初等解析函數(shù)和多值函數(shù)課件

§2.3初等解析函數(shù)和多值函數(shù)1、初等單值函數(shù)(1)冪函數(shù)冪函數(shù)在復(fù)平面上處處解析，同時可以證明多項式函數(shù)：也處處解析。而有理函數(shù)：除了點外解析。(2)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：(i)§2.3初等解析函數(shù)和多值函數(shù)1、初等單值函數(shù)(1)(ii)對于實數(shù)z=x來說，復(fù)數(shù)域中的指數(shù)定義與實數(shù)域中的定義一致。

(iii)

(iv)指數(shù)函數(shù)處處解析，且：

(v)

(vi)不存在。證明：(iv)(ii)對于實數(shù)z=x來說，復(fù)數(shù)域中的指(3)三角函數(shù)性質(zhì)：(i)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)處處解析，且：(ii)正弦函數(shù)為奇函數(shù)和余弦函數(shù)為偶函數(shù)，并遵循三角公式：(iii)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)以2

為周期；

(iv)sinz=0，則

cosz=0，則(3)三角函數(shù)性質(zhì)：(i)正弦函數(shù)和(v)在復(fù)數(shù)域中，不能判定證明：(ii)

(v)在復(fù)數(shù)域中，不能判定證明：(ii)2、初等多值函數(shù)(I)根式函數(shù)：根式函數(shù)的多值性例如：很顯然，w與z的模一一對應(yīng)，但幅角卻不然，w的幅角有三個不同的值與z的幅角對應(yīng)：顯然，對于同一個z值，有三個w與之對應(yīng)，且三個值的幅角相差2/3。2、初等多值函數(shù)(I)根式函數(shù)：根式函數(shù)的多值性很顯然若規(guī)定，w只在I區(qū)域取值，則z的值域與w的I區(qū)域就建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系。而對于其反函數(shù)z=w3來說，在區(qū)域I，不同的w值對應(yīng)于z平面上不同的z值，這樣的區(qū)域I(0<Arg(w)<2/3)，稱為z=w3的單葉性區(qū)域。同理，區(qū)域II和III也是z=w3的單葉區(qū)域，三個單葉區(qū)域再加上相鄰處的端邊稱為根式函數(shù)的三個單值分支。若規(guī)定，w只在I區(qū)域取值，則z的值域與w的I區(qū)域就建立起

(II)支點如圖，在平面上任選一點z(r,

)，則利用第一個單值分支得：若讓z(r,

)按逆時針方向沿一閉合曲線連續(xù)變化，若曲線不包括原點，則連續(xù)改變的幅角回到原來的值，而w的值也回到w1。但如果曲線包含原點，則旋轉(zhuǎn)一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：我們稱z=0為的支點。(II)支點如圖，在平面上任選一點z(r,)，若讓定義(支點)：若z繞某點旋轉(zhuǎn)一周回到初始點，多值函數(shù)w=f(z)由一個分支變到另外一個分支，我們稱這樣的點為多值函數(shù)的支點。對于根式函數(shù)來說，原點和無窮遠(yuǎn)點是其兩個支點。

(III)支割線連接支點z=0和z=的任意一條射線，稱為支割線。支割線將z平面割開，并規(guī)定z連續(xù)變化時不得跨越支割線，這就使得割開的z平面上任意閉合曲線都不包括原點，由此根式函數(shù)只在一個單值分支上取值。注：把一個多值函數(shù)劃分為單值分支與支割線的選取密切相關(guān)，不同的支割線選取方式使得單值分支的區(qū)域定義也不相同。定義(支點)：若z繞某點旋轉(zhuǎn)一周回到初始點，多值函數(shù)w=f((IV)對數(shù)函數(shù)：顯然：很明顯，對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，一個z對應(yīng)有無數(shù)個w，彼此的虛部差2的整數(shù)倍。若限定-

<Arg(z)<

很明顯，即-

<v(x,y)<，則z的對數(shù)只有一個取值，我們稱之為ln(z)的主值支，記做：ln(z)。所以：顯然：(IV)對數(shù)函數(shù)：顯然：很明顯，對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，一個如在w平面上用平行于實軸的直線畫出一個寬為2的條帶，例如圖中的I，則z與w為一一對應(yīng)的關(guān)系。I為z=ew的單葉性區(qū)域。同樣，對數(shù)函數(shù)也存在兩個支點：z=0和z=。兩個支點間的任意連線就構(gòu)成了支割線。支割線映射為w平面上的單值分支之間的端線：而這無窮多個單值函數(shù)皆是解析函數(shù)。證明：如在w平面上用平行于實軸同樣，對數(shù)函數(shù)也存在兩個而這無窮多個考慮極限：所以：考慮極限：所以：對數(shù)運(yùn)算法則：證明：對數(shù)運(yùn)算法則：證明：例1：若a>0，計算Ln(-a).解：而：所以：例2：計算Ln(i).解：因為：所以：例3：計算ii。解：所以：因為：例1：若a>0，計算Ln(-a).解：而：所以：例2：計算L(III)反三角函數(shù)：由于：