初二數(shù)學全等三角形證明經(jīng)典例題

初二數(shù)學全等三角形證明經(jīng)典例題1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數(shù)，求AD。已知三角形ABC中，D為BC中點，則BD=CD，根據(jù)勾股定理可得：AB2=AC2+BC242=22+BC2BC2=14BC=√14又因為D為BC中點，所以BD=CD=√14/2根據(jù)勾股定理可得：AD2=AB2-BD2AD2=42-(√14/2)2AD2=12AD=√12=2√3因為AD為整數(shù)，所以AD=2√3。2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點，求證：∠1=∠2。連接BF，EF，因為F為CD中點，所以FD=FC，DE=BC，∠B=∠E，∠C=∠D。所以三角形BCF和DEF全等，∠1=∠2。3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC。連接CF，因為∠1=∠2，CD=DE，所以三角形CDE和DEF全等。所以∠D=∠C，∠E=∠F，EF//AB，所以三角形ABC和AEF全等。所以AC=EF。4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C。連接BD，因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，所以∠BAC=2∠BAD。所以∠BAC=2∠BAD=2∠BDC，所以∠BDC=∠BAD。又因為AC=AB+BD，所以AC=CD+BD，所以BD=AC-CD。所以∠BDC=∠BAC/2=∠BAD=∠BDA。所以三角形BDC和ABD全等，所以∠B=2∠C。5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。連接CD，因為AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，所以∠BAC+∠CAD=180°。所以ABCD為四邊形，所以∠BCD=∠BAD/2。因為CE⊥AB，所以∠ECB=∠ACB。所以∠BCE=∠ABC-∠ACB=∠BAD/2=∠BCD。所以三角形BCE和BCD全等，所以BE=CD。所以AE=AD+DE=AD+BE。6、已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數(shù)，求AD。同第1題。7、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C。同第4題。8、如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。連接AE，因為AB∥DC，所以∠ABC=∠CDA。所以∠ABE=∠BCD/2，∠BCE=∠ABC/2。所以∠ABE+∠BCE=∠BCD/2+∠ABC/2=∠BAC/2。所以∠AEB=∠BAC/2，所以AD平分∠BAC。又因為BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，所以∠AEB=∠BEC，所以∠BEC=∠BAC/2。所以三角形BEC和ABC全等，所以BC=AB，所以BC=AB+DC。9、已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠C。連接AC，BD，因為AB=CD，∠A=∠D，所以三角形ABD和CDA全等。所以∠B=∠C。10、P是∠BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB。連接PC，PB，因為P是∠BAC平分線，所以∠PAB=∠PAC。所以三角形PAB和PAC全等，所以PA=PC，PB=AB。所以PC-PB=PA-AB<AC-AB。11、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE。連接BC，因為∠ABC=3∠C，所以∠CAB=180°/4=45°，所以∠BAC=135°。所以∠1=∠2=135°-∠C，所以∠BEC=∠C。所以三角形BEC和ABD相似，所以BE/AB=CE/BD。又因為BE⊥AE，所以∠BEA=90°-∠BEC=90°-∠C。所以∠BAE=∠C，所以三角形ABE和ACD相似，所以BE/AC=AB/AD。所以BE/AB=CE/BD=BE/(AC-AD)，所以AC-AB=2BE。12、已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC。連接AD，因為E是AB中點，所以AE=EB=BD/2=2.5。因為AF=BD，所以∠ABF=∠CBD，所以三角形ABF和CBD相似。所以AB/BC=BF/BD=AF/CD，所以CD=AF*BC/AB=5*7/5=7。13、如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC。連接AD，因為BD=DC，所以∠BDC=∠BCD，所以∠B+∠C=180°/2=90°。因為∠1=∠2，所以∠BAD=∠CAD，所以AD平分∠BAC。所以三角形ABD和ACD全等，所以AD=BD=CD，所以AD⊥BC。14、如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點N。求證：∠OAB=∠OBA。連接OB，OA，因為OM平分∠POQ，所以∠AOM=∠BOM。所以三角形AOM和BOM相似，所以∠OAB=∠OBA。15、如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D。求證：AD+BC=AB。連接BD，因為AD∥BC，所以∠BDC=∠ACB，所以∠BDE=∠ACE。所以三角形BDE和ACE相似，所以BD/AC=DE/CE。又因為∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，所以∠EAB=∠ECB。所以三角形AEB和CEB相似，所以AB/BC=AE/CE。所以AB/BC=AD/DC，所以AB=AD+BC。16．已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點，（1）求證：△AED≌△EBC。連接BD，因為DC∥AB，所以∠BDC=∠ABC，所以∠AED=∠EBC。又因為DC=AE，所以三角形AED和BEC相似，所以AED≌EBC。（2）在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形。由（1）可知，△AED≌△EBC，所以它們的面積相等。又因為DC∥AB，所以△BED和△ABC相似，所以它們的面積比為1:4。又因為E是AB的中點，所以△AEB和△DEC相似，所以它們的面積比為1:4。所以△AED、△BED和△AEB的面積相等。17．如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F。求證：BD=2CE。連接DE，因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°。所以∠CBD=∠ABC/2=22.5°，所以∠DBE=90°-∠CBD=67.5°。又因為∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，所以∠ACB=45°。所以∠BCE=∠ABC-∠ACB=0.5°。所以∠BEF=∠BCE=0.5°，所以∠BFE=90°-∠BEF=89.5°。所以∠BDE=∠BFE，所以三角形BDE和BFE相似，所以BD/BE=BE/BF。又因為BD是∠ABC的平分線，所以∠ABD=∠CBD=22.5°。所以∠AEB=∠ABD+∠BDE=22.5°+67.5°=90°，所以AE⊥BE。所以三角形AEB和FEB相似，所以AE/FE=BE/EF。又因為CE⊥EF，所以CE/EF=BE/BF。所以CE/EF=BD/BE=BE/BF，所以CE=EF2/BE=EF2/BD。又因為CE+EF=CF，所以CE+EF=AC=2AB。所以EF=2AB-CE，所以CE=(EF2+BD2)/(2EF)=(4AB2-BD2)/(4AB-2CE)。所以CE=BD/2。18、已知DF=CE，AD=BC，∠D=∠C，證明△AED≌△BFC。19、已知AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BE∥CF，BE=CF，證明AM是△ABC的中線。20、已知在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點，證明BD⊥AC。21、已知AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點，證明BF=CF。22、已知AB=CD，AE=DF，CE=FB，證明AF=DE。23、公園里有一條“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點，證明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上。24．已知點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，證明△ABE≌△CDF。25.已知AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，證明AE＝AF。26．在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，證明∠5=∠6。29．已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，證明（1）EC=BF；（2）EC⊥BF。30．已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，證明AB與AC+BD相等。31、已知AD是BC上的中線,且DF=DE，證明BE∥CF。32、已知AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DEBF，證明AB∥CD。33、已知∠1=∠2，∠3=∠4，證明AB=CD。34、已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，證明AE＝DE。題目：在等腰直角三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：∠ADC＝∠BDE．解法：1、連接DE，延長AD到E，使AD=DE。由于D是BC中點，所以BD=DC。因此，在△ACD和△BDE中，AD=DE，BD=DC，∠BDE=∠ADC，所以△ACD≌△BDE，AC=BE=2。2、連接BF和EF。由于BC=ED，CF=DF，∠BCF=∠EDF，所以三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。因此，BF=EF，∠CBF=∠DEF。連接BE，在三角形BEF中，BF=EF，所以∠EBF=∠BEF。由于∠ABC=∠AED，所以∠ABE=∠AEB，所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE，BF=EF，∠ABF=∠AEF，所以三角形ABF和三角形AEF全等。因此，∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。3、過C作CG∥EF交AD的延長線于點G。由于CG∥EF，所以∠EFD=CGD。由于DE=DC，所以∠FDE=∠GDC（對頂角）。因此，△EFD≌△CGD，EF=CG，∠CGD=∠2，所以△AGC為等腰三角形，AC=CG。又因為EF=CG，所以EF=AC。4、延長AB取點E，使AE=AC，連接DE。由于AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠CAD。由于AE=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD（SAS）。因此，∠E=∠C。由于AC=AB+BD，所以AE=AB+BD。由于AE=AB+BE，所以BD=BE。因此，∠BDE=∠E。由于∠ABC=∠E+∠BDE，所以∠ABC=2∠E，所以∠ABC=2∠C。5、在AE上取F，使EF=EB，連接CF。由于CE⊥AB，所以∠CEB=∠CEF=90°。由于EB=EF，CE=CE，所以△CEB≌△CEF。因此，∠B=∠CFE。由于∠B+∠D=180°，所以∠CFE+∠CFA=180°，所以∠D=∠CFA。由于AC平分∠BAD，所以∠DAC=∠FAC。由于AC=AC，所以△ADC≌△AFC（SAS）。因此，AD=AF。由于AE=AF+FE=AD+BE。6、解：將AD延長至E點，使得AD=DE。因為D是BC中點，所以BD=DC。在△ACD和△BDE中，因為AD=DE且∠BDE=∠ADC，BD=DC，所以△ACD≌△BDE。因此，AC=BE=2。在△ABE中，由三角不等式可得AB-BE＜AE＜AB+BE。因為AB=4，所以4-2＜2AD＜4+2，即1＜AD＜3。因此，AD=2。7、證明：將AB延長至E點，使AE=AC。連接DE。因為AD平分∠BAC，所以∠EAD＝∠CAD。因為AE=AC且AD=AD，所以△AED≌△ACD（SAS）。因此，∠E＝∠C。因為AC=AB+BD，所以AE=AB+BD。而AE=AB+BE，所以BD=BE。因此，∠BDE＝∠E。因為∠ABC＝∠E+∠BDE，所以∠ABC＝2∠E。因此，∠ABC＝2∠C。8、證明：在BC上截取BF=AB，連接EF。因為BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠FBE。因為BE=BE，所以△ABE≌△FBE（SAS）。因此，∠A=∠BFE。因為AB//CD，所以∠A+∠D=180o。因為∠BFE+∠CFE=180o，所以∠D=∠CFE。因為∠DCE=∠FCE，CE平分∠BCD，且CE=CE，所以△DCE≌△FCE（AAS）。因此，CD=CF。因為BC=BF+CF=AB+CD，所以BC=AB+CD。9、證明：設(shè)線段AB、CD所在的直線交于E點。當AD<BC時，E點是射線BA、CD的交點；當AD>BC時，E點是射線AB、DC的交點。因為△AED是等腰三角形，所以AE=DE。而因為AB=CD，所以BE=CE。因此，△BEC是等腰三角形，所以∠B=∠C。10、證明：在AC上取點E，使AE＝AB。因為AE＝AB，AP＝AP，且∠EAP＝∠BAE，所以△EAP≌△BAP。因此，PE＝PB。因為PC＜EC＋PE，所以PC＜（AC－AE）＋PB。因此，PC－PB＜AC－AB。11、證明：將BE延長至AC交點為D。利用全等可證AB=AD。因為∠ABC=3∠C，利用三角形外角定理可證△BDC是等腰三角形。因此，AC-AB=2BE。12、解：作AG∥BD交DE延長線于G。因為AGE全等BDE，所以AG=BD=5。因為AF=BD，所以AF=AG=5。因此，DC=CF=2。13、解：將AD延長至BC交點為E。因為BD=DC，所以△BDC是等腰三角形，因此∠DBC=∠DCB。又因為∠1=∠2，所以∠DBC+∠1=∠DCB+∠2，即∠ABC=∠ACB。因此，△ABC是等腰三角形。在△ABD和△ACD中，有AB=AC且∠1=∠2，BD=DC。14、由已知條件可得，OM平分∠POQ，且MA⊥OP，MB⊥OQ。因此，OM=OM，OA=OB，ON=ON，且∠POM=∠QOM。根據(jù)AAS和SAS兩種全等三角形的判定方法，可得△AOM≌△BOM和△AON≌△BON。因此，∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB=90°，且OM⊥AB。15、根據(jù)已知條件，可得PA//BC，且AE和BE分別是∠PAB和∠CBA的角平分線。因此，∠EAB+∠EBA=90°，且∠PAB+∠CBA=180°。由此可得∠AEB=90°，并且三角形ABF為等腰三角形，AB=AF。又因為AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線，因此三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BC，AB=AD+DF=AD+BC。16、由已知條件可得DC∥AB，且E為AB的中點。因此，AE=BE，DE=EC，DC=AE。根據(jù)SAS三角形的判定方法，可得△AED≌△EDC。同理，由CE=BE，DE=CF，且∠CDE=∠AED，可得△AED≌△EBC。17、由已知條件可得∠CEB=∠CAB=90°，且ABCE四點共元。因此，AE=CE，且∠ECA=∠EAC。連接BD的中點G，可得AG=BG=DG。由同弧上的圓周角相等可得∠ECA=∠GBA，因此∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB。由AC=AB和△AEC≌△AGB可得EC=BG=DG，因此BE=2CE。18、由已知條件可得DF=CE，即DF-EF=CE-EF，即DE=CF。因此，AD=BC，∠D=∠C，DE=CF，根據(jù)SAS三角形的判定方法，可得△AED≌△BFC。19、由已知條件可得BE‖CF，因此∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM，BE=CF。根據(jù)SAS三角形的判定方法，可得△BEM≌△CFM，因此BM=CM。又因為M是AC的中點，因此AM是△ABC的中線。20、由已知條件可得△ABD和△BCD的三條邊都相等，因此△ABD=△BCD。因此，∠ADB=∠CD，且∠ADB=∠CDB=90°，因此BD⊥AC。21、根據(jù)題目所給條件，可以得到AB=AC，BD=DC，AD=AD，因此根據(jù)SSS準則，可以得到△ABD≌△ACD。由此可得∠ADB=∠ADC。又因為BD=DC，∠BDF=∠FDC，DF=DF，根據(jù)SSS準則，可以得到△FBD≌△FCD，因此BF=FC。22、根據(jù)題目所給條件，可以得到AB=DCAE=DF，CE=FB，CE+EF=EF+FB。因此根據(jù)SSS準則，可以得到△ABE≌△CDF。又因為∠DCB=∠ABF，AB=DC，BF=CE，根據(jù)SSS準則，可以得到△ABF≌△CDE，因此AF=DE。23、由于AB∥CD，因此∠B=∠C。又因為M是BC的中點，所以BM=CM。由此可得BE=CF，根據(jù)SAS準則，可以得到△BEM≌△CFM，因此CF=BE。24、根據(jù)題目所給條件，可以得到AF=CE，F(xiàn)E=EF，因此AE=CF。又因為DF//BE，因此∠AEB=∠CFD。由于BE=DF，根據(jù)SAS準則，可以得到△ABE≌△CDF，因此AB=CD。25、連接AC，根據(jù)題目所給條件，可以得到△ADC≌△ABC。又因為AD=AE，AB=AF，根據(jù)SAS準則，可以得到△ADE≌△ABF，因此DE=BF。26、根據(jù)題目所給條件，可以得到AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，因此根據(jù)AAS準則，可以得到△ADC≌△ABC。又因為AB=AD，BC=CD，∠BCA=∠DCA，CE=CE，根據(jù)AAS準則，可以得到△DEC≌△BEC，因此∠DEC=∠BEC。27、由于BD⊥AC，CE⊥AB，因此∠BDC=∠BEC=90°。又因為AB=AC，因此∠DCB=∠EBC，BC=BC，根據(jù)AAS準則，可以得到Rt△BDC≌Rt△BEC，因此BE=CD。28、根據(jù)題目所給條件，可以得到∠EAD=∠FAD，DE⊥AB，DF⊥AC，∠BFD=∠CFD=90°。因此根據(jù)AAS準則，可以得到△AED≌△AFD，因此AE=AF。又因為∠EAO=∠FAO，AO=AO，AE=AF，根據(jù)SAS準則，可以得到△AEO≌△AFO，因此∠AOE=∠AOF=90°，因此AD⊥EF。29、由于AE⊥AB，AF⊥AC，因此∠BAE=∠CAF=90°，∠EAC=∠BAF。又因為AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，根據(jù)SAS準則，可以得到△ABF≌△AEC，因此EC=BF。2、根據(jù)圖示，由于△ABF≌△AEC（1），因此∠AEC=∠ABF。由AE⊥AB可知∠BAE=90°，再由∠AEC+∠ADE=90°和∠ADE=∠BDM（對頂角相等）可得∠ABF