人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

第三章空間向量與立體幾何第三章3.1空間向量及其運(yùn)算3．1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.1空間向量及其運(yùn)算1.了解空間向量的正交分解的含義．2．掌握空間向量的基本定理，并能用空間向量基本定理解決一些簡單問題．3．掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo).1.了解空間向量的正交分解的含義．人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示新

知

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界1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.新知視界2．基底的概念如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么空間所有向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}這個(gè)集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．a(chǎn)、b、c叫做基向量．空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．2．基底的概念人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量，我們稱它們?yōu)閱挝徽换?，以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.那么，對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，3．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2．向量可以平移，向量p在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)惟一嗎？提示：惟一．在空間直角坐標(biāo)系中，向量平移后，其正交分解不變，故其坐標(biāo)也不變．2．向量可以平移，向量p在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)惟一嗎？嘗試應(yīng)用1．設(shè)命題p：a，b，c是三個(gè)非零向量；命題q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則命題p是命題q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件嘗試應(yīng)用解析：當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量．答案：B解析：當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底2．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以和向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是()A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)＋2bD．a(chǎn)＋2c2．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以和向量p＝a＋答案：D答案：D3．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是________．解析：∵i，j，k是單位正交基底，故根據(jù)空間向量坐標(biāo)的概念知a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)．答案：(3,2，－1)，(－2,4,2)3．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示解析：如圖1，G為△ABC重心，E為AB中點(diǎn)，解析：如圖1，G為△ABC重心，E為AB中點(diǎn)，答案：3答案：3人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示典

例

精

析類型一基底的概念[例1]設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一組基底的向量組有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)典例精析[分析]能否作為空間的一組基底，即是判斷給出的向量組中的三個(gè)向量是否共面，由于a，b，c是不共面向量，所以可以構(gòu)造圖形，利用平行六面體中從某一點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量與相應(yīng)面上的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量的關(guān)系直觀判斷．[分析]能否作為空間的一組基底，即是判斷給出的向量組中的三人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示[答案]

C[答案]C[點(diǎn)評(píng)](1)充分利用一些常見的幾何體，如：長方體、正方體、平行六面體、四面體等可以幫助我們進(jìn)行相關(guān)的判斷，利用向量計(jì)算來證明，一般選取適當(dāng)?shù)囊唤M基底，尋找關(guān)系，易得結(jié)果．(2)三個(gè)向量不共面是這三個(gè)向量構(gòu)成空間一組基底的充要條件．[點(diǎn)評(píng)](1)充分利用一些常見的幾何體，如：長方體、正方體遷移體驗(yàn)1已知a、b、c是不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成一組基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－cD．c，a＋c，a－c解析：因?yàn)閍，b，c不共面，易知a,2b，b－c不共面．故應(yīng)選C.答案：C遷移體驗(yàn)1已知a、b、c是不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示[點(diǎn)評(píng)]在幾何體中，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，選擇公共起點(diǎn)最集中的向量中的三個(gè)不共面的向量作為基底，或選擇有公共起點(diǎn)且關(guān)系最明確(如夾角或線段長度)的三個(gè)不共面的向量作為基底，這樣更利于解題．[點(diǎn)評(píng)]在幾何體中，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，選擇公共起點(diǎn)最集中的向人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示答案：D答案：D人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示[分析]空間向量的坐標(biāo)源于向量的正交分解，如果把向量a寫成xi＋yj＋zk，則a的坐標(biāo)為(x，y，z)；還可利用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)．[分析]空間向量的坐標(biāo)源于向量的正交分解，如果把向量a寫成人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示[點(diǎn)評(píng)]用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運(yùn)算，關(guān)鍵之一是把相關(guān)的向量以坐標(biāo)形式表示出來．這里有兩個(gè)方面的問題：一是如何恰當(dāng)?shù)亟ㄏ?，一定要分析空間幾何體的構(gòu)造特征，選合適的點(diǎn)作原點(diǎn)、合適的直線和方向作坐標(biāo)軸，一般來說，有共同的原點(diǎn)，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就可以作為空間直角坐標(biāo)系．[點(diǎn)評(píng)]用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運(yùn)算，關(guān)鍵之一是把相關(guān)的向量以坐標(biāo)二是在給定的空間直角坐標(biāo)系中如何表示向量的坐標(biāo)，這里又有兩種方法，其一是運(yùn)用基底法，把空間向量進(jìn)行正交分解；其二是運(yùn)用投影法，求出起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)．二是在給定的空間直角坐標(biāo)系中如何表示向量的坐標(biāo)，這里又有兩種人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：3-1-4-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示思悟升華空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面的已知向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．我們?cè)谟眠x定的基向量表示指定的向量時(shí)．要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量，再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止．思