二維隨機(jī)變量及其分布課件

第五章二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性條件分布第五章二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一般地，如果兩個(gè)變量所組成的有序數(shù)組即二維變量（X，Y），它的取值是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果而確定的，那么稱這個(gè)二維變量（X，Y）為二維隨機(jī)變量，相應(yīng)地，稱（X，Y）的取值規(guī)律為二維分布一、二維隨機(jī)變量§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)一般地，如果兩個(gè)§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，則稱

F(x,y)=P{X

x,Y

y}

為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù),其中x,y是任意實(shí)數(shù).二、聯(lián)合分布函數(shù)定義：注：聯(lián)合分布函數(shù)是事件{X≤x}與{Y≤y}同時(shí)發(fā)生(交)的概率§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義如果將二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么聯(lián)合分布函數(shù)F(X,Y)在(X,Y)的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以為(x,y)右上角拐點(diǎn)的無(wú)窮矩形內(nèi)的概率.

§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義如§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)

對(duì)任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;F(x,y)關(guān)于x、關(guān)于y單調(diào)不減；

§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)對(duì)任§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)F(x,y)關(guān)于x、關(guān)于y右連續(xù)§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)F(§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)④§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)④§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)⑤隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域的概率0x1x2xy1y2y§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)⑤隨機(jī)§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)注：任何一個(gè)二維聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)必具有以上五條基本性質(zhì)，還可證明具有以上五條性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)一定是某個(gè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).即這五條性質(zhì)是判定一個(gè)二元函數(shù)是否為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件§1.1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)注：任§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij

，(i,j＝1,2,…)，為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij,(i,j＝1,2,…)，二維離散型隨機(jī)變量定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)對(duì)(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量。聯(lián)合分布律§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

聯(lián)合分布律的性質(zhì)

(1)

(2)二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p2j…

………………

xipi1pi2…pij…

………………0≤pij≤1,i,j＝1,2,

…§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

例2一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2.從這袋中任取一球后,不放回袋中,再?gòu)拇腥稳∫磺?設(shè)每次取球時(shí),袋中各個(gè)球被取到的可能性相同.以X,Y分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字.求:(1)X,Y的分布率;(2)P(X≥Y).解:P(X=1,Y=2)=(1/3)×1=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)×(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)×(1/2)=1/3YX12101/321/31/3§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

(2)P(X≥Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX1211/92/922/94/9由于事件{X≥Y}={X=1,Y=1}∪{X=2,Y=1}∪{X=2,Y=2}且三個(gè)事件互不相容,因此有放回抽取方式P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

若(X,Y)的分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

則(X,Y)的分布函數(shù)為

其中和式是對(duì)一切滿足xi≤x,yj≤y求和。分布律與分布函數(shù)的關(guān)系§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律

例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函數(shù)。解yx11§1.2二維離散型隨機(jī)變量一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分例：設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在變量1~X中等可能地取一整數(shù)，試求（X,Y）分布規(guī)律。解：的取值情況是：i=1,2,3,4

j取個(gè)不大于i的正整數(shù)且由乘法公式得

yx123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16如求：Y=2概率例：設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一例：從一個(gè)裝有3支藍(lán)色，2支紅色，3支綠色圓珠筆的盒子里，隨機(jī)抽取兩支，若X,Y分別表示抽出的藍(lán)筆數(shù)和紅筆數(shù)，求（X,Y)的分布規(guī)律。解(X,Y)所取的可能值是（0,0）（0,1）（1，0）（1,1）（0,2）（2,0）例：從一個(gè)裝有3支藍(lán)色，2支紅色，3支綠色圓珠筆的盒子里，隨§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密度函數(shù)

1.定義：設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在一非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y有則稱(X,Y)是連續(xù)型二維隨機(jī)向量,函數(shù)f(x,y)稱為二維向量(X,Y)的(聯(lián)合)概率密度.

2．概率密度f(wàn)(x,y)的性質(zhì)§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密度函數(shù)

(3).若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有

(4).設(shè)G是xy平面上的一個(gè)區(qū)域,點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為:

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個(gè)曲面.由性質(zhì)2,介于它和xoy平面的空間區(qū)域的體積為1，由性質(zhì)4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G為底,以曲面z=f(x,y)為頂面的柱體體積。

§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密度函數(shù)

例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度求：(1)常數(shù)c；(2)P(X≥Y).因此解得(1)由性質(zhì)得到c=8解:§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密度函數(shù)

(2)P(X≥Y)=====§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)

(一)均勻分布

定義:設(shè)G是平面上的有限區(qū)域,面積為A,若二維

隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度.

則稱(X,Y)在G上服從均勻分布。§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)例：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,其中G={0<x<1,|y|<x},求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù).解：yoy=x(1,1)xy=-x(1,-1)§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)例：若(X,Y)在D1上服從均勻分布，D1為x軸、y軸及直線y=2x+1所圍。求:(X,Y)的概率密度。y-1/20xD1解：§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)(二)二維正態(tài)分布定義:若(X,Y)具有概率密度其中

-∞<μ1<+∞,-∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,則稱(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二維正態(tài)分布，記為:(X,Y)

N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).§1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、兩個(gè)常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量求：（1）P{X

0},(2)P{X

1},(3)P{Y

y0} 隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為xyD答:P{X

0}=0練習(xí)求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Y§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)1．邊緣分布

設(shè)F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，稱

P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)(-∞<x<+∞)為X的邊緣分布函數(shù),并記為Fx(x).2.公式.

由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞}

=F(x,+∞)

同理有FY(y)=F(+∞,y).§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)1．邊緣分布

設(shè)F(x§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:試從聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)求關(guān)于X,關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)FX(x),FY(y).解:由邊緣分布函數(shù)的定義我們有§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:試從聯(lián)合分布函數(shù)F(§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:已知(X,Y)的分布函數(shù)為

求FX(x)與FY(y).§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:已知(X,Y)的分布§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律1.邊緣分布律

設(shè)(X,Y)為離散型二維隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,

稱P{X=xi,Y<+∞}(i=1,2,…)為X的邊緣分布律。

2.計(jì)算以后將記為pi.§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律1.§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律X的邊緣分布為Y的邊緣分布為p2.p1.Px2x1X……pi.xi……p.2p.1Py2y1Y……p.jyj……§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律X的邊§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律1x1xi

pi?p1?pi?p?jp?1p?jyjy1XY

§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律1x1因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：僅對(duì)離散而言僅對(duì)離散而言因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：僅對(duì)離散XY-10410.170.050.21

30.040.280.25求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。

解:

X的可能取值為1,3且

P{X=1}=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=4}

=0.17+0.05+0.21=0.43

因此關(guān)于X的邊緣分布律為

x13

p0.430.57同樣的方法求得關(guān)于Y的邊緣分布律為y-104

p0.210.330.46例．聯(lián)合分布律的為：XY-10例：已知下列分布規(guī)律，求其邊緣分布律01016/4912/49112/499/49Yx01016/4912/494/7112/499/493/74/73/71YX解: x=0的概率例：已知下列分布規(guī)律，求其邊緣分布律01016/4912/4§1.4邊緣分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y),分別稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)；為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù).說(shuō)明§1.4邊緣分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量(X例:(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y)。解X的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為例:(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為解X的邊緣密度函數(shù)為例:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上服從均勻分布,求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y)。解:(X,Y)的p,d為：-10x1xy

先求fx(x):當(dāng)-1<x<1時(shí)例:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上二維隨機(jī)變量及其分布ppt課件例設(shè)(X,Y)

N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(X,Y)具有概率密度

求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y).

例設(shè)(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(二維隨機(jī)變量及其分布ppt課件即X

N(μ1,σ12)，Y

N(μ2,σ22).且不依賴參數(shù)ρ.即XN(μ1,σ12)，YN(μ2,σ22).且不依賴參例：設(shè)隨機(jī)變量x和y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)x<0,或x>1時(shí)，因而得(1,1)例：設(shè)隨機(jī)變量x和y具有聯(lián)合概率密度(1,1)1）當(dāng)0≤y≤1,2）當(dāng)y<0或y>1時(shí)，因而得：1）當(dāng)0≤y≤1,例：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度。解：例：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求二維正態(tài)隨機(jī)變量于是：二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布到好似一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)。于是：二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布到好似一維正態(tài)分布，并且都不邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布。令（X.Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為顯然，（X,Y）不服從正態(tài)分布，但是因此邊緣分布均是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是二維的狀態(tài)分布。邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分例：設(shè)解：當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí),例：設(shè)解：當(dāng)x>0時(shí)，二維隨機(jī)變量及其分布ppt課件例:一整數(shù)N等可能地在1,2,3····10十個(gè)值中取一個(gè)，設(shè)D=(N)是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，F(xiàn)=F(N)是能整除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。試寫出D和F的聯(lián)合分布律，并求邊緣分布律。解：樣本點(diǎn)12345678910D1223242434F0111121112由此可得D與F的聯(lián)合分布律與邊緣分布律：能整除1,2能整除1,3能整除1,2,4（1,0不為素?cái)?shù)）例:一整數(shù)N等可能地在1,2,3····10十個(gè)值中取一個(gè)，F(xiàn)1234P(F=j)01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P(D=i)1/104/102/103/101D或?qū)⑦吘壈俜致时硎緸镈12341/104/102/103/10F0121/107/102/10F1234P(F=j)01/100001/10104/102例：設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，并且x服從N(a,),在上服從均勻分布，求（x,y)的聯(lián)合概率密度。例：設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，并且x服從N(a,)二維隨機(jī)變量及其分布ppt課件例：設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布規(guī)律為x130.30.7y240.60.4于是：例：設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布規(guī)律為x130.30.7因此（x,y）的聯(lián)合分布規(guī)律為y2410.180.1230.420.28x因此（x,y）的聯(lián)合分布規(guī)律為y2410.18§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性

隨機(jī)變量相互獨(dú)立是概率論中非常重要的概念,它是隨機(jī)事件相互獨(dú)立的推廣.

兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

設(shè)X，Y為隨機(jī)變量.如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，事件{X≤x}、{Y≤y}相互獨(dú)立的，即

P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

那么稱X，Y相互獨(dú)立§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量相互獨(dú)立是§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、二維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義

定義：設(shè)F(x,y)及Fx(x),FY(y)分別是二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對(duì)于所有x,y有

F(x，y)=Fx(x)FY(y)

則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

注釋:

由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。如果X與Y相互獨(dú)立，則X，Y的邊緣分布就能確定聯(lián)合分布。

§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、二維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義定例:試證明例1中的兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性.解:(X，Y)的分布函數(shù)為

邊緣分布函數(shù)分別為

容易看出，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有

F(x，y)=Fx(x)FY(y),

所以X與Y是相互獨(dú)立的

例:試證明例1中的兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性.邊緣分布函數(shù)§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件定理設(shè)(X，Y)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1，2，…)

其邊緣分布分布律為

P{X=xi}=pi·(i=1，2，…)P{Y=yj}=p·j(j=1，2，…)

則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)于任意i，j

有:pij=pi··p·j

§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件證明：(1)充分性。若對(duì)于任意i，j有:

pij=pi··p·j

則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有

所以X與Y相互獨(dú)立。

(2)必要性。若X與Y相互獨(dú)立，對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x1<x2，y1<y2，有

P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}于是，對(duì)于任意i，j，由概率的連續(xù)性§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件例設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY-10202/201/202/20

12/201/202/2024/202/204/20證明:X,Y相互獨(dú)立.證X,Y的邊緣分布律為X012P1/41/42/4Y-102P2/51/52/5由于p11=(2/20),而p1.=(1/4),p.1=(2/5),易見p11=p1.p.1i,j=1,2,3.因此,由定義知X與Y獨(dú)立.例設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY-1§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件定理.設(shè)(X，Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的概率密度和邊緣概率密度，則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是等式

f(x，y)=fx(x)fY(y)

對(duì)f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)成立.§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件證明：(1)充分性。若f(x，y)=fx(x)fY(y)，則

所以，X與Y相互獨(dú)立

(2)必要性。若X與Y相互獨(dú)立，則在f(x，y),fx(x)，

fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)有§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為

問(wèn)(X,Y)是否相互獨(dú)立？分析：為判斷X與Y是否相互獨(dú)立，只需看邊緣密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù).設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為所以X的邊緣密度函數(shù)為所以X的邊緣密度函數(shù)為所以Y的邊際密度函數(shù)為故X與Y不相互獨(dú)立所以Y的邊際密度函數(shù)為故X與Y不相互獨(dú)立例：已知的分布規(guī)律為(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2）（2,3）1/61/91/181/31）求與應(yīng)滿足的條件；2）若x與y互相獨(dú)立，求與的值。12311/61/91/181/321/31/3++1/21/9+1/18+2/3++例：已知的分布規(guī)律為(1,1)(1,2)(11）由分布規(guī)律的性質(zhì)知故與應(yīng)滿足的條件是：≥0,≥0,2/3++=1，≥0,≥0,且+=1/3，2）因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以有1）由分布規(guī)律的性質(zhì)知≥0,≥0,2/3++=1例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.解于是有

p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)稱為的n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)?！?.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義分布函數(shù)§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義定義.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱

P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn)∈Rn為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律?！?.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義定義.§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義定義.n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對(duì)任意的n元立方體則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度?！?.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義定義.§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義獨(dú)立性的概念推廣至高維隨機(jī)向量的情形1.定義:設(shè)(X1，X2，…，Xn)為n維隨機(jī)向量，其分布函數(shù)為F(x1，x2，…，xn)，關(guān)于xi的邊緣分布函數(shù)Fxi(xi)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn有則稱X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的。

§1.5隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、獨(dú)立性推廣的一些定義獨(dú)立性的

設(shè)(X,Y)的概率密度為(1)求常數(shù)c.(2)求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度為練習(xí)§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….

(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為

P{X=xi}=pi·i=1,2,….

P{Y=yj}=p·jj=1,2,….

設(shè)pi·>0,p·j>0，考慮在事件{Y=yj}已發(fā)生的條件下事件{X=xi}發(fā)生的概率,即

{X=xi|Y=yj},i=1,2,….

的概率,由條件概率公式,§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律設(shè)(X§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律條件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；1．定義

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定

的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。

§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律條件概率具§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律

同理，對(duì)于固定的i，若P{X=xi}>0，則稱

為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律。

2.條件分布函數(shù)

同理，§1.6條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律同理，對(duì)XY-11201/1203/12

3/22/121/121/12

23/121/120試分別求Y|X=0及X|Y=-1的條件分布律例二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為

解X|Y=-103/22P1/62/63/6Y|X=0112P1/403/4p.﹣1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6P1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6XY-1120§1.6條件分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布的定義

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,這時(shí)由于對(duì)任意x,y有P{X=x}=0,P{Y=y}=0,因此不能直接用條件概率公式引入條件分布函數(shù)P{X≤x|Y＝y(tǒng)}.下面我們用極限的方法來(lái)處