幾何概型的經(jīng)典題型及答案

幾何概型的經(jīng)典題型及答案幾何概型的常見題型及典例分析一、幾何概型的定義幾何概型是指每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。其特點(diǎn)是無限性和等可能性。計(jì)算公式為P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）。在計(jì)算概率時(shí)，需要構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng)的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行度量。與古典概型相比，幾何概型的基本事件是無限的，且概率計(jì)算公式的含義不同。二、常見題型1.與長度有關(guān)的幾何概型例1：在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，求cos(πx/2)的值介于1/2和3/2之間的概率。分析：在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件。由于每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量x的取值范圍的區(qū)間長度有關(guān)，符合幾何概型的條件。解：在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，即x∈[-1,1]時(shí)，要使cos(πx/2)的值介于1/2和3/2之間，需使-1/3≤x≤-1/5或1/5≤x≤1。區(qū)間長度為2/3+2/5=16/15。由幾何概型知，使cos的值介于1/2和3/2之間的概率為符合條件的區(qū)間長度1/15。因此，答案為A。例2：如圖，A、B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C、B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？思路點(diǎn)撥：從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型。解：記E為“A與C、B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×1/3=10米，因此E的幾何圖形為兩個(gè)長度為20米的矩形，而總的幾何圖形為長度為30米的矩形。因此，P(E)=20/30×20/30=4/9。因此，答案為4/9。我們可以將每個(gè)事件理解為在某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)。該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣。一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)。這樣的概率模型可以用幾何概型來求解。在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度不小于R的概率。我們可以利用平面幾何知識得知，垂直于弦的直徑平分這條弦。因此，題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點(diǎn)，它等可能地分布在于平行弦垂直的直徑上。樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域G是一維空間（即直線）上的線段MN，而有利場合所對應(yīng)的區(qū)域是長度不小于R的平行弦的中點(diǎn)KNN所在的區(qū)間。解法1：設(shè)EF與E1F1是長度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1。依題設(shè)條件，樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域是直徑MN，有L(G)=MN=2R。注意到弦的長度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場合所對應(yīng)的區(qū)域是KK1，有L(GA)=3R。以幾何概率公式得P=L(GA)/L(G)=3R^2/(2R^2)=3/2。解法2：如圖1-1所示，設(shè)園O的半徑為R，EF為諸平行弦中的任意一條，直徑MN垂直于弦EF，它們的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K就是弦EF的中點(diǎn)。設(shè)OK=x，則x∈[-R,R]，所以L(G)=2R。設(shè)事件A為“任意畫的弦的長度不小于R”，則A的有利場合是2R^2-X^2≥R。解不等式，得x≤√3R=3R。所以L(GA)=2√3R^2。于是P(A)=L(GA)/L(G)=2√3R^2/(2R^2)=√3。在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率。我們可以將線段AB看作數(shù)軸上的一條線段，點(diǎn)M在數(shù)軸上隨機(jī)取點(diǎn)。以線段AM為邊作正方形，則正方形的面積為AM^2。根據(jù)題意，AM的長度為[0,12]之間的任意實(shí)數(shù)。因此，樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域G是一維空間上的線段AB，而有利場合所對應(yīng)的區(qū)域是AM^2∈[36,81]。由于AM的長度為[0,12]之間的任意實(shí)數(shù)，因此G的長度為12。有利場合所對應(yīng)的面積區(qū)域是一個(gè)面積為81-36=45的正方形。因此，有利場合所對應(yīng)的區(qū)域GA的長度為√45=3√5。根據(jù)幾何概率公式，P(A)=L(GA)/L(G)=3√5/12。分析：本文主要介紹了幾何概型中長度類型和面積類型的概率計(jì)算方法，并通過幾個(gè)例子進(jìn)行了說明。其中第一個(gè)例子是關(guān)于在一條線段上隨機(jī)取點(diǎn)的概率計(jì)算，將正方形的面積問題轉(zhuǎn)化為與邊長的關(guān)系，第二個(gè)例子是關(guān)于乘客等車的概率計(jì)算，符合幾何概型中的長度類型，第三個(gè)例子是關(guān)于集合的概率計(jì)算，采用幾何概型中的概率公式。第四個(gè)例子是關(guān)于在長方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)的概率計(jì)算，符合幾何概型中的面積類型。通過這些例子可以更好地理解幾何概型中的概率計(jì)算方法。例1、如圖，平面直角坐標(biāo)系xoy中，單位圓O內(nèi)接于正方形ABCD，以O(shè)為圓心，以1為半徑作圓E，求隨機(jī)點(diǎn)P落在圓E內(nèi)的概率。解析：如圖，圓E的半徑為1，圓心為O，因此圓E的方程為x^2+y^2=1。正方形ABCD的邊長為2，中心為O，因此正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,±1)。由于單位圓內(nèi)接于正方形ABCD，因此單位圓的方程為x^2+y^2=1且滿足|x|≤1,|y|≤1。因此，隨機(jī)點(diǎn)P的坐標(biāo)必須滿足x^2+y^2≤1且|x|≤1,|y|≤1。這是一個(gè)在正方形ABCD內(nèi)的圓形區(qū)域，如圖所示?，F(xiàn)在要求隨機(jī)點(diǎn)P落在圓E內(nèi)的概率?？梢酝ㄟ^求面積之比來解決。首先，圓E的面積為πr^2=π，其中r=1為圓的半徑。其次，正方形ABCD的面積為2^2=4。因此，圓E在正方形ABCD內(nèi)的面積為π/4。因此，隨機(jī)點(diǎn)P落在圓E內(nèi)的概率為：P=P(P在圓E內(nèi))=圓E在正方形ABCD內(nèi)的面積/正方形ABCD的面積=π/4÷4=π/16。因此，隨機(jī)點(diǎn)P落在圓E內(nèi)的概率為π/16。例2、如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)。從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色。金色靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm。運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？解析：射中黃心的概率可以通過求面積之比來解決。首先，整個(gè)靶面的面積為πr^2=π×(122/2)^2=46662.44cm^2，其中r=122/2為靶面的半徑。其次，黃心的面積為πr^2=π×(12.2/2)^2=11.78cm^2，其中r=12.2/2為黃心的半徑。因此，射中黃心的概率為：P=P(射中黃心)=黃心的面積/整個(gè)靶面的面積=11.78/46662.44≈0.000252。因此，射中黃心的概率為約0.000252。例3、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為多少？解析：如圖，區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部。因此，隨機(jī)點(diǎn)P必須滿足|x|≤2,|y|≤2且x^2+y^2≤1。這是一個(gè)在正方形ABCD內(nèi)的圓形區(qū)域，如圖所示?，F(xiàn)在要求隨機(jī)點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率?？梢酝ㄟ^求面積之比來解決。首先，單位圓的面積為πr^2=π，其中r=1為圓的半徑。其次，正方形ABCD的面積為4×4=16。因此，區(qū)域E在正方形ABCD內(nèi)的面積為π。因此，隨機(jī)點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為：P=P(P落入?yún)^(qū)域E)=區(qū)域E在正方形ABCD內(nèi)的面積/正方形ABCD的面積=π/16。因此，隨機(jī)點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為π/16。例4、在三角形ABC中任取一點(diǎn)P，證明：△ABPC與△ABC的面積之比大于n-1/n。解析：如圖，設(shè)△ABPC與△ABC的面積之比為k，△ABC的高為h，△ABPC的高為h1，底邊AB的長度為c，則有：k=S△ABPC/S△ABC=h1c/2h·c/2h=n-1/n。因此，要證明k>n-1/n，只需要證明h1>h即可。由于P點(diǎn)是任意取點(diǎn)，因此可以假設(shè)P點(diǎn)在BC邊上，如圖所示。在△ABC中，連接AP，如圖所示。則有：h1=BP×sin∠BAP+CP×sin∠CAP。由于BP+CP=c，因此有：BP×sin∠BAP=CP×sin∠CAP。因此，有：h1=BP×sin∠BAP+BP×sin∠CAP=BP×(sin∠BAP+sin∠CAP)。由于∠BAP+∠CAP=∠BAC=180°，因此有：sin∠BAP+sin∠CAP=2sin(∠BAP+∠CAP)/2cos(∠BAP-∠CAP)/2=2sin∠BAC/2cos∠BAC/2=2h/c。因此，有：h1=BP×(sin∠BAP+sin∠CAP)=2BP×sin∠BAC/2=2h·sin∠BAC/2/c。由于sin∠BAC/2≤1，因此有：h1>2h/c=h·2/AB>n-1/n·h。因此，有：k=h1c/2h·c/2h>n-1/n。因此，得證：△ABPC與△ABC的面積之比大于n-1/n。過點(diǎn)P作EF//AB，交CD于H，則立場合所對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿切蜟EF。因此，所求概率為P=S(三角形CEF)/S(三角形ABC)。注意到EF//AB，且三角形CEF與三角形ABC相似，且CH=h-h1=h-S(三角形CEF)/S(三角形ABC)。因此，P=S(三角形CEF)/S(三角形ABC)=h/(2h*n/2)=1/n。由此，原題得證。評注：本題的樣本空間雖然與平面區(qū)域相對應(yīng)，但因?yàn)槿切蜛BC與三角形ABP有公共底邊AB，所以實(shí)際變化的量只有一個(gè)，即點(diǎn)P到AB的距離。對于較復(fù)雜的平面區(qū)域，常常需要根據(jù)題設(shè)選定兩個(gè)變量，并根據(jù)各自的約束條件確定樣本空間和有立場合的相應(yīng)區(qū)域。例5、將長為L的木棒隨機(jī)折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率。解：設(shè)M為“3段構(gòu)成三角形”的事件，x、y分別表示其中兩段的長度，則第三段的長度為L-x-y。樣本空間Ω={(x,y)|0<x<L,0<y<L,x+y<L}。由題意，x、y、L-x-y要構(gòu)成三角形，必須滿足x+y>L-x-y，即x+y>L/2；y+(L-x-y)>x，即y<(L-x)/2；x+(L-x-y)>y，即x<(L-y)/2。因此，M={(x,y)|x+y>L/2,y<(L-x)/2,x<(L-y)/2}。如圖1所示，可以看出所求概率為P(M)=M的面積/(Ω的面積)。M的面積為1/2×L×L/2=1/4×L^2，Ω的面積為L×L=L^2。因此，P(M)=1/4，即3段構(gòu)成三角形的概率為1/4。例6、已知函數(shù)f(x)=-x^2+ax-b，若a、b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個(gè)數(shù)，則f(1)>0成立的概率是多少？解析：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1。如圖所示，a和b的取值范圍都是[0,4]，因此a和b構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長為4的正方形。在這個(gè)正方形中，a-b>1的部分如圖所示?？梢钥闯?，這個(gè)部分的面積為9/16，而整個(gè)正方形的面積為16。因此，f(1)>0成立的概率為9/16。題目24816解析：根據(jù)題意，該方程有實(shí)根滿足條件$-1\leqa\leq1$，$-1\leqb\leq1$，$a-4b\geq0$。作出平面區(qū)域如右圖所示，陰影部分面積為1，總的事件對應(yīng)面積為正方形的面積，即4。因此，概率為$1/4$。答案為B。題目3：已知$\Omega=\{(x,y)|x+y\leq6,x\geq0,y\geq0\}$，$A=\{(x,y)|x\leq4,y\geq0,x-2y\geq0\}$。若向區(qū)域$\Omega$上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為多少？解析：作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖所示。容易得出$\Omega$所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜛OB及其邊界，A表示的區(qū)域?yàn)槿切蜲CD及其邊界。容易求得D(4,2)恰為直線$x=4$，$x-2y=0$，$x+y=6$三線的交點(diǎn)。則可得$S_{\triangleAOB}=1/2\times6\times6=18$，$S_{\triangleOCD}=1/2\times4\times2=4$。因此，點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率為$S_{\triangleOCD}/S_{\triangleAOB}=4/18=2/9$。答案為D。題目4：在區(qū)域$\{(x,y)|x-y+2\geq0,y\geq8\}$內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓$x+y=1$內(nèi)的概率為多少？解析：區(qū)域?yàn)?\triangleABC$內(nèi)部（含邊界），則概率為$S_{\text{半圓}P}/S_{\triangleABC}=1/2\times2^2/3^2=1/4$。答案為D。題目5：在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是多少？解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與$\triangleABC$相交出三個(gè)扇形（如圖所示），當(dāng)P落在陰影部分時(shí)符合要求。因此，概率為$3\times(1/6\times\pi/3)/2=1/6$。答案為$\pi/6$。題目6：在區(qū)間$[0,1]$上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)$a$，$b$，則函數(shù)$f(x)=x^3+ax-b$在區(qū)間$[-1,1]$上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為多少？解析：根據(jù)題意，$f(x)$在$x\in[-1,1]$上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)=x^3+ax-b$在$[-1,1]$上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有$f(-1)\cdotf(1)<0$成立，即$(-a-b)(a-b)<0$，則$(a+b)(a-b)>0$，可化為$0\leqb\leq1$，$1/2-a/2\leqb\leq1/2+a/2$或$-1/2-a/2\leqb\leq-1/2+a/2$，$0\leqa\leq1$。因此，所求概率為$(1/2\cdot1/2+1/2\cdot1/2)/1=1/2$。根據(jù)線性規(guī)劃知識，我們可以在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域。根據(jù)幾何概型，我們可以知道函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線a＝0，a＝1，b＝0，b＝1圍成的正方形的面積。計(jì)算可得面積之比為。已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b2，其中a，b∈R。(1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素，b從集合{0,1,2}中任取一個(gè)元素，求方程f(x)＝有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若a從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f(x)＝?jīng)]有實(shí)根的概率。解：(1)由題意可知，a，b的取值的情況有12種，即基本事件總數(shù)為12。設(shè)“方程f(x)＝有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程f(x)＝有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為a＞b。當(dāng)a＞b時(shí)，A包含的基本事件數(shù)為6，因此方程f(x)＝有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率為6/12=1/2。(2)由題意可知，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積SΩ=2×3=6。設(shè)“方程f(x)＝?jīng)]有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，即圖中陰影部分的梯形，其面積SM=6－(1/2)×2×2=4。由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f(x)＝?jīng)]有實(shí)根的概率為4/6=2/3。例1、在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點(diǎn)做射線OC，求使得AOC和BOC都不小于30°的概率？分析：此題關(guān)鍵是搞清過O作射線OC可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的發(fā)生是等可能的。記事件A為“三條線段能夠成一個(gè)三角形”，則根據(jù)條件可知，A發(fā)生的區(qū)域是在一個(gè)正方體內(nèi)部的一個(gè)四面體。因此，可以用四面體體積與正方體體積的比值計(jì)算概率。設(shè)三條線段的長度分別為x、y、z，則樣本空間為：0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a。根據(jù)三角形成立的條件，有y+z>x，z+x>y，x+y>z。將這些條件表示在空間直角坐標(biāo)系中，得到如圖2-3所示的四面體。設(shè)其底面為正方形，邊長為a，則四面體的體積為1/3*底面積*高，即V=1/3*a^2*a/2=a^3/6。而正方體的體積為a^3。因此，事件A發(fā)生的概率為P(A)=V(四面體)/V(正方體)=a^3/6a^3=1/6。例3、在區(qū)間[0,1]上任取三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z，事件A={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1,x≥0,y≥0,z≥0}。(1)構(gòu)造出隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形；(2)利用該圖形求事件A的概率。解析：(1)事件A表示空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如圖所示。(2)由于x,y,z屬于區(qū)間[0,1]，當(dāng)x=y=z=1時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件A為球在正方體內(nèi)的部分。因此，P(A)=球的體積/正方體的體積=4/3π/2^3=π/6?！皶妗鳖愋统Ｒ姷男问接袃扇讼嗉s見面、輪船?？坎次坏?，重點(diǎn)在于構(gòu)建相遇的不等式組，并利用線性規(guī)劃知識求解面積之比，從而解決問題。例如，兩人約定在20:00到21:00之間相見，先到者需等待40分鐘后方可離去。假設(shè)兩人獨(dú)立出發(fā)，20:00到21:00各時(shí)刻相見的可能性相等，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率。我們可以設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，必須滿足-1/3≤x-y≤1/3。將其轉(zhuǎn)化為面積問題，利用幾何概型求解。所有可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示，兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（x,y）的可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示。因此，陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性大小，即所求的概率為1-(8/9)=1/9。在解決會面問題時(shí)，關(guān)鍵是將時(shí)間轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，將兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y)，從而轉(zhuǎn)化為面積型幾何概型問題。另外，與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型也常見于實(shí)際問題中。例如，小明家的晚報(bào)在下午5:30~6:30之間隨機(jī)送到，小明一家在下午6:00~7:00之間隨機(jī)開始晚餐。求晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率。我們可以將晚報(bào)送到和晚飯開始的時(shí)間分別設(shè)為x,y，將其所滿足的條件寫成集合的形式，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。所有可能結(jié)果可用圖中正方形ABCD的面積表示，晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的事件可用(x,y)5:30≤x≤6:30,6≤y≤7,x≤y表示，其概率即為所求。如果事件A表示晚報(bào)在晚餐開始之前被送到，那么A的結(jié)果為：A={(x,y)|0<x<1,0<y<1/2}，即圖2中陰影部分區(qū)域。因此，A的面積為S(A)=1/2。正方形ABCD的面積為S(ABCD)=1，所以P(A)=S(A)/S(ABCD)=1/2。因此，晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率為1/2。反思：在解決涉及兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系的問題時(shí)，需要找到這兩個(gè)隨機(jī)變量并設(shè)為x和y。然后，用(x,y)表示每次試驗(yàn)結(jié)果，并用相應(yīng)的集合分別表示全部結(jié)果Ω和事件A所包含的試驗(yàn)結(jié)果。一般來說，這兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集。接下來，需要將上述集合所表示的平面區(qū)域作出，并求出集合Ω和A對應(yīng)的區(qū)域的面積。最后，可以用幾何概型公式求出概率。例1：在區(qū)間[-1,1]上任取兩個(gè)數(shù)a和b，求二次方程x^2+ax+b=0的兩根都是實(shí)根的概率。分析：可以用(a,b)表示試驗(yàn)結(jié)果。首先，需要求出所有可能結(jié)果的面積和方程有實(shí)根的結(jié)果的面積，然后利用幾何概型來解答。解：用(a,b)表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：Ω={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1}，即為圖3中正方形ABCD的面積。由方程有實(shí)根可得，Δ=a^2-4b≥0。因此，方程有實(shí)根的可能結(jié)果為：A={(a,b)|a^2-4b≥0,-1≤a≤1,-1≤b≤1}，即圖4中陰影部分區(qū)域。陰影部分面積可以用定積分來計(jì)算，如圖5所示。因此，S(A)=∫[-1,1][a^2/4+1/2]da=7/6。正方形ABCD的面積為S(ABCD)=4，所以P(A)=S(A)/S(ABCD)=7/24。因此，二次方程x^2+ax+b=0的兩根都是實(shí)根的概率為7/24。例1：如圖5，面積為S的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，如果n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為S。假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目。（I）求X的均值EX。解：X是一個(gè)二項(xiàng)分布，其中n=10000，p=S(M)/S(ABCD)=1/2，所以X~B(10000,1/2)。因此，X的均值為EX=np=10000×1/2=5000。求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率是多少？解析：本題是一個(gè)幾何概型的逆向問題，需要綜合運(yùn)用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)模擬方法來求解。該題設(shè)計(jì)新穎，通過隨機(jī)模擬來求不規(guī)則圖形的面積。首先，每個(gè)點(diǎn)落入M中的概率均為P=X~B(10000,1/4)。根據(jù)題意，M的面積為S/4，其中S為四邊形ABCD的面積。根據(jù)題意可得EX=2500。接著，根據(jù)題目要求，需要求出P(-0.03<(X/2500)-1<0.03)的概率，即P(2425<X<2575)。通過查表可得P(2425<X<2575)≈0.9147。因此，用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率約為0.9147。分析：將平面上的平行線段看作一系列長度為1.5cm和10cm的線段，可以用幾何概型求解。設(shè)圓心到最近的平行線的距離為r，則圓不與平行線相交的條件為r>=2.5cm，即圓心在相鄰兩條平行線之間的帶狀區(qū)域內(nèi)，其寬為7cm，如圖所示：解：設(shè)A為事件“圓不與平行線相交”，則A發(fā)生的條件是圓心落在帶狀區(qū)域內(nèi)，其測度為7cm。圓心落在整個(gè)平面上的任意一點(diǎn)的概率為1，因此事件A發(fā)生的概率為7/（1.5+10）=0.54。所以圓不與平行線相交的概率為0.54。地行駛。兩人的速度相同，且一直以直線相向而行，問他們何時(shí)可以開始通話？解析：建立坐標(biāo)系，設(shè)張三的位置為(30,0)，李四的位置為(0,40)，兩人的相對速度為(1,1)。設(shè)他們相遇的時(shí)間為t，則李四走過的距離為40-t，張三走過的距離為30