基于非降階牛頓算子的三維立體層析矩陣

基于非降階牛頓算子的三維立體層析矩陣

1立體層析反演方法三維層析是一種具有獨(dú)特特征的涂層反演方法。該方法將本地相位軸的射線參數(shù)（或p參數(shù)）的水平分量、射點(diǎn)的坐標(biāo)和檢測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)納入反演的數(shù)據(jù)空間，并重新排列數(shù)據(jù)分量和模型分量。這不僅使數(shù)據(jù)空間的準(zhǔn)備比傳統(tǒng)的反射層析更簡(jiǎn)單，而且將三維層析視為一種能夠同時(shí)反演速度結(jié)構(gòu)、反射點(diǎn)的位置和反演層的局部形式的方法（交替，2013；倪瑤等，2013；倪瑤等，2014；任立娟等，2014；李振偉等，2014；李立偉等（2016）。國(guó)內(nèi)外科學(xué)家在三維層析反演理論和實(shí)踐方面做了大量工作（prietal等人，2013；倪瑤等人，2013；倪瑤等人，2014；任立娟等，2014；李振偉等，2014；李立偉等（2016）。王宇祥等（2016）利用結(jié)構(gòu)張量算法搜索了p參數(shù)的水平分量，并實(shí)現(xiàn)了高密度三維層析反演。將有限頻率和nip波色理論與有限頻率理論相結(jié)合，形成了三維三維層析模型的理論基礎(chǔ)。三維三維算法的反演是允許國(guó)際發(fā)表評(píng)論（chalrdetal.2000；chalrdandlambar，2005），但與之前的算法相比，算法相關(guān)的理論推導(dǎo)沒(méi)有系統(tǒng)的安排。不同于之前，在輻射中心坐標(biāo)系下，基于低級(jí)別漢語(yǔ)算子的算法的不同，三維數(shù)值分析（或frecet偏移導(dǎo)數(shù)）的算法。詳細(xì)介紹了基于三維直角坐標(biāo)系統(tǒng)下的預(yù)測(cè)算法。然后，建立了三維三維層析成像矩陣（或frecht偏離導(dǎo)數(shù)）。然后，結(jié)合合理的規(guī)則，確保重復(fù)收斂的穩(wěn)定性。最后，通過(guò)兩個(gè)理論數(shù)據(jù)驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。2維立體層析矩陣的建立首先對(duì)三維立體層析所涉及到的數(shù)據(jù)空間和模型空間各個(gè)分量給予詳細(xì)介紹.圖1顯示了三維立體層析數(shù)據(jù)空間各分量與模型空間各分量.對(duì)于三維空間的一個(gè)射線對(duì)而言,地表能觀測(cè)到的數(shù)據(jù)為d=(S對(duì)于數(shù)據(jù)空間和模型空間中的所有信息,將其進(jìn)一步寫為(1a)式表達(dá)了數(shù)據(jù)空間表示拾取到的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn);(1b)式表達(dá)了模型空間中對(duì)應(yīng)這n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)反射點(diǎn)坐標(biāo)以及從這n個(gè)反射點(diǎn)出射到地表的射線初始信息.Billette和Lambaré(1998)、倪瑤等(2013)基于射線中心坐標(biāo)系,推導(dǎo)了二維立體層析反演所需的模型空間各個(gè)分量擾動(dòng)與數(shù)據(jù)空間各個(gè)分量擾動(dòng)之間的線性關(guān)系,成功的建立了二維立體層析矩陣.三維立體層析矩陣的基本構(gòu)建思路與二維并無(wú)區(qū)別,都是將從炮點(diǎn)S→反射點(diǎn)X→檢波點(diǎn)R的反射過(guò)程分解為從X→S以及X→R這樣兩個(gè)透射過(guò)程.其中數(shù)據(jù)空間的殘差Δd與模型空間殘差Δm之間的關(guān)系由三維射線擾動(dòng)理論建立:(2)式代表了一個(gè)矩陣方程,其系數(shù)矩陣F即為三維立體層析矩陣或FRECHET偏導(dǎo)數(shù)矩陣.其完整形式表達(dá)如下:對(duì)于三維立體層析所需的Fréchet偏導(dǎo)數(shù)(5)式中σ的含義為針對(duì)各類數(shù)據(jù)的尺度加權(quán)因子,用于平衡不同類型的數(shù)據(jù)對(duì)于立體層析反演的誤差泛函的貢獻(xiàn)比例,避免由于物理量綱不同造成數(shù)據(jù)類型量級(jí)之間差別過(guò)大的問(wèn)題,參數(shù)的大小需要通過(guò)做具體的測(cè)試得到.例如,對(duì)于本文中使用的測(cè)試數(shù)據(jù),P參數(shù)關(guān)于模型空間的偏導(dǎo)數(shù)需要除以一個(gè)比較小的因子,基本上是103維立體層析方法立體層析反演的理論基礎(chǔ)是射線擾動(dòng)理論(FarraandMadariaga,1987).射線擾動(dòng)理論的重要性在于,它在傍軸射線追蹤和漢密爾頓傳播算子的基礎(chǔ)上,成功建立了速度擾動(dòng)與描述射線傳播的相空間各參數(shù)擾動(dòng)量之間的一階線性關(guān)系,這是建立立體層析矩陣的關(guān)鍵所在.Billette和Lambaré(1998)在射線中心坐標(biāo)系下推導(dǎo)了二維立體層析所需的模型空間各個(gè)分量擾動(dòng)與數(shù)據(jù)空間各個(gè)分量擾動(dòng)之間的線性關(guān)系,并成功實(shí)現(xiàn)了二維立體層析反演.國(guó)際上已有的三維立體層析工作(Chalardetal.,2000,2005)依然沿用了Billette和Lambaré(1998)的研究思路,在三維射線中心坐標(biāo)系下使用降價(jià)漢米爾頓算子推導(dǎo)出公式(5)所示矩陣中的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系.但是,三維射線擾動(dòng)理論在射線中心坐標(biāo)系下實(shí)現(xiàn)并非最佳,這是因?yàn)樵谌S射線中心坐標(biāo)系下構(gòu)造傍軸射線追蹤所需的傳播矩陣時(shí),涉及到對(duì)垂直于中心射線的各個(gè)方向求關(guān)于速度的二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算.這個(gè)計(jì)算非常耗時(shí),但是直角坐標(biāo)系下的傍軸射線追蹤則不存在上述問(wèn)題.此外,與前人使用降階漢密爾頓傳播算子有所不同,本文采用了非降階漢密爾頓傳播算子實(shí)現(xiàn)三維射線擾動(dòng)理論.采用非降階漢密爾頓傳播算子的理由是出于算法適應(yīng)性方面的考量,使得算法可以自然的考慮回轉(zhuǎn)波射線.4維直角坐標(biāo)系下射線場(chǎng)擾動(dòng)的線性關(guān)系三維直角坐標(biāo)系下非降階形式的各向同性漢密爾頓傳播算子形式為則直角坐標(biāo)系下的各向同性運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤方程為方程(8)為三維直角坐標(biāo)系下非降階形式的漢密爾頓運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤方程組,由6個(gè)一階微分方程組成.(X其中,Δζ=(Δx系數(shù)矩陣的表達(dá)式為方程(9)即為三維直角坐標(biāo)系下非降階形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)傍軸射線追蹤系統(tǒng).表達(dá)了射線場(chǎng)的初始擾動(dòng)量與射線軌跡上任意一點(diǎn)的射線場(chǎng)擾動(dòng)之間的線性關(guān)系.(9)式雖然建立了射線初始點(diǎn)的相空間擾動(dòng)對(duì)射線末端的相空間擾動(dòng)之間的線性關(guān)系,但是對(duì)于立體層析反演依然不夠,必須還要建立速度擾動(dòng)對(duì)射線軌跡上任一點(diǎn)的射線場(chǎng)擾動(dòng)的一階線性關(guān)系才可以建立完整的三維立體層析矩陣.這個(gè)一階影響必須要通過(guò)射線擾動(dòng)理論來(lái)建立.5維直角坐標(biāo)系下的射線追蹤根據(jù)(FarraandMadariaga,1987),速度擾動(dòng)對(duì)于射線傳播漢密爾頓傳播算子的線性影響表達(dá)為其中擾動(dòng)漢密爾頓傳播算子,即從(6)式出發(fā)可得對(duì)(10)式所代表的漢密爾頓傳播算子做關(guān)于Δζ=(Δx根據(jù)Gilbert和Backus(1966),(13)式的傳播矩陣形式的解為其中射線傳播矩陣是傍軸射線追蹤的一組基本解,在使用三維非降階漢密爾頓情形下為36個(gè)元素,即分別代入(1,0,0,0,0,0)、(0,1,0,0,0,0)、(0,0,1,0,0,0)、(0,0,0,1,0,0)、(0,0,0,0,1,0)、(0,0,0,0,0,1)這6組初始值,利用龍格庫(kù)塔計(jì)算出的6組解構(gòu)成的6×6矩陣.在射線路徑的每一個(gè)點(diǎn)上都可以算出這樣一個(gè)矩陣.以及其逆矩陣的具體形式為其中,根據(jù)式(16)即可以構(gòu)建三維直角坐標(biāo)系下數(shù)據(jù)空間分量d=(S其中,數(shù)據(jù)空間其他分量對(duì)模型空間的偏導(dǎo)數(shù)均可以類似式(17)的形式寫出.在求解時(shí),為了計(jì)算方便,我們實(shí)際上是將射線出射點(diǎn)處的射線參數(shù)63d直角坐標(biāo)系統(tǒng)下的行程時(shí)間t走時(shí)T其中,θ,Φ代表炮點(diǎn)一側(cè)的θ7理論數(shù)據(jù)敏感度測(cè)試在得到三維立體層析所需的數(shù)據(jù)空間各分量與模型空間各分量之間的一階線性擾動(dòng)關(guān)系之后,以下基于三維理論模型中的一個(gè)射線對(duì)信息,來(lái)測(cè)試不同數(shù)據(jù)分量與不同模型分量之間的敏感度.這些敏感度分析除了測(cè)試在前兩節(jié)中推導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系是否正確,也測(cè)試了在將來(lái)的反演中,各個(gè)模型分量是否能夠通過(guò)求解立體層析矩陣獲得足夠的更新量.如果某個(gè)數(shù)據(jù)分量對(duì)于某個(gè)模型分量非常不敏感,那么二者之間的偏導(dǎo)數(shù)就沒(méi)有必要求取了.圖2a展示了一個(gè)鹽丘速度模型,橫向、縱向網(wǎng)格數(shù)為51×51×26,網(wǎng)格間距分別為橫向dx=dy=40m,縱向dz=40m.圖2b是圖2a的光滑版本.可以看到圖2b中的一個(gè)射線對(duì),從x8基于規(guī)則化項(xiàng)的速度場(chǎng)建模三維立體層析矩陣相比二維情形顯然更為稀疏,需要更強(qiáng)的規(guī)則化項(xiàng)保證方程能夠收斂到一個(gè)合理的解.作者認(rèn)為射線類層析反演方法通常用于偏移速度建模的階段.在這個(gè)階段,光滑性約束依然不失為一個(gè)重要的考量.在計(jì)算FRECHET偏導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中,傍軸射線追蹤本身就要求速度至少二階可導(dǎo).綜合考慮各種光滑規(guī)則化項(xiàng),本文采取了一種聯(lián)合約束的策略:對(duì)速度場(chǎng)的二階梯度求極小值作為一個(gè)約束項(xiàng),對(duì)速度場(chǎng)的縱向光滑和橫向光滑則作為另外兩個(gè)約束項(xiàng)綜合施加在誤差泛函上.這種聯(lián)合規(guī)則化項(xiàng)在實(shí)踐中證明效果良好.考慮規(guī)則化項(xiàng)的、二范數(shù)意義下的三維立體層析反演可以歸結(jié)為如下泛函的求極值問(wèn)題:其中ε本文利用最新的最小二乘QR(QR分解即將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)正交陣Q與一個(gè)上三角陣R的乘積)方法(LSQR)(PaigeandSaunders,1982)求解(22)式所示的矩陣方程組,該方法是一種迭代方法,可以在最小二乘意義下高效地求解大規(guī)模稀疏矩陣.9三維數(shù)據(jù)的反演測(cè)試9.1模型的迭代更新實(shí)驗(yàn)一在如圖4a所示的鹽丘光滑速度模型中進(jìn)行.為了驗(yàn)證立體層析反演對(duì)強(qiáng)非均質(zhì)性模型的適應(yīng)能力,利用射線追蹤為立體層析反演提供理想的數(shù)據(jù)輸入.初始給定為梯度速度模型.輸入數(shù)據(jù)分量與初始模型分量,便可開始立體層析的模型迭代更新過(guò)程.圖4(c,d)為第1次迭代更新后的速度場(chǎng),可以看出,表層的速度得到了有效修改.隨著迭代次數(shù)的增加,速度模型逐漸收斂,迭代8次后的速度模型如圖4(e,f)所示,地下鹽丘的形狀得到了較好的恢復(fù).迭代8次后誤差泛函下降緩慢,說(shuō)明泛函的下降已接近極值處.迭代8次后的射線出射位置如圖4(g,h)所示,可以看見原本散亂分布的射線出射位置已經(jīng)收斂到非常接近真實(shí)的射線出射點(diǎn)位置.從圖4i所示的目標(biāo)泛函下降曲線中可看出迭代到第7,8輪時(shí)其殘差已接近于0,證明了反演的正確性.9.2反射點(diǎn)位置的實(shí)際應(yīng)用實(shí)驗(yàn)二沿用實(shí)驗(yàn)一的五層鹽丘速度模型,橫向、縱向網(wǎng)格數(shù)與網(wǎng)格間距均保持不變.同樣使用射線正演數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)空間,不同的是,把射線正演的出射點(diǎn)設(shè)在五層鹽丘的層位上,繞著鹽丘各層的法向方向出射(圖5a),這樣更符合實(shí)際情況的反射點(diǎn)分布.注意對(duì)每個(gè)正演得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)信息(S初始模型空間得到后,便可以從初始反射點(diǎn)位置出發(fā),基于初始方位角與張角信息分別向炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤,得到觀測(cè)面上的三維立體層析數(shù)據(jù)分量,同時(shí)利用公式(16)計(jì)算Fréchet導(dǎo)數(shù)并建立層析方程組.對(duì)該方程組求解可以得到模型更新量.本次實(shí)驗(yàn)中采用的規(guī)則化因子分別為εd=0.002,εC實(shí)驗(yàn)二再次證明了本文推導(dǎo)的三維立體層析算法的穩(wěn)定性.圖5b是11次迭代后的速度模型結(jié)果,與圖5c所示原始模型比對(duì)有很好的相似度.圖5(d,e)分別顯示了初始化模型空間射線出射點(diǎn)位置和迭代11次之后的射線出射點(diǎn)位置,可以看出射線出射點(diǎn)位置有很好的收斂.圖5(f—i)顯示了迭代11次后、不同深度的射線出射點(diǎn)位置,按照從淺到深的順序與真實(shí)模型的射線出射點(diǎn)位置的貼合對(duì)比.可以看出從淺到深反射點(diǎn)位置都基本歸位,再次說(shuō)明了三維立體層析反演對(duì)于強(qiáng)非均質(zhì)性模型也具有很好的適應(yīng)性.從圖5j所示的目標(biāo)泛函下降曲線中同樣也可看出迭代到最后時(shí)殘差已非常小,也可證明反演的正確性.9.3反演中的規(guī)則化因素的作用10基于數(shù)據(jù)的三維立體層析不同于前人在射線中心坐標(biāo)系下基于降階漢密爾頓算子建立三維立體層析矩陣,本文在三維直角坐標(biāo)系下基于非降階漢密爾頓算子,通過(guò)射線擾動(dòng)理論導(dǎo)出了三維立體層析反演所需的數(shù)據(jù)空間對(duì)模型空間