重難點(diǎn)突破02 函數(shù)的綜合應(yīng)用（原卷版）

重難點(diǎn)突破02函數(shù)的綜合應(yīng)用目錄1、高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時(shí)，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式（如對(duì)稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)方程和不等式的解法；掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，特別是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等．2、函數(shù)的圖象與性質(zhì)分奇、偶兩種情況考慮：比如圖（1）函數(shù)，圖（2）函數(shù)（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象是一個(gè)“”型，且在“最中間的點(diǎn)”取最小值；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象是一個(gè)平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；若為等差數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，奇數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，偶數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．3、若為上的連續(xù)單峰函數(shù)，且為極值點(diǎn)，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列有關(guān)數(shù)列的敘述正確的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則下列有關(guān)數(shù)列的敘述正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．變式2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．變式3．（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）無窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的正整數(shù)n，均有，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格減數(shù)列 B．存在正整數(shù)n，使得C．?dāng)?shù)列中存在某一項(xiàng)為最大項(xiàng) D．存在正整數(shù)n，使得題型二：函數(shù)與不等式的綜合例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式，解集為___________.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為__________．例6．（2023·遼寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______________.變式4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，對(duì)任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題例7．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中．例8．（2023·上海黃浦·上海市敬業(yè)中學(xué)校考三模）定義：如果函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有C關(guān)系．(1)判斷函數(shù)和是否具有C關(guān)系；(2)若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例9．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù).(1)從下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求函數(shù)的最小值；①；②；③.(2)求證：，.變式5．（2023·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)實(shí)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)是否是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，若是，求出其不動(dòng)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由(2)已知函數(shù)，若是的次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值：(3)若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）例10．（2023·浙江紹興·高三浙江省柯橋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則當(dāng)m取最大值時(shí)，（

）A．7 B．4 C． D．例11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．－1 B．0 C． D．1例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．1變式8．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鬭、，且對(duì)于時(shí)，不等式均成立，則實(shí)數(shù)對(duì)_________．題型五：倍值函數(shù)例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在使得在上的值域?yàn)?，則稱函數(shù)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)（其中，且）是“成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)（，）不存在“和諧區(qū)間”例15．（2023·安徽·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①；②；③；④A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)（）存在1級(jí)“理想?yún)^(qū)間”B．函數(shù)（）不存在2級(jí)“理想?yún)^(qū)間”C．函數(shù)（）存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”D．函數(shù)，不存在4級(jí)“理想?yún)^(qū)間”變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A． B．C． D．題型六：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問題例16．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若曲線是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．例18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若存在，且為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題例19．（2023·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ∈(0，α])，得到曲線C，若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則α的最大值為（）A．π B． C． D．例20．（2023·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是含數(shù)的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）①f（x）是奇函數(shù)；②f（x）的圖象過點(diǎn)或；③f（x）的值域是；④函數(shù)y＝f（x）－x有兩個(gè)零點(diǎn)．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當(dāng)時(shí)都能使成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型八：函數(shù)的伸縮變換問題例22．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谀┒x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)在上的最大值為則數(shù)列的前n項(xiàng)和的值為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·甘肅·高三西北師大附中階段練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．題型九：V型函數(shù)和平底函數(shù)例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a1，a2，a3與b1，b2，b3是6個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，則集合A中，最多有__個(gè)元素．例26．（浙江省衢州市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列滿足：，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．12 D．8例27．（上海市川沙中學(xué)2022-2