自動(dòng)控制原理具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為課件

一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

這是最常見(jiàn)的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)。第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)1杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特征根為：，注意：當(dāng)不同時(shí)，極點(diǎn)有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。

稱(chēng)為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱(chēng)為阻尼系數(shù)，稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。

特征方程為：2杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院特征根為：⒈當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，稱(chēng)為零(無(wú))阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱(chēng)為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。⒊當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根，稱(chēng)為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。⒋當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根，稱(chēng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。3杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒈當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，，有：

[分析]：當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：

此時(shí)輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩圓頻率。4杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，，有：階躍響應(yīng)函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：階躍響應(yīng)為：5杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院階躍響應(yīng)函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：當(dāng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部 是振蕩頻率。稱(chēng)為阻尼振蕩圓頻率。6杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：即特征方程為特征方程還可為7杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)為：即特征方程為特征方程還可為7因此過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中8杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院因此過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，

上述四種情況分別稱(chēng)為二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對(duì)負(fù)實(shí)重根

衰減振蕩一對(duì)共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對(duì)共軛虛根

9杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院上述四種情況分別稱(chēng)為二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界可以看出：隨著的增加，c(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng)(無(wú)振蕩)?？梢?jiàn)反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱(chēng)為阻尼系數(shù)。10杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院可以看出：隨著的增加，c(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變二、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程：⒈上升時(shí)間：根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)，。11杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院二、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系（一）衰減振蕩稱(chēng)為阻尼角，。12杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院稱(chēng)為阻尼角，。1⒉峰值時(shí)間：當(dāng)時(shí)，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：其中13杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒉峰值時(shí)間：當(dāng)時(shí)，整理得：由于14杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院14杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒊最大超調(diào)量：故：將峰值時(shí)間代入15杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒊最大超調(diào)量：故：將峰值時(shí)間16杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院16杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒋調(diào)節(jié)時(shí)間：可見(jiàn)，寫(xiě)出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，當(dāng)t≥ts時(shí)|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。17杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院⒋調(diào)節(jié)時(shí)間：可見(jiàn)，寫(xiě)出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來(lái)估算調(diào)節(jié)時(shí)間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過(guò)程結(jié)束。18杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)當(dāng)較小時(shí)，近似?。?，且所以19杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院當(dāng)較小時(shí)，近似?。?，且所一般在之間，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱(chēng)為最佳阻尼常數(shù)。5延遲時(shí)間：根據(jù)定義，令

。20杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院一般在之間，調(diào)節(jié)時(shí)

曲線擬合當(dāng)若不變,閉環(huán)極點(diǎn)距s平面原點(diǎn)越遠(yuǎn),越小,若不變,閉環(huán)極點(diǎn)距s平面虛軸越近,越小21杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院曲線這是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用調(diào)整時(shí)間就可以描述瞬態(tài)過(guò)程的性能。利用牛頓迭代公式可以得出（二）非振蕩瞬態(tài)過(guò)程：⒈對(duì)于，極點(diǎn)為：22杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院這是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用調(diào)整時(shí)間就可以描述瞬態(tài)過(guò)程的在c(t)中，有兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，所以是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用調(diào)整時(shí)間就可以描述瞬態(tài)過(guò)程的性能。⒉對(duì)于，極點(diǎn)為：當(dāng)時(shí)利用牛頓迭代公式可得當(dāng)時(shí)，，這時(shí)可用一階系統(tǒng)來(lái)近似23杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院在c(t)中，有兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，所以是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用24杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院24杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過(guò)程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過(guò)程中，它的最小。當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，且c(t)中包含極點(diǎn)s2的衰減項(xiàng)的系數(shù)小，所以由極點(diǎn)s2引起的指數(shù)項(xiàng)衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過(guò)程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。25杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過(guò)程，是單調(diào)[總結(jié)]阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無(wú)超調(diào)和振蕩，但長(zhǎng)。當(dāng)時(shí)，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時(shí)間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過(guò)阻尼情況，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。但對(duì)于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。26杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院[總結(jié)]阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地在欠阻尼情況下工作時(shí)，若過(guò)小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來(lái)選擇。

越大，（當(dāng)一定時(shí)）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。27杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院在欠阻尼情況下工作時(shí)，若[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標(biāo)的關(guān)系：[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：時(shí)，。振蕩加?。粫r(shí)，下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系：(假設(shè)）28杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標(biāo)的三、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過(guò)程[0,t1]誤差信號(hào)為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號(hào)為負(fù)，產(chǎn)生反向修正作用，但開(kāi)始反向修正作用不夠大，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才使正向速度為零，此時(shí)輸出達(dá)到最大值。[t2,t3]誤差信號(hào)為負(fù)，此時(shí)反向修正作用大，使輸出返回過(guò)程中又穿過(guò)穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。[t3,t4]誤差信號(hào)為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開(kāi)始正向修正作用不夠大，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才使反向速度為零，此時(shí)輸出達(dá)到反向最大值。29杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院三、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過(guò)程29杭州師a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號(hào)c(t)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e(t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)反饋回路。簡(jiǎn)稱(chēng)速度反饋。以誤差信號(hào)e(t)與誤差信號(hào)的微分信號(hào)e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡(jiǎn)稱(chēng)PI控制。又稱(chēng)微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱(chēng)為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱(chēng)為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。30杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無(wú)阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts變小。31杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無(wú)阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為

由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點(diǎn),將會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)影響。32杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較零極點(diǎn)分布圖四、具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個(gè)零點(diǎn)，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點(diǎn)為：具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：33杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院零極點(diǎn)分布圖四、具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)比典由上圖可看出：使得比響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。34杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院由上圖可看出：使得比設(shè)為零點(diǎn)和極點(diǎn)實(shí)部之比35杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院設(shè)為零點(diǎn)和極點(diǎn)實(shí)部之比35杭具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：式中：，零極點(diǎn)分布圖36杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：式中：根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：式中：，，37杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：式中：+-比例+微分控制的性能38杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院+-比例+微分控制的性能38杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院

顯然，這是一個(gè)典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)椋鵁o(wú)阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當(dāng)阻尼系數(shù)不變時(shí)，附加零點(diǎn)會(huì)使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個(gè)零點(diǎn)，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來(lái)講，超調(diào)量會(huì)下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。39杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院顯然，這是一個(gè)典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二40杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院40杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：①②③41杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工