半導(dǎo)體物理之能帶理論課件

固體量子理論初步OVTS.M.固體量子理論初步OVTS.M.引子

單電子原子滿足由質(zhì)子和電子之間庫侖力形成的勢函數(shù)為：V(r)=-e2/4ε0r（E為電子電量，ε0為真空介電常數(shù)。利用球坐標(biāo)和分離變量法，得到E的解：量子數(shù)：n=1,2,3,……l=n-1,n-2,n-3,……0∣m∣=l,l-1,……0波動方程的解可以用Ψ(n,l,m)的形式表示。對于氫原子中的電子，n=1,l=0,m=0可解出波函數(shù)，Ψ(1,0,0).徑向概率密度函數(shù)，是指電子出現(xiàn)在離核某個距離的概率，與Ψ(1,0,0)·Ψ*(1,0,0)以及核外球型能量殼層的微分成比例。如圖：引子

單電子原子滿足由質(zhì)子和電子之間庫侖力形成的勢函數(shù)為：2023/8/12其中最大概率出現(xiàn)在半徑r=a0處徑向概率密度函數(shù)圖2023/8/1其中最大概率出現(xiàn)在半徑r=a0處徑向概率密度2.1固體量子理論基本原理能帶理論固體中電的傳導(dǎo)三維擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)密度函數(shù)統(tǒng)計力學(xué)2.1固體量子理論基本原理2.1.1允帶與禁帶電子共有化運動能帶的形成克龍尼克-潘納模型單電子近似K空間能帶圖2.1.1允帶與禁帶電子共有化運動電子共有化運動

原子中的電子在原子核的勢場和其它電子的作用下，分列在不同的能級上，形成所謂電子殼層。不同殼層的電子分別用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s…等符號表示，每一殼層對應(yīng)于確定的能量。當(dāng)原子相互接近形成晶體時，不同原子的內(nèi)外各電子殼層之間就有了一定程度的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最多，內(nèi)殼層交疊較少。原子組成晶體后，由于電子殼層的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，可以由一個原于轉(zhuǎn)移到相鄰的原子上去，因而，電子將可以在整個晶體中運動。這種運動稱為電子的共有化運動。2023/8/12電子共有化運動

原子中電子共有化運動注意：各原子中相似殼層上的電子才有（近似）相同的能量，電子只能在相似殼層間轉(zhuǎn)移。共有化運動的產(chǎn)生是由于不同原子的相似殼層的交疊。2023/8/12電子共有化運動2023/8/1能帶的形成

原子靠近→電子云發(fā)生重疊→電子之間存在相互作用→分立的能級發(fā)生分裂。滿足泡利不相容原理。2023/8/12原來相同的電子能級發(fā)生分裂，變成一系列離散的能級，這些離散的能級形成能帶，其中的r0代表平衡狀態(tài)下晶體中的原子間距。能帶的形成

原子靠近→電子云發(fā)生重疊→電子之間存在相互作用→能帶的形成晶體中的原子體密度在1022cm-3的量級。那么1mm3內(nèi)就有1019個原子。簡化假設(shè)為單電子原子，則其中有1019個電子分布在同一個能帶上，假定該能帶的寬度為1eV，則能帶中分立能級的平均寬度就為1×10-19eV。2023/8/12a.單殼層原子b.三殼層原子當(dāng)隨著原子距離的縮減，最外層電子首先相互作用導(dǎo)致n=3的能級分裂。進(jìn)一步縮減距離導(dǎo)致次外層和內(nèi)層原子也分裂成能帶。能帶的形成晶體中的原子體密度在1022cm-3的量級。那么1能帶的形成s能級(l=0,ml=0,ms=±1/2)，2度簡并，交疊后分裂為2N個能級；p能級（l=1,ml=0,1，ms=±1/2

）6度簡并，交疊后分裂為6N個能級;d能級（l=2,ml=0,1,2,ms=±1/2

），交疊后分裂為10N個能級2023/8/12允帶{能帶原子能級{禁帶{禁帶原子軌道原子能級分裂為能帶的示意圖dps能量E能帶的形成s能級(l=0,ml=0,ms=±1/2)，2度簡能帶的形成Si原子能帶的形成圖為Si原子電子系統(tǒng)示意圖。對于n=3的外層價電子來說，其中兩個分布在能量較低的s軌道上，而可容納6個電子的p軌道上有兩個電子。2023/8/12能帶的形成Si原子能帶的形成2023/8/1能帶的形成2023/8/12Si原子能帶的形成能帶的形成2023/8/1Si原子能帶的形成能帶的形成Si原子能帶的形成

每個Si原子最外層有2個S能級和6個p能級，N個Si原子構(gòu)成單晶體后，每個能級都分裂成N個能級，因而總共有8N個能級。但由于形成晶體時，SP3雜化使得在平衡狀態(tài)時，3s和3p態(tài)相互作用并交疊，最終每個原子具有4個成鍵態(tài)（能量低）和4個反鍵態(tài)（能量高）；每個原子核外的4個電子都填充其中的4個低能狀態(tài)，因而低能帶被填滿（價帶），高能帶被空置（導(dǎo)帶）。2023/8/12能帶的形成Si原子能帶的形成2023/8/1單電子近似晶體中電子的運動與自由電子、孤立原子的電子的運動不同：自由電子：在恒定為零的勢場中運動孤立原子中的電子：在該原子的核和其它電子的勢場中運動晶體中的電子：在嚴(yán)格周期性重復(fù)排列的原子間運動單電子近似認(rèn)為，晶體中的某一個電子是在周期性排列且固定不動的原子核的勢場以及其它大量電子的平均勢場中運動，這個勢場也是周期性變化的，而且它的周期與晶格周期相同。2023/8/12單電子近似晶體中電子的運動與自由電子、孤立原克龍尼克-潘納模型2023/8/12目的：利用量子力學(xué)原理和薛定諤波動方程將允帶和禁帶的概念更為嚴(yán)密地表達(dá)出來?？她埬峥?潘納模型2023/8/1目的：利用量子力學(xué)原理和薛克龍尼克-潘納模型2023/8/12最終交疊成如下勢函數(shù)解一維單晶晶格的薛定諤波動方程的解克龍尼克-潘納模型2023/8/1最終交疊成如下勢函數(shù)解一維克龍尼克-潘納模型2023/8/12在這里，我們利用一個簡單的勢函數(shù)，這樣，一維單晶晶格的薛定諤波動方程的解就會變得更容易處理。下圖顯示了周期性勢函數(shù)的一維克龍尼克-潘納模型，用它來代表一維單晶的晶格。著重關(guān)注的是E<V0的情況，此時粒子被束縛在晶體中。

克龍尼克-潘納模型2023/8/1在這里，我們利用一個簡單的克龍尼克-潘納模型布洛赫數(shù)學(xué)定理指出所有周期性變化的勢能函數(shù)的單電子波函數(shù)必須寫為：2023/8/12k為運動常量,u(x)為以(a+b)為周期的函數(shù)波動方程的全解是由與時間無關(guān)和與時間有關(guān)的兩部分解組成的，即這種行波解代表電子在單晶材料中運動。行波的振幅是一個周期函數(shù)，參數(shù)k代表波數(shù)?？她埬峥?潘納模型布洛赫數(shù)學(xué)定理指出所有周期性變化的勢能函數(shù)在0<x<a的區(qū)域內(nèi)，V(x)=02023/8/12克龍尼克-潘納模型將代入

，V(x)=0得在0<x<a的區(qū)域內(nèi)，V(x)=02023/8/1克龍尼克-2023/8/12克龍尼克-潘納模型將代入

，V(x)=0得定義在-b<x<0的區(qū)域內(nèi)，V(x)=V0得如果E>V0，β為實數(shù)，如果E<V0，則β為虛數(shù)。2023/8/1克龍尼克-潘納模型將代入克龍尼克-潘納模型

2023/8/12在0<x<a的區(qū)域內(nèi)，解可以寫為：在-b<x<0的區(qū)域內(nèi)，解可以寫為：V(x)在任意位置都是有限的，因此波函數(shù)和它的一階導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)。 u1(0)=u2(0)

u1(a)=u2(-b)克龍尼克-潘納模型

2023/8/1在0<x<a的區(qū)域內(nèi)，解克龍尼克-潘納模型解出系數(shù)A,B,C,D，得到方程的解因為關(guān)注的是E<V0的情況，則β為虛數(shù)，令β=jγ，γ是一個實數(shù)量。這樣，k與總能量E(通過參數(shù)α)和勢函數(shù)V0(通過參數(shù)β)聯(lián)系起來。通過數(shù)值法或圖形法得到k,E,V0之間的關(guān)系。解得：2023/8/12其中得到薛定諤方程有一個解得條件克龍尼克-潘納模型解出系數(shù)A,B,C,D，得到方程的解202K空間能帶圖自由電子的運動狀態(tài)對于波矢為k的運動狀態(tài)，自由電子的能量E，動量p，速度v均有確定的數(shù)值。

2023/8/12K空間能帶圖自由電子的運動狀態(tài)2023/8/1K空間能帶圖波矢k可用以描述自由電子的運動狀態(tài)，不同的k值標(biāo)志自由電子的不同狀態(tài)自由電子的E和k的關(guān)系曲線，呈拋物線形狀。由于波矢k的連續(xù)變化，自由電子的能量是連續(xù)能譜，從零到無限大的所有能量值都是允許的。

2023/8/12K空間能帶圖波矢k可用以描述自由電子的運動狀態(tài)，不同的k值標(biāo)K空間能帶圖2023/8/12令近自由電子近似將電子看成是位于勢阱中的近自由電子，而把周期性勢場作為微擾，這樣對于一維情況得到克龍尼克方程：K空間能帶圖2023/8/1令近自由電子近似將電子看成K空間能帶圖很據(jù)上一頁的圖得到粒子能量E對應(yīng)波數(shù)k的函數(shù)圖形：在處，由于簡并微擾，能帶分裂，形成一系列的禁帶、允帶，又由于周期性邊界條件玻恩一卡爾曼條件，k只能取一些不連續(xù)的點（k取值數(shù)與原子總數(shù)N有關(guān)），這樣晶體中的電子只能處在允帶中的一系列能級上。2023/8/12K空間能帶圖很據(jù)上一頁的圖得到粒子能量E對應(yīng)波數(shù)k的函數(shù)圖形K空間能帶圖2023/8/12E-k關(guān)系圖K空間能帶圖2023/8/1E-k關(guān)系圖K空間能帶圖2023/8/12E-k/2π關(guān)系圖K空間能帶圖2023/8/1E-k/2π關(guān)系圖K空間能帶圖（1）當(dāng)k=2nπ/a（n=±1/2，±2/2…)時，能量不連續(xù)，形成一系列相間的允帶和禁帶。允帶的k值位于下列幾個稱為布里淵區(qū)的區(qū)域中第一布里淵區(qū)－π/a<k<π/a第二布里淵區(qū)－2π/a<k<-π/a，π/a<k<π/a第三布里淵區(qū)－3π/a<k<-2π/a，2π/a<k<3π/a……第一布里淵區(qū)稱為簡約布里淵區(qū)，相應(yīng)的波矢稱為簡約波矢.

（2）E(k)=E(k+2nπ/a)，即E(k)是k的周期性函數(shù)，周期為2π/a。因此在考慮能帶結(jié)構(gòu)時只需考慮－π/a<k<π/a的第一布里淵區(qū)就可以了。推廣到二維和三維情況：二維晶體的第一布里淵區(qū)－π/a<(kx,ky)<π/a三維晶體的第一布里淵區(qū)－π/a<(kx,ky,kz)<π/a（3）禁帶出現(xiàn)在k=2nπ/a處，也就是在布里淵區(qū)的邊界上。（4）每一個布里淵區(qū)對應(yīng)一個能帶。2023/8/12K空間能帶圖（1）當(dāng)k=2nπ/a（n=±1/2，±2/Thanks！Thanks！雜化同一個原子（例如C原子）的能量相近的各個原子軌道平均混合成一組新的原子軌道的過程。雜化后的一組新軌道（仍是原子軌道），叫做“雜化軌道”。雜化的原因降低體系能量使之更加穩(wěn)定。能量相近的幾個軌道結(jié)合在一起形成一種新的軌道以增強(qiáng)成鍵能力,使之更穩(wěn)定。sp3雜化

一個s軌道和三個p軌道雜化成四個sp3雜化軌道.