉(zhuǎn)中心至少旋轉(zhuǎn)60度，會(huì)和原圖案重合．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義結(jié)合圖形特點(diǎn)作答．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)60度后能和原來(lái)的圖案互相重合．故答案為：60．12．（3分）（2022?荊州）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，左上角陰影部分是一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形（簡(jiǎn)稱格點(diǎn)正方形）．若再作一個(gè)格點(diǎn)正方形，并涂上陰影，使這兩個(gè)格點(diǎn)正方形無(wú)重疊面積，且組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)格點(diǎn)正方形的作法共有4種．【分析】利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)與定義，進(jìn)而得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：這個(gè)格點(diǎn)正方形的作法共有4種．故答案為：4．13．（3分）（2022?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，直線y=-33x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（23，【分析】利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)，然后判斷出∠BAO＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AB＝2OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°得到AB′⊥x軸，然后寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)即可．【解答】解：令y＝0，則-33x+2＝解得x＝23，令x＝0，則y＝2，∴點(diǎn)A（23，0），B（0，2），∴OA＝23，OB＝2，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2×2＝4，∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′，∴∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝30°+60°＝90°，∴AB′⊥x軸，∴點(diǎn)B′（23，4）．故答案為：（23，4）．14．（3分）（2022?瑞昌市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，△MNP與△M1N1P1是關(guān)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱，則對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（2，1）．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，知道點(diǎn)P（1，1），N（2，0），并細(xì)心觀察坐標(biāo)軸就可以得到答案．【解答】解：∵點(diǎn)P（1，1），N（2，0），∴由圖形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分，∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（2，1），故答案為：（2，1）．15．（3分）（2022秋?臺(tái)州期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，若以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)B落在B'處，則BB'為45cm．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得OB＝OB′，即BB′＝2OB，又由在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，O是AC的中點(diǎn)，利用勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：OB＝OB′，∵在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，∴AC＝BC＝4cm，∵O是AC的中點(diǎn)，∴OC=12AC＝2∴在Rt△BOC中，OB=BC2+O∴BB′＝2OB＝45cm．故答案為：45cm．16．（3分）（2022?咸寧一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直角△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），∠AOB＝60°，每一次將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，依次類推，則點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（﹣1，-3）【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【解答】解：由題意B（1，3），第一次旋轉(zhuǎn)后B1（-3，1第二次旋轉(zhuǎn)后B2（﹣1，-3第三次旋轉(zhuǎn)后B3（3，﹣1），第四次旋轉(zhuǎn)后B4（1，3），發(fā)現(xiàn)四次一個(gè)循環(huán)，∵2022÷4＝505???2，∴點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（﹣1，-3故答案為：（﹣1，-3三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022春?昌圖縣期末）如圖所示，將△ABC置于平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）（1）畫(huà)出△ABC向下平移5個(gè)單位得到的△A1B1C1．并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（2）畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；（3）畫(huà)出以點(diǎn)O為對(duì)稱中心，與△ABC成中心對(duì)稱的△A3B3C3，并寫(xiě)出點(diǎn)A3的坐標(biāo)；【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2，然后描點(diǎn)即可得到△A2B2C2，從而得到點(diǎn)A2的坐標(biāo)；（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)A3、B3、C3的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（2）如圖，△A2B2C2為所作，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（4，1）；（3）如圖，△A3B3C3為所作，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（1，﹣4）．18．（6分）（2022春?梁平區(qū)期末）在網(wǎng)格中畫(huà)對(duì)稱圖形．圖1是五個(gè)小正方形拼成的圖形，請(qǐng)你移動(dòng)其中一個(gè)小正方形，重新拼成一個(gè)圖形，使得所拼成的圖形滿足下列條件，并分別畫(huà)在圖2、圖3、圖4中（只需各畫(huà)一個(gè)，內(nèi)部涂上陰影）；①是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；②是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；③既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【分析】利用軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義按要求畫(huà)出圖形．【解答】解：①如圖2；②如圖3；③如圖4．19．（8分）（2022?湖北）如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D．（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，則∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE＝CD；（2）由菱形的性質(zhì)得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEB＝∠ABE，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=2AC=2，于是利用BD＝BE﹣【解答】（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴BE＝CF；（2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=2AC=∴BD＝BE﹣DE=2-20．（8分）（2022秋?息縣期末）如圖①，在△ABC與△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．（1）BD與CE的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．（2）把圖①中的△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到如圖②所示的圖形．①求證：BD＝CE．②若延長(zhǎng)DB交EC于點(diǎn)F，則∠DFE與∠DAE的數(shù)量關(guān)系是什么？并說(shuō)明理由．（3）若AD＝8，AB＝5，把圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），直接寫(xiě)出BD長(zhǎng)度的取值范圍．【分析】（1）利用線段的差直接得出結(jié)論；（2）①利用旋轉(zhuǎn)得出∠DAE＝∠BAC，進(jìn)而得出∠DAB＝∠EAC，判斷出△DAB≌△EAC，即可得出結(jié)論；②由△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；（3）判斷出點(diǎn)B在線段AD上時(shí)，BD最小，點(diǎn)B在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最大，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）＝，理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，故答案為：＝；（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠DAE＝∠BAC．∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE．②∠DFE＝∠DAE．理由：∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB＝∠AEC．∵∠AOD＝∠EOF，∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF，∴∠DFE＝∠DAE．（3）當(dāng)點(diǎn)B在線段AD上時(shí)，BD最?。紸D﹣AB＝3，當(dāng)點(diǎn)B在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最大＝AD+AB＝13，∴3≤BD≤13．21．（8分）（2022?日照）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：（1）EA是∠QED的平分線；（2）EF2＝BE2+DF2．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AQE≌△AFE（SAS），進(jìn)而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中AQ=∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分線；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，則∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．22．（8分）（2022?焦作二模）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B，連接CB．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與MN交于點(diǎn)E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝AE，BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為BD+AB=2CB（2）拓展探究當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時(shí)，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．（3）解決問(wèn)題當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時(shí)（點(diǎn)C、D在直線MN兩側(cè)），若此時(shí)∠BCD＝30°，BD＝2時(shí)，CB＝6-2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可．（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到BD=2BH＝2，求出BH【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=2CB∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB=2CB故答案為：BD＝AE，BD+AB=2CB（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=2CB∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB=2CB（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=2CB∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB=2CB∵△BCE為等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD=2BH＝2∴BH＝DH=2在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH=2∴CH=3DH=∴BC＝CH﹣BH=6故答案為：6-23．（8分）（2022?沈陽(yáng)）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD＝200米，那么A，B間的距離是200米．思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE．①如圖2，當(dāng)△ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE．；②如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③當(dāng)α＝150°時(shí)，若BC＝3，DE＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出PC2的值．【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根據(jù)∠APB＝∠DPC即可證明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解題．（2）①延長(zhǎng)EP交BC于F，易證△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE．②作BF∥DE，