A2-高一上冊(cè)-角的概念的推廣-感謝廣渠門校區(qū)高旭陽(yáng)老師提供

該知識(shí)模塊教學(xué)方法由優(yōu)勝教育北京某某該知識(shí)模塊教學(xué)方法由優(yōu)勝教育北京某某校區(qū)某某某老師研發(fā)。課程名稱學(xué)生姓名___________學(xué)科_________年級(jí)_____________教師姓名___________平臺(tái)_________上課時(shí)間_____________通過(guò)對(duì)****和****的類比，理解*****的（概念、公式、定理、原理、規(guī)律）通過(guò)對(duì)學(xué)生的聽(tīng)覺(jué)刺激，促進(jìn)學(xué)生對(duì)*****的有效記憶通過(guò)聽(tīng)覺(jué)類比法，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)學(xué)科知識(shí)體系，激發(fā)解決相關(guān)問(wèn)題的潛能（25分鐘）回顧舊知識(shí)趣味引入以手表盤為工具，時(shí)針與分針、分針與秒針為射線所成的角，老師隨機(jī)念，讓學(xué)生判斷為零角、銳角、直角、鈍角、平角、大于180度角，特殊角說(shuō)出度數(shù)。例如：01:3318:22:4523:48:07學(xué)生根據(jù)老師的敘述提取相關(guān)知識(shí)_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探索新知識(shí)新知識(shí)素材展示：1.角的概念(1)角的概念：角可以看成是繞著它的從一個(gè)位置到另一個(gè)位置所成的圖形.(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按形成的角負(fù)角按形成的角零角一條射線，稱它形成了一個(gè)零角(3)角的運(yùn)算：各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與的和.3.象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，這時(shí)角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.問(wèn)題一：根據(jù)材料提出與新舊知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題_______________________________________________問(wèn)題二：根據(jù)材料提出與新舊知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題_______________________________________________學(xué)生復(fù)述新知識(shí)內(nèi)容，老師補(bǔ)充，學(xué)生填寫結(jié)果注：可根據(jù)以下思路引導(dǎo)：1.相似與不同；2.易錯(cuò)點(diǎn)；（15分鐘）例1：寫出終邊在x軸上的角的集合.提示：************例2：在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.－150°；(2)650°；(3)－950°15′.分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái)：(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.提示：************至少2個(gè)例題（15分鐘）練習(xí)題與例題知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容、難度、題型匹配1.寫出終邊在y軸上的角的集合.(1)1400°；(2)－2015°.點(diǎn)評(píng)_________________________________________________________________________2.判斷下列角的終邊落在第幾象限內(nèi)：寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái).點(diǎn)評(píng)_________________________________________________________________________至少2個(gè)習(xí)題

（5分鐘）打印版和手寫板，每個(gè)不少于3行內(nèi)容小結(jié)（老師敘述，學(xué)生填寫關(guān)鍵語(yǔ)句，不少于2行）教師評(píng)語(yǔ)（由老師根據(jù)學(xué)生當(dāng)堂學(xué)習(xí)情況填寫，包括學(xué)習(xí)情況、學(xué)習(xí)建議等，不少于2行）（20分鐘）任務(wù)A：聽(tīng)寫（家長(zhǎng)、班主任、同學(xué)）、有聲朗讀（自讀錄音）、聽(tīng)優(yōu)勝教育直播課等內(nèi)容總結(jié)寫終邊角的方法。時(shí)間學(xué)生填寫完成任務(wù)所用時(shí)間結(jié)果學(xué)生填寫任務(wù)完成情況任務(wù)B：（習(xí)題）1.－361°的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.下列各角中與330°角終邊相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°3.若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.4.寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A.BCA B.BACC.D(A∩C) D.C∩D＝B2.與405°角終邊相同的角是()A.k·360°－45°，k∈Z B.k·180°－45°，k∈ZC.k·360°＋45°，k∈Z D.k·180°＋45°，k∈Z

3.如圖，終邊落在直線y＝±x上的角α的集合是()A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}4.若α是第四象限角，則180°－α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.與2015°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________.任務(wù)B：（習(xí)題）6.下列說(shuō)法中，正確的是________.(填序號(hào))①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③第二象限的角為鈍角；④小于90°的角一定為銳角；⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.7.在與角－2013°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－720°～720°內(nèi)的角.二、能力提升8.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是()9.在－180°～360°范圍內(nèi)，與2000°角終邊相同的角為______.10.角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若α＝30°，則β＝________.11.已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}.求：(1)A∩B；(2)A∪B.三、探究與拓展12.已知角β的終邊在直線eq\r(3)x－y＝0上.(1)寫出角β的集合S；(2)寫出S中適合不等式－360°<β<720°的元素.13.若α是第一象限角，問(wèn)－α，2α，eq\f(α,3)是第幾象限角？注：1.原則上，所有知識(shí)點(diǎn)均需用類比模板呈現(xiàn)，如遇到不易用類比關(guān)系講解的知識(shí)，可用對(duì)比關(guān)系模板；2.用類比關(guān)系講解出新知識(shí)，新知識(shí)順帶的知識(shí)點(diǎn)可以直接呈現(xiàn)。答案例1寫出終邊在x軸上的角的集合.解在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個(gè)，即0°和180°，與這兩個(gè)角終邊相同的角組成的集合依次為S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們把集合S1和S2的表示方法作如下變化S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}.因?yàn)閧m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，即集合S是終邊在x軸上的角的集合.第四象限{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}例2在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°終邊相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°終邊相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角.分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái)：(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.解(1)S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}.S中滿足－360°≤β<720°的元素是(－1)×360°＋60°＝－300°，0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.(2)S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}.S中滿足－360°≤β<720°的元素是0×360°－21°＝－21°，1×360°－21°＝339°，2×360°－21°＝699°.(3)S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}.S中滿足－360°≤β<720°的元素是－2×360°＋363°14′＝－356°46′，－1×360°＋363°14′＝3°14′，0×360°＋363°14′＝363°14′.判斷下列角的終邊落在第幾象限內(nèi)：(1)1400°；(2)－2015°.解(1)1400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1400°也是第四象限角.(2)－2015°＝－6×360°＋145°，∴－2015°與145°終邊相同.∴－2015°是第二象限角.寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái).解直線y＝x與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}.∴S中適合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.1.－361°的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D2.下列各角中與330°角終邊相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°答案D3.若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.答案270°解析由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4.寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.解終邊落在x軸上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1.對(duì)角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)量”決定角的“絕對(duì)值大小”.2.關(guān)于終邊相同的角的認(rèn)識(shí)一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.注意：(1)α為任意角；(2)k·360°與α之間是“＋”號(hào)，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍；(4)k∈Z這一條件不能少.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A.BCA B.BACC.D(A∩C) D.C∩D＝B答案D解析銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍，如下表所示.角集合表示銳角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}2.與405°角終邊相同的角是()A.k·360°－45°，k∈Z B.k·180°－45°，k∈ZC.k·360°＋45°，k∈Z D.k·180°＋45°，k∈Z答案C

3.如圖，終邊落在直線y＝±x上的角α的集合是()A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4.若α是第四象限角，則180°－α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案C解析可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.5.與2015°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________.答案215°－145°解析與2015°終邊相同的角為2015°＋k·360°(k∈Z).當(dāng)k＝－5時(shí)，215°為最小正角；當(dāng)k＝－6時(shí)，－145°為絕對(duì)值最小的角.6.下列說(shuō)法中，正確的是________.(填序號(hào))①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③第二象限的角為鈍角；④小于90°的角一定為銳角；⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.答案②⑤解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說(shuō)法也是錯(cuò)誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負(fù)角，故④的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.7.在與角－2013°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－720°～720°內(nèi)的角.解(1)∵－2013°＝－6×360°＋147°，∴與角－2013°終邊相同的最小正角是147°.(2)∵－2013°＝－5×360°＋(－213°)，∴與角－2013°終邊相同的最大負(fù)角是－213°.(3)∵－2013°＝－6×360°＋147°，∴與－2013°終邊相同也就是與147°終邊相同.由－720°<k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是()答案C9.在－180°～360°范圍內(nèi)，與2000°角終邊相同的角為______.答案－160°，200°解析∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范圍內(nèi)與2000°角終邊相同的角有－160°，200°兩個(gè).10.角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若α＝30°，則β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴β的終邊與150°角的終邊相同.∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11.已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}.求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐標(biāo)系中，分別畫出集合A，B所包含的區(qū)域，結(jié)合圖形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.12.已知角β的終邊在直線eq\r(3)x－y＝0上.(1)寫出角β的集合S；(2)寫出S中適合不等式－360°<β<720°的元素.解(1)如圖，直線eq\r(3)x－y＝0過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈