四川省綿陽南山名校2022-2023學年高二下學期期末熱身考試數(shù)學（理）試題（含解析）

第第頁四川省綿陽南山名校2022-2023學年高二下學期期末熱身考試數(shù)學（理）試題（含解析）第四學期期末熱身考試

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.復數(shù)，則的虛部為（）

A.1B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，由共軛復數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由得，所以，故的虛部為為，

故選：C

2.已知命題;命題.則下列命題中為真命題的是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】分別用特值法即可檢驗命題的真假，然后結合復合命題的真假關系即可求解.

【詳解】當時，，所以為假命題，

當時，，所以為真命題，

由此可得為假命題，所以C項錯誤；

得為真命題，所以為假命題，所以項錯誤；

得為假命題，所以為假命題，所以B項錯誤；

得為真命題，所以為真命題，所以D項正確.

故選：D

3.已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（）

A.B.C.D.2

【答案】B

【解析】

【分析】因為，結合二項展開的通項公式運算求解.

【詳解】的展開式的通項公式為，，

∵，

∴，解得，

故選：B.

4.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個，記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結果.

【詳解】由題知，，，所以，

故選：B.

5.函數(shù)的圖象大致為（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根據函數(shù)奇偶性排除選項C,D；再利用特殊值排除選項B即可求解.

【詳解】因為，定義域為，

又，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項C,D；

又由時，，，有，，可得；

當時，，，有，，可得；

故當時，，故排除選項B；

而A選項滿足上述條件，故A正確.

故選：A.

6.如圖，某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有（）種.

A40B.80C.120D.160

【答案】C

【解析】

【分析】將此類問題看成涂色問題，根據分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理討論.

【詳解】根據圖示，區(qū)域3和6、區(qū)域3和5、區(qū)域2和5、區(qū)域2和4、區(qū)域4和6不相鄰，可以栽種相同顏色的花.

因為要栽種4種不同顏色的花，所以分為5類：

第一類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和4同色：種；

第二類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和5同色：種；

第三類：區(qū)域3和5同色且區(qū)域2和4同色：種；

第四類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域2和5同色：種；

第五類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域3和5同色：種；

所以，共有種.

故選：C

7.若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.B.

C.D.m>1

【答案】B

【解析】

【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內，且，得出關于的不等式組，求解即可．

【分析】函數(shù)的定義域為，

且，

令，得，

因為在區(qū)間上不單調，

所以，解得：

故選：B.

8.已知向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為，則（）

AB.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意畫出圖形，利用中點坐標公式列出方程組，求解即可.

【詳解】根據題意畫出圖形，如圖：

因為向量，向量，

且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為，

所以，，

所以，解得，

所以.

故選：A

9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學排隊，若丙在甲、乙的中間（可不相鄰），則不同的排法有（）種.

A.20B.40C.60D.80

【答案】B

【解析】

【分析】滿足條件的排法可分步完成，第一步，從五個位置中任取三個位置，并將甲，乙，丙排入其中，第二步，將丁，戊排入余下的兩個位置，結合排列組合知識及分步乘法計數(shù)原理可得結論.

【詳解】滿足條件的排法可分步完成，

第一步，從五個位置中任取三個位置，并將甲，乙，丙排入其中，有種方法，

第二步，將丁，戊排入余下的兩個位置，有種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得共有種排法，

故選：B.

10.“關于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得關于的不等式的解集為R對應的a的范圍，進而得到其必要不充分條件.

【詳解】關于的不等式的解集為R，

則，解之得，

則“關于的不等式的解集為R”的一個

必要不充分條件對應的a的范圍應包含，則僅選項C符合題意.

故選：C

11.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結合討論即可得到答案.

【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根

即可，

令，即與的圖象有個不同交點.

因為，

當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；

當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；

當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，

令得，解得（負值舍去），所以.

綜上，的取值范圍為.

故選：D.

【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，考查數(shù)形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.

12.已知奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，若，，則的大小關系正確的是

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，則，根據題意得到時，函數(shù)單調遞增，求得，再由函數(shù)的奇偶性得到，即可作出比較，得到答案．

【詳解】由題意，令，則，

因為當時，，所以當時，，

即當時，，函數(shù)單調遞增，

因為，所以，

又由函數(shù)為奇函數(shù)，所以，

所以，所以，故選D．

【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及其應用，其中解答中根據題意，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和奇偶性是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中項的系數(shù)是______.

【答案】380

【解析】

【分析】先利用的通項求出和，再得到項的系數(shù).

【詳解】因為，

的通項為，

令，得，

令，得，

所以項的系數(shù)為.

故答案為：380

14.命題“,使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為____________．

【答案】

【解析】

【分析】由題意可得“，使”是真命題，討論m的取值，結合二次不等式恒成立，即可求得答案.

【詳解】由題意命題“，使”是假命題，

故“，使”是真命題，

當時,成立，

故，則且,解得，

綜合得，

故答案為:

15.若，不等式恒成立，則參數(shù)k的取值范圍為______．

【答案】

【解析】

【分析】對k分類討論，根據函數(shù)的單調性求解.

【詳解】設，則，

令，是增函數(shù)，即是增函數(shù)，

當時，，即是增函數(shù)，，符合題意；

當時，因為，

令，則，

所以，

因為，則，取，則，

所以當時，減函數(shù)，即，不滿足題意；

綜上：.

故答案為：.

16.如圖，矩形中，為的中點，將△沿直線翻折成△，連結，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的序號是_______.

①存在某個位置，使得；

②翻折過程中，的長是定值；

③若，則；

④若，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是.

【答案】②④

【解析】

【分析】對于①，取AD中點E，連接EC交MD與F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，不可能，

對于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．

對于③，取AM中點O，連接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD＝MD，顯然不成立．

對于④，當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1﹣AMD的體積最大，可得球半徑為1，表面積是4π．

【詳解】對于①：如圖，取AD中點E，連接EC交MD與F，

則NE∥AB1，NF∥MB1，又，所以，

如果CN⊥AB1，可得EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，

不可能，故①不正確；

對于②：如圖，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），

NEAB1（定值），AM＝EC（定值），

由余弦定理可得，

所以NC是定值，故②正確．

對于③：如圖，取AM中點O，連接B1O，DO，

由，得，假設，

，所以AM⊥面ODB1，得OD⊥AM，

從而AD＝MD，顯然不成立，所以假設不成立，可得③不正確．

對于④：當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1﹣AMD的體積最大，

由，所以，

所以，設AD中點H，

，

為三棱錐B1﹣AMD的外接球的球心，球半徑為1，

表面積是4π．故④正確．

故答案為：②④．

【點睛】本題主要考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質定理，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了反證法的應用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（一）必考題：共60分

17.如圖，平面，四邊形是正方形，，、分別是、的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）易證，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，再由證明；

（2）由（1）得到為平面的一個法向量，再由，根據公式求解.

【小問1詳解】

證明：∵平面，平面，四邊形為正方形，

∴，即，，兩兩垂直，

分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如題所示空間直角坐標系:

則，，，，，，，

∴，，，，

設平面的一個法向量為，則，

令得，，∴，

設平面的一個法向量為，則，有滿足，

∵，

∴，

∴平面平面；

【小問2詳解】

由（1）知為平面的一個法向量，且，

所以到平面的距離.

18.某校開設的校本課程分別有人文科學、自然科學、藝術體育三個課程類別，每種課程類別開設課程數(shù)及學分設定如下表所示：

人文科學類自然科學類藝術體育類

課程門數(shù)

每門課程學分

學校要求學生在高中三年內從中選修門課程，假設學生選修每門課程的機會均等.

（1）求甲三種類別各選一門概率；

（2）設甲所選門課程的學分數(shù)為，寫出的分布列，并求出的數(shù)學期望.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

【分析】（1）記事件{甲三種類別各選一門}，則根據排列組合公式得到答案.

（2）的取值有：，分別計算對應概率得到分布列，再計算數(shù)學期望.

【詳解】解：（1）記事件{甲三種類別各選一門}

則

（2）的取值有：，則

所以分布列為

所以期望

【點睛】本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力.

19.已知函數(shù)f（x）＝4ln（x﹣1）x2﹣（m+2）xm（m為常數(shù)），

（1）當m＝4時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)y＝f（x）有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為（1，2）和（5，＋∞），單調遞減區(qū)間為．（2）m＞3.

【解析】

【分析】（1）當m＝4時，f（x）＝4ln（x﹣1）x2﹣6x．f′（x）x﹣6，分析導函數(shù)在定義域各區(qū)間上的符號，進而可得函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)y＝f（x）有兩個極值點，則f′（x）x﹣（m+2）在定義域內有兩個根，則，解得實數(shù)m的取值范圍．

【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為（1，+∞）．

（1）當m＝4時，f（x）＝4ln（x﹣1）x2﹣6x．

f′（x）x﹣6

．

令f′（x）＞0，解得x＞5，或1＜x＜2．

令f′（x）＜0，解得2＜x＜5．

可知函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，2）和（5，+∞），單調遞減區(qū)間為（2，5）．

（2）f′（x）x﹣（m+2），

若函數(shù)y＝f（x）有兩個極值點，

則

解得m＞3．

【點睛】本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的值，是函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，難度中檔．

20.如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）設，連，利用線面平行的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）連，設，連，

因為是的中點，為的中點，所以，

又因為平面，平面，

所以平面；

（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，.

設為平面的法向量，

則，令，則.

又為平面一個法向量，

由向量的夾角公式，可得，

所以二面角的平面角的余弦值為.

【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

21.已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)

（Ⅱ）若，，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數(shù)的單調性，結合極值的概念，即可求解；

（Ⅱ）由不等式，轉化為當時，不等式恒成立，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.

【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域為，

且，

當時，令，解得，

令，解得或，

故在上單調遞減，在，上單調遞增，

所以有一個極值點；

當時，令，解得或，

令，得，

故在，上單調遞減，在上單調遞增，

所以有一個極值點；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以沒有極值點．

綜上所述，當時，有個極值點；當時，沒有極值點．

（Ⅱ）由，即，可得，

即當時，不等式恒成立，

設，則．

設，則．

因為，所以，所以在上單調遞增，所以，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以．

所以的取值范圍是.

【點睛】對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：

1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．

3、根據恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設出導數(shù)的零點，難度較大.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.

[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

22.在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設射線和射線分別與曲線交于、兩點，求面積的最大值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，由普通方程與極坐標方程之間的轉換關系可得出曲線的極坐標方程；

（2）求出、，利用三角形的面積公式結合三角恒等變換可得，結合可求得的最大值.

【小問1詳解】

解：由可得，

即，故曲線的普通方程為，

因為，，

所以曲線的極坐標方程為，即.

【小問2詳解】

解：由題意知，，

∴

，

因為，則，

所以當，即當時，的面積最大，且最大值是.

[選修4-5：不等式選講]

23.已知函數(shù)．

（1）畫出f（x）的圖象，并寫出的解集；

（2）令f（x）的最小值為T，正數(shù)a，b滿足，證明：．

【答案】（1）作圖見解析，

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號得分段函數(shù)解析式，然后分段作出函數(shù)圖象，由圖象得不等式的解集；

（2）由（1）得最小值，然后用基本不等式得出的范圍，再用基本不等式得，利用二次函數(shù)性質得的范圍，從而可得不等式成立，注意等號取得的條件是否一致．

【小問1詳解】

由題，得，圖象如圖所示．

由圖可知，的解集為．

【小問2詳解】

由（1）知，函數(shù)f（x）的最小值為，則．

只需證明即可．

由已知，，，則，所以．

于是，

因為

，

由于，則，即，第四學期期末熱身考試

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.復數(shù)，則的虛部為（）

A.1B.C.D.

2.已知命題;命題.則下列命題中為真命題的是（）

A.B.

C.D.

3.已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（）

A.B.C.D.2

4.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個，記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）

A.B.C.D.

5.函數(shù)的圖象大致為（）

A.B.

C.D.

6.如圖，某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有（）種.

A.40B.80C.120D.160

7.若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.B.

C.D.m>1

8.已知向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為，則（）

A.B.

C.D.

9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學排隊，若丙在甲、乙的中間（可不相鄰），則不同的排法有（）種.

A20B.40C.60D.80

10.“關于不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（）

A.B.

C.D.

11.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則取值范圍是（）

AB.

C.D.

12.已知奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，若，，則的大小關系正確的是

A.B.C.D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中項的系數(shù)是______.

14.命題“,使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為____________．

15.若，不等