2014年初二升初三數(shù)學(xué)提優(yōu)專題2(含答案)

2014年初二升初三數(shù)學(xué)提優(yōu)專題2(含答案)學(xué)生姓名、開始時(shí)間、考試時(shí)間、90分、學(xué)生情況和家長簽名是學(xué)?？荚囍斜仨毎膬?nèi)容。在考試后，學(xué)生需要溫故知新，通過反思自己的答題情況來提高自己的成績。等分面積問題是數(shù)學(xué)中常見的問題之一。如果一條直線將一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，那么我們稱這條直線為該平面圖形的面積等分線。例如，平行四邊形的一條對角線就是平行四邊形的一條面積等分線。(1)三角形的中線、高線和角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線。(2)在圖1中，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE。這個(gè)結(jié)論成立的理由是因?yàn)椤鰽BE和△ADC具有相同的高，且底邊AE和DC長度相等，因此面積也相等。梯形ABCD的面積等分線如圖所示。(3)在圖2中，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，無法通過點(diǎn)A作出四邊形ABCD的面積等分線。因?yàn)樗倪呅蜛BCD沒有一條直線可以將其面積分成相等的兩部分。在問題探究中，我們需要尋找能將平面圖形面積分成相等的兩部分的直線。(1)在圖1中，可以通過作一條直線將圓面分成四等分。(2)在圖2中，可以通過作兩條直線將正方形ABCD的面積四等分，其中一條直線必須過點(diǎn)M。(3)在圖3中，可以通過作一條直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分，該直線過點(diǎn)P且平行于BC。通過計(jì)算可得出BQ的長度為2a/(b+2a)。最后，在問題解決中，我們需要解決具體的數(shù)學(xué)問題。例如，在圖3中，可以通過計(jì)算得到梯形OBCD的面積，進(jìn)而計(jì)算出通過點(diǎn)P的平行于BC的直線將其面積分成相等的兩部分時(shí)，該直線所在的位置。駐區(qū)單位正在規(guī)劃修建一條筆直的道路，要求這條道路所在的直線能夠?qū)⒅苯翘菪蜲BCD分成面積相等的兩部分。現(xiàn)在需要確定這條直線是否存在，如果存在，求出直線的表達(dá)式；如果不存在，請說明理由。在平面直角坐標(biāo)系中，有原點(diǎn)O，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)。當(dāng)正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α。（Ⅰ）當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長度；（Ⅱ）當(dāng)α=135°時(shí)，證明AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值。某小區(qū)計(jì)劃新建50個(gè)停車位，已知建造1個(gè)地上停車位和1個(gè)地下停車位需要0.5萬元，建造3個(gè)地上停車位和2個(gè)地下停車位需要1.1萬元。（1）求建造1個(gè)地上停車位和1個(gè)地下停車位各需要多少萬元；（2）如果該小區(qū)預(yù)計(jì)投資金額超過10萬元，且地上停車位不少于30個(gè)，問共有幾種建造方案；（3）在所有方案中，哪個(gè)方案的投資最少？最少投資金額是多少？如圖1所示，甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的軸截面為圓形。乙槽中放有一圓柱形鐵塊，下底面完全落在水槽底面上?，F(xiàn)在將甲槽中的水勻速注入乙槽，根據(jù)圖2提供的信息，回答以下問題：（1）折線ABC表示的是甲、乙兩個(gè)水槽中的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段DE表示的是哪個(gè)水槽中的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系？點(diǎn)B的縱坐標(biāo)表示什么意義？（2）注水多長時(shí)間后，甲、乙兩個(gè)水槽中的水的深度相同？（3）如果乙槽底面積為36平方厘米，求乙槽中鐵塊的體積；（4）如果乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積。方法一：根據(jù)AB∥CE和AB=CE，可以得出四邊形ABEC為平行四邊形，因此BE∥AC。由此可知，△ABC和△AEC的公共邊AC上的高度相等，進(jìn)而得出S梯形ABCD=S△AED=S△ACD+S△AEC=S△ACD+S△ABC。方法二：假設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F。由于AB∥CE，可以得出∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，同時(shí)AB=CE，因此△ABF≌△ECF，進(jìn)而得出S梯形ABCD=S△AED=S△ACD+S△AEC=S△ACD+S△ABC。對于作圖部分，可以通過連接AC，以及過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE，來求得四邊形ABCD的面積等分線。由于BE∥AC，因此△ABC和△AEC的公共邊AC上的高度相等，進(jìn)而得出S四邊形ABCD=S△AED=S△ACD