大學(xué)數(shù)學(xué)課件線性代數(shù)

隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.而概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.現(xiàn)在，我們將步入這充滿隨機性的世界，開始第一步的探索和研究.1.1隨機事件與樣本空間隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，從觀察試驗開始研究隨機現(xiàn)象，首先要對研究對象進(jìn)行觀察試驗.這里的試驗，指的是隨機試驗.從觀察試驗開始研究隨機現(xiàn)象，首先要對研如果每次試驗的可能結(jié)果不止一個，且事先不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，這樣的試驗稱為隨機試驗.1.1.1隨機試驗H

例如,

擲硬幣試驗擲一枚硬幣，觀察出正還是反.T擲骰子試驗擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.如果每次試驗的可能結(jié)果不止一個，且事先不能肯下面我們來為隨機試驗建立一個數(shù)學(xué)模型我們注意到試驗是在一定條件下進(jìn)行的試驗有一個需要觀察的目的根據(jù)這個目的,試驗被觀察到多個不同的結(jié)果.試驗的全部可能結(jié)果，是在試驗前就明確的；或者雖不能確切知道試驗的全部可能結(jié)果，但可知道它不超過某個范圍.而且，每次試驗的結(jié)果事先不可預(yù)言.下面我們來為隨機試驗建立一個數(shù)學(xué)模型我們注意到試驗是在一定條現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.1.1.2樣本空間與隨機事件我們把隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作e或ω.全體樣本點的集合稱為樣本空間.樣本空間用S或Ω表示.樣本點e.

S現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn).如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實數(shù)都是一個可能結(jié)果，S={t：t≥0｝故樣本空間如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負(fù)調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔.這時，樣本點有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個樣本點構(gòu)成.這時，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點構(gòu)成.調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)隨機事件：在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱事件.

在隨機試驗中，我們往往會關(guān)心某個或某些結(jié)果是否會出現(xiàn).這就是例如，在擲骰子試驗中，“擲出1點”“擲出2點”隨機事件：在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件基本事件復(fù)合事件（相對于觀察目的不可再分解的事件）（兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復(fù)合事件）事件B={擲出奇數(shù)點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).事件Ai

={擲出i點}

i=1,2,3,4,5,6事件基本事件復(fù)合事件（相對于觀察目的（兩個或一些基本事件并在兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗中必定發(fā)生的事件，常用S或Ω表示;

不件可事能即在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，常用φ表示.而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，即在試驗中必定

引入樣本空間后，隨機事件便可以表示為樣本空間的子集.例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)S={i：i=1,2,3,4,5,6｝樣本空間：事件B就是S的一個子集B={1,3,5｝B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點1，3，5中的某一個出現(xiàn).

引入樣本空間后，隨機事件便可以表示為樣本空1.1.3事件的關(guān)系與運算參見教材:P3—P4事件的包含與相等事件的和(或并)事件的積(或交)事件的差事件互不相容(或互斥)對立(或逆)事件1.1.3事件的關(guān)系與運算參見教材:P3—P4事件為了研究事件的關(guān)系與運算,引入事件的集合表示；按定義，樣本空間是隨機試驗的結(jié)果(樣本點)的全體，故樣本空間就是所有樣本點構(gòu)成的集合，每一樣本點是該集合的元素.一個事件是由具有該事件些可能結(jié)果所構(gòu)成，故一個事件是對應(yīng)于中具有相應(yīng)特征的樣本點(元素)構(gòu)成的集合，它所有可能所要求的特征的那為了研究事件的關(guān)系與運算,按定義，樣本空間是隨機試驗的結(jié)果(是的一個子集.于是，任何一個事件都可以用S的某一子集來表示，表示.某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點在試驗中出現(xiàn).若記為試驗中出現(xiàn)的樣本點，常用字母等則事件發(fā)生稱僅含一個樣本點的事件為基本事件；稱含有兩個或兩個以上樣本點的事件為復(fù)合事件.顯然，樣本空間作為事件是必然事件，作為一個事件是不可能事件.空集是的一個子集.于是，任何一個事件都可以用S的某一子集來表示1.事件B包含事件A或事件A包含于事件B或A是B的子事件，其含義：然導(dǎo)致事件發(fā)生.顯然2.(即且相等.3.{或}：與事件的和事件.4.{且}：稱為事件與事件的積事件.稱為事件稱為事件與事件事件發(fā)生必1.事件B包含事件A或事件A包含于事件B或A是B的子事件5.稱為事件與事件的差事件.例如，在拋擲骰子的試驗中，記事件“點數(shù)為奇數(shù)”，“點數(shù)小于5”.則{1，2，3，4，5}；{1，3}；{且}：=-BA6.若則稱事件與是互不相容的(或互斥的).5.稱為事件與事件的差事件.例如，在拋擲骰子的試驗中，記事件7.若且事件互為對立事件，為逆事件.的對立事件記為于是件或可數(shù)無限個事件的情形.注：事件的關(guān)系與運算可用維恩圖形象表之事件的和與積的運算可推廣到則稱事件與或事件與事件互(1)(2)有限個事事件的和與積的另一記法：(3)7.若且事件互為對立事件，為逆事件.的對立事件記為于是件或事件的和（并）、積（交）、差、對立事件及互不相容（互斥）事件的圖示：事件的和（并）、積（交）、差、對立事件及互不相容（互斥）事件８.完備事件組設(shè)是有限或可數(shù)個事件，滿足：若其則稱是一個完備事件組.顯然，與構(gòu)成一個完備事件組.８.完備事件組設(shè)是有限或可數(shù)個事件，滿足：若其則稱是一個完備9.事件的運算規(guī)律由集合的運算律，易給出事件間的運算律.設(shè)為同一隨機試驗中的事件，則有(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律9.事件的運算規(guī)律由集合的運算律，易給出事件間的運算律.設(shè)為(4)自反律(5)對偶律注：上述各運算律可推廣到件的情形.有限個或可數(shù)個事(4)自反律(5)對偶律注：上述各運算律可推廣到件的情形.有

對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于用數(shù)學(xué)符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.也就是說，要正確無誤地“互譯”出來.對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于

是A的對立事件，

={兩件產(chǎn)品不都是合格品}在概率論中，常常敘述為：={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，

例如，從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記問：是A的對立事件，={兩件產(chǎn)品不都是合格品}在概率論中={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}它又可寫為兩個互斥事件之和={兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品}{兩件產(chǎn)品中都是不合格品}={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}它又可寫為兩個互斥事件之

從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，若記Bi={取出的第i件是合格品}，i=1,2={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}

A=B1B2

問如何用Bi表示A和？從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A

互斥與互逆的區(qū)別：

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對立事件即A與B不可能同時發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

A+B=S互斥與互逆的區(qū)別：兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或

n個事件互斥與兩兩互斥：

若n個事件A1，A2，…，An中任意兩個事件都互斥,則稱這n個事件互斥.

所以，若n個事件互斥，則其中任意兩個事件都互斥.n個事件互斥與兩兩互斥：若n個事件A1.A發(fā)生,B與C不發(fā)生設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件.或2.A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生或1.A發(fā)生,B與C不發(fā)生設(shè)A、B、C為三個事件，用A、3.A、B、C中至少有一個發(fā)生A+B+C4.A、B、C都發(fā)生或ABC恰有1個發(fā)生恰有2個發(fā)生+ABC3個都發(fā)生3.A、B、C中至少有一個發(fā)生A+B+C4.A、B、C都5.A、B、C中至少有兩個發(fā)生

AB+BC+AC

或

6.A、B、C都不發(fā)生+ABC恰有2個發(fā)生3個都發(fā)生或5.A、B、C中至少有兩個發(fā)生AB+BC+AC或6.7.A、B、C中不多于一個發(fā)生恰有2個不發(fā)生3個都不發(fā)生或至少有2個不發(fā)生7.A、B、C中不多于一個發(fā)生恰有2個不發(fā)生3個都不發(fā)生或

8.A、B、C中不多于兩個發(fā)生或或至少有1個不發(fā)生注意:8.A、B、C中不多于兩個發(fā)生或或至少有1個不發(fā)生注意例1甲,乙,丙三人各射一次靶,記“甲種靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,則可用上述三個事件的運算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”:“甲中靶而乙未中靶”:“三人中只有丙未中靶”:“三人中恰好有一人中靶”:(5)(6)“三人中至少有一人中靶”:“三人中恰有兩人中靶”:或來分別表示下列各事件:例1甲,乙,丙三人各射一次靶,記“甲種靶”,“乙中靶”,“丙(9)(8)(7)“三人中至少有兩人未中靶”:“三人中均未中靶”:“三人中至多一人中靶”:(10)“三人中至多兩人中靶”:或注:用其它事件的運算來表示一個事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(10)實際上是同一事件,我們應(yīng)學(xué)會特別在解決具體問題時,往往要更具需要方法.(6)“三人中至少有一人未中靶”:或用不同方法表達(dá)同一事件,選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎?9)(8)(7)“三人中至少有兩人未中靶”:“三人中均未中例4指出下列各等式命題是否成立,并說明理由:(1)(2)(3)(4)解(1)成立.(分配律)(2)不成立.若發(fā)生,則必有發(fā)生,發(fā)生,必有不發(fā)生,從而不發(fā)生,故不成立.例4指出下列各等式命題是否成立,并說明理由:(1)(2)(3發(fā)生,即必然有發(fā)生.由于發(fā)生,故必然不發(fā)生,從而不發(fā)生,立.故(3)不成(4)成立.(3)(4)解(3)不成立.若發(fā)生,即發(fā)生且例4指出下列各等式命題是否成立,并說明理由:發(fā)生,即必然有發(fā)生.由于發(fā)生,故必然不發(fā)生,從而不