常微分方程初值問題數(shù)值解法

常微分方程初值問題數(shù)值解法第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章常微分方程初值問題數(shù)值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/

許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型是微分方程或微分方程的初值問題,如物體運(yùn)動(dòng),電路震蕩,化學(xué)反映及生物群體的變化等。能用解析方法求出精確解的微分方程為數(shù)不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表達(dá)式非常復(fù)雜而不易計(jì)算,因此有必要研究微分方程的數(shù)值解法。第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月《常微分方程》中介紹的微分方程主要有:(1)變量可分離的方程(2)一階線性微分方程(貝努利方程)(3)可降階的一類高階方程(4)二階常系數(shù)齊次微分方程(5)二階常系數(shù)非齊次微分方程(6)全微分方程本章主要介紹一階常微分方程初值問題的數(shù)值解法。第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月③圖形解xyo①簡單的微分方程②復(fù)雜、大型的微分方程①解析解

y=f(x)②數(shù)值解(xi,yi)歐拉方法改進(jìn)歐拉方法梯形法龍格-庫塔法第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

初值問題及其數(shù)值解的概念§1引言常用的一些解析解法：常數(shù)變易法、Lapalace變換等分離變量法、變量代換、一階常微分方程初值問題：第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于初值問題，如果在下列區(qū)域內(nèi)連續(xù)：（解的存在唯一性）且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使則初值問題存在唯一解，且解是連續(xù)可微的。所謂數(shù)值解是指：在解的存在區(qū)間上取一系列點(diǎn)逐個(gè)求出的近似值等距節(jié)點(diǎn)：步長第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

初值問題的解析解及其數(shù)值解的幾何意義：初值問題的解表示過點(diǎn)的一條曲線初值問題的數(shù)值解表示一組離散點(diǎn)列可用擬合方法求該組數(shù)據(jù)的近似曲線積分曲線第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月建立微分方程數(shù)值解法,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方法:(1)用差商近似導(dǎo)數(shù)

建立數(shù)值解法的常用方法第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)用數(shù)值積分近似積分實(shí)際上是矩形法寬高第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)用Taylor多項(xiàng)式近似并可估計(jì)誤差第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月§2簡單的數(shù)值方法

Euler方法的基本原理將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開略去項(xiàng)：然后用代替，即得稱上述公式為向前Euler公式。一、Euler方法第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月若將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開略去項(xiàng)：然后用代替，即得稱上述公式為向后Euler公式。向后Euler公式為隱式格式，需要利用迭代法求解第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

Euler方法的幾何意義第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Y=y(x)ab第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解：向前Euler公式：例1：分別利用向前和向后Euler方法求解初值問題的數(shù)值解（取步長為）向后Euler公式：第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月具體計(jì)算結(jié)果:第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月利用數(shù)值積分將微分方程離散化得梯形公式:解決方法：有的可化為顯格式，但有的不行梯形方法為隱式算法二、改進(jìn)的Euler方法第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月梯形公式比Euler法精度高一些,但計(jì)算量較大

實(shí)際計(jì)算中只迭代一次，這樣建立的預(yù)測—校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的Euler公式。第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例解第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Euler近似解精確解01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改進(jìn)Euler近似解結(jié)果比較第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三、常微分方程數(shù)值解法的穩(wěn)定性設(shè)一個(gè)數(shù)值方法以定步長求解實(shí)驗(yàn)方程得到線性差分方程的解。當(dāng)時(shí)，若，則稱該方法對(duì)步長為絕對(duì)穩(wěn)定的；否則稱為不穩(wěn)定的。將數(shù)值方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程，若對(duì)一切都是絕對(duì)穩(wěn)定的，則稱區(qū)域?yàn)樵摲椒ǖ慕^對(duì)穩(wěn)定域。上述定義表明，若數(shù)值方法可使任何一步產(chǎn)生的誤差在后面的計(jì)算中都能逐步削弱，則該方法為絕對(duì)穩(wěn)定。第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，對(duì)于向前Euler法：將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程當(dāng)時(shí)，誤差將逐步減弱，故此時(shí)方法穩(wěn)定。向前Euler法絕對(duì)穩(wěn)定域：當(dāng)因有誤差變?yōu)闀r(shí)，則有第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月四、單步方法的局部誤差和階單步法的一般形式隱式單步法通常稱為增量函數(shù)顯式單步法稱為某方法在點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差設(shè)是準(zhǔn)確的，用某種方法計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱為該方法的局部截?cái)嗾`差，即(單步法：在計(jì)算yn+1時(shí)只利用yn)第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為自然數(shù)，則稱該方法是階的或具有階精度。如果給定方法的局部截?cái)嗾`差為如果一個(gè)階單步方法的局部截?cái)嗾`差為則稱為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。如向前Euler方法的局部截?cái)嗾`差一階方法第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

Euler方法的誤差分析對(duì)初值問題中的微分方程兩端在區(qū)間上積分如果用左矩形公式計(jì)算右端積分，并令其中上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。其局部截?cái)嗾`差為第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)關(guān)于和均滿足Lipschitz條件，即和第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月其中而整體截?cái)嗾`差為第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月{注意到第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于初值問題，如果關(guān)于滿足（向前Euler方法的整體截?cái)嗾`差）Lipschitz條件，為對(duì)應(yīng)的Lipschitz常數(shù)，當(dāng)時(shí)，向前Euler方法的數(shù)值解一致收斂于初值問題的精確解，且整體截?cái)嗾`差滿足估計(jì)式如果，Euler方法的整體截?cái)嗾`差為第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、Runge-Kutta方法的基本思想§3龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法顯式單步法的一般形式：R-K方法是利用一些點(diǎn)的線性組合構(gòu)造增量函數(shù)，使得相應(yīng)方法的局部截?cái)嗾`差的階數(shù)盡可能高。

二階Runge-Kutta方法確定參數(shù)，使得與在點(diǎn)的Taylor展開式有盡可能多的相同項(xiàng)。第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月比較兩式的相同項(xiàng)得方程組有無窮多解第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月若取其一組解則得到改進(jìn)的Euler公式（二階方法）若取其另一組解則得到二階的Heun（休恩）公式。第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、顯式Runge-Kutta方法及其穩(wěn)定性和設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，代表使用函數(shù)值的個(gè)數(shù)，是一些特定的權(quán)因子（均為實(shí)數(shù)），則稱下列方法（公式）為初值問題的m級(jí)顯式Runge–Kutta公式，其中第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月類似前面的處理方法，可以得到四級(jí)方法：m=4局部截?cái)嗾`差最常用的一種四階方法：經(jīng)典顯式Runge-Kutta公式第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例2：用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法求解下列初值問題。經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式：第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月注：

對(duì)于顯式N級(jí)R-K方法，最多只能得到N階方法。

上述方法的缺陷：計(jì)算非常復(fù)雜。

可通過積分方法確定參數(shù)。例2：確定如下三級(jí)三階顯式Runge-Kutta公式中的參數(shù)：解：對(duì)微分方程兩邊積分得第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月采用Simpson公式計(jì)算上式右端積分項(xiàng)可設(shè)參數(shù)則有選擇剩余參數(shù)，使得第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月取第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月取利用Taylor展開式第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月代入當(dāng)時(shí)，第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：求經(jīng)典四階的R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。解：第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月其絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)槿?、隱式Runge-Kutta方法m級(jí)隱式R–K方法的一般形式其中系數(shù)的確定方法同顯式R–K方法完全類似第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)一級(jí)二階的隱式中點(diǎn)方法：(2)二級(jí)四階的隱式R-K方法：N級(jí)隱式R-K法可以達(dá)到2N階缺陷：需要求解非線性方程（組）第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、k步線性多步法§4線性多步法/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所謂的線性多步法，指的是某一步解的公式不僅與前一步的值有關(guān)，而且與前面若干步解的值有關(guān)的方法。對(duì)初值問題兩邊積分得第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月將換為節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造的k+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步顯式公式第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月其中記若函數(shù)值已知，則得r+1步顯式方法第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月如時(shí)，可得二步顯式阿達(dá)姆斯（Adams）格式其中第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

Adams顯式公式的局部截?cái)嗾`差：由Lagrange插值余項(xiàng)知其中（第二積分中值定理）k階方法第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造的k+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步隱式公式第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月其中記則得到r+1步q+1階的隱式方法如時(shí)，可得二步隱式阿達(dá)姆斯（Adams）格式梯形公式第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

常用的一種預(yù)測-校正公式：四階Adams預(yù)測-校正公式：（顯式）（隱式）初始迭代值由4階R-K方法計(jì)算第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例4：用Adams預(yù)測-校正公式求解下列初值問題。解：Adams預(yù)測-校正公式：第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月R-K方法Adams預(yù)-校法

精確解011.00000000000.11.0954461.09544511530.21.183217131.2649121.26491106400.41.34164135711.34164078640.51.41421383341.41421356230.61.48323982421.48323969740.71.54919338041.54919333840.81.61245153641.61245154960.91.67331999931.67332005301.01.73205071981.7320508075第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月§5一階方程組與高階方程的數(shù)值解法一、一階微分方程組初值問題的一般形式初始條件:第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成向量的形式:第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

n=2對(duì)應(yīng)的Runge-K