二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性

22§7.1二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性教學目的：了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學重點：求二元函數(shù)的極限，掌握二元函數(shù)極限與連續(xù)的關系。1、二元函數(shù)的定義定義1設有三個變量x,y和z,如果當變量x,y在某一給定的二元有序?qū)崝?shù)對D內(nèi)任取一對值(x,y)時，變量z按照一定的規(guī)律，總有唯一確實的數(shù)值和它們對應，則變量z叫做變量x,y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y)其中x,y為自變量，z為因變量,(x,y)變化的范圍D稱為函數(shù)的定義域。設點(x,y)eD,則，z=f(x,y)稱為對應于(x,y)0000的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。例1設因為(x2+y2H0),可見，對任何8>o例1設因為(x2+y2H0),可見，對任何8>o,取山亦，則當°<+0_0尸<扌時，總有“+歹成立，所以尸°。我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P(x,y)以任何方式趨于P(x,y)時，函數(shù)都無限接近于A。000

定義設函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P(x,y)是D的內(nèi)點或000邊界點且PGD。如果0則稱函數(shù)f(x,y)在點P(x,y)連續(xù)。000性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最小值和最大值。性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。性質(zhì)3(零點定理)若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且它取得一個大于零的函數(shù)值和一個小于零的函數(shù)值,則至少性質(zhì)4(有界性定理)若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它必在D上有界.3sin兀x+yf(x,y)f(x,y)=f(x,y)exy+xyxt1yt2解由于f(x,y)是初等函數(shù)，且點(1,2)在其定義域內(nèi)，故f(x,y)在點(1,2)處連續(xù),因此limf(x因此limf(x,y)=f(1,2)=3sin_兀+22xt1yt2§7.2偏導數(shù)教學目的：了解偏導數(shù)的概念、幾何意義以及與連續(xù)的關系。掌握高階偏導數(shù)的求法。教學重點：二階和高階偏導數(shù)的計算，利用圖形理解偏導數(shù)的幾何意義，偏導數(shù)存在和連續(xù)成立的條件。定義設函數(shù)Z二f(x,y)在點(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在y而x在000x處有增量厶x時，相應的函數(shù)有增量f(x+△x,y)-f(x,y),00000如果存在，則稱此極限為函數(shù)Z=f(x,y)存在，則稱此極限為函數(shù)Z=f(x,y)在點(x,y)處對x的偏導數(shù)，記作00或f(或f(x，x0y)對于函數(shù)z=f(x,y)對于函數(shù)z=f(x,y)，求尸能)時,只要把y暫時看作常量而對y求導。例1求z=x2sin2y的偏導數(shù)。解為求冒,視y看作常數(shù)，對x求導，得IX=2xsin2yIz為求才,視Iz為求才,視X看作常數(shù),例2對y求導，得比二2x2cos2ySySy設f(x,y)=x+y—Jx2+y2,求f'(3,4),廣(0,5)xy2x因為f'(x,y)=1—=1—「x2Jx2+y2Jx2+y2廣(x，y)=1—=1—y2Jx2+y2#x2+y2偏導數(shù)的幾何意義三、偏導數(shù)與連續(xù)的關系二元函數(shù)中，偏導數(shù)存在，不一定連續(xù)例如xy=0例如xy豐0廣(0,0)二limf(°+3°)一f(°，°)二lim絲二0xAxt0^xAxt0^xf'(0,0)=limf(0'°+?)一f(°'0)=lim(?)2=0yAxT0可見，函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的兩個偏導數(shù)都存在，而當動點M(x,y)沿直線y=0趨向于點(0,0)時，有l(wèi)imf(x,0)=limx2=0TOC\o"1-5"\h\zx—0x—0當動點M(x,y)沿直線y=x趨向于點(0,0)時，有l(wèi)imf(x,x)=lim1=1x—0x—0可見，f(x,y)在點(0,0)的極限不存在，當然在點(0,0)不連續(xù)。四、高階偏導數(shù)Qzdz二=f'(x,y),二=f'(x,y),QxxQyyQQx(QZ)=Q2zQxQQx(QZ)=Q2zQx2=f(x,y)xxQ(Qz)=QyQxQ2zQxQy=f(x,y)xyQ(Qz)=qx(Qy)=Q2z

QyQx=f(x,y)yxQ(Qz)=Q2zQyQyQy2〃=f(x,y)yy教=arctan擊的所有二階導數(shù)

dz1(1-xy)-(x+y)-(-y)=?凍-1+(1A>_(1-也y2'(1-xy)2+(x+y)2(1+y2)(1+x2)dz1(1-xy)-(x+y)-(-x)=?Sy1+(x+y)2(1-xy)21—xy1+x21+x21(1-(1-xy)2+(x+y)2(1+y2)(1+x2)1+y2S2S2z一2xSx2(1+x2)S2z_-2ySy2(1+y2)S2zSxSyS2zSS2zSxSyS2zSySx例4求z_解Sz_SxSzSyexcos(2x+y)S2zSx2exsin(2x+y)的所有二階導數(shù)exsin(2x+y)+2excos(2x+y)exsin(2x+y)+2excos(2x+y)+2excos(2x+y)-4exsin(2x+y)-exsin(2x+y)Sy2excos(2x+y)-2exsin(2x+y)SxSyexcos(2x+y)-2exsin(2x+y)SySxd2zd2z定理7.1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)伽品在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等。例5設f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求f"(0,0,1),f"(1,0,2),xxxzf(0,—1,0),f(2,0,1)yzzzx解f'=y2+2zx,ff=2xy+z2,ff=2yz+x2xyzf=2z,f=2xf=2zxxxzyzf〃=2y,f=0zzzzx所以f"(0,0,1)=2,f"(1,0,2)=2xxf〃(0,—1,0)=0,f""(2,0,1)=0yzzzx§7.3全微分及其在近似計算中的應用教學目的：理解全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。教學重點：全微分的計算和它在近似計算中的應用。一、全微分的概念定義若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量00Az=f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)0000可表示為Az=AAx+BAy+o(P)其中A,B于Ax,Ay無關，而o(p)是p=J(Ax)2+(Ay)2的高階無窮小，即o(P)lim=0pt0p

則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，并稱AAx+BAy為f(x,y)00在點(x,y)的全微分，記為dz=df(x,y)=AAx+BAy00定理7?2若函數(shù)乙二f(x,y)在點(x,y)可微，則函數(shù)z=f(x,y)00在點(x,y)連續(xù)。00證明時有從而有即要證f(x,y)在點(,y°)連續(xù)，就是要證limf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)}=0Ax^Q00證明時有從而有即Ayt0已知z=f(x,y)在點(x,y)可微，因而當00p=((Ax)2+(Ay)2t0Az=f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0)limAz=0Axt0Ayt0limf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)}=0Axt00000Ayt0定理7.3(可微的必要條件)若z=f(x,y)在點(x,y)可微，則函00數(shù)f(x,y)在點(x,y)處的偏導數(shù)f'(x,y)，廣(x,y)一定存在，并且00x00y00A=f：(x0,y0),B=f(x0,y0),證明由假設Az=AAx+BAy+o(p),(pt0)可知Ayt0時，上式轉(zhuǎn)化為Az=AAx+o(Ax)(Axt0)x

所以lim土二lim(A+AxtOAxAxToAxAx即f(x0,y丿=oAxAx即f(x0,y丿=Ax00y00因此，若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y河微，則有了dz.業(yè)、dz=dx+dy~dx~dy偏導數(shù)存在只是可微的必要條件，而不是充分條件。例如z=、：：Fy在原點存在兩個偏導數(shù)。事實上,f(0,0)=limf(0+4°)-f(°'0)=0xAxtOAxf'(0,0)=limf(0'°+Ay)—f(0'0)=0yAyTOAy但是，f(x,y)=*：阿在原點(0,0)不可微，事實上，假設在(0,0)可微，則df(0,0)=廣(0,0)dx+f(0,0)dy=0xylimA-df(0,0)pTOPlimAxT0=limA-df(0,0)pTOPlimAxT0=lim1=丄豐0AxTO\；；2.j'2即紂tdf(0,0)，當PT0時不是關于P的高階無窮小，這與可微定義矛盾。故f(x,y)在(0,0)不可微。定理7.4設函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)00

一個鄰域內(nèi)的偏導數(shù)竺,竺存在且連續(xù)，則函數(shù)z二f(x,y)在QxQy點(x,y)可微。00例1求函數(shù)z=4xy2+5x2y3的全微分°Z=8xy+15x2y2Qy解因為Qz=4y°Z=8xy+15x2y2QyQx且它們都連續(xù)，所以dz=(4y2+10xy3)dx+(8xy+15x2y2)dy例2計算z=x例2計算z=x2y+Z在點(1,-1)￡x解茫=2xy-ZQzQxx2Qxx=1y=-1Qz_1二x2+_QzQyxQyx=1?/y=-1因此=-2+1=-1=1+1=2dz=—dx+2dyx=1y=-1全微分在近似計算中的應用Az=f(x+Ax，y+Ay)-f(x,y)0000=ff(x,y)Ax+廣(x,y)Ay+o(p)x00y00如果略去高階無窮小，便得到近似公式

山'f,x0,y0)Ax+f(x0,y0)Ay即/(xo+Ax,yo+Ay)?/(x0,y0)+￡(x0,y0)Ax+f(x0,y0)Ay例3計算1.042.02的近似值解取二元函數(shù)f(x,y)=xy則f(x,y)=yxy-1f(x,y)=xyInxxy令x=1,Ax=0.04,y=2,Ay=0.0200于是1.042.02=于是1.042.02=f(x+Ax,y+Ay)00沁f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay00x00y00f(x，y)=f(1，2)=100f(x0,y°2f(f(x0,y°2f(1，2)二0x00x所以1.042.02沁1+2x0.04+0x0.02二1.08§7.4多元函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則教學目的：掌握多元復合函數(shù)的求導法則，了解隱函數(shù)的概念，存在定理并計算多元函數(shù)的隱函數(shù)。教學重點：求多元復合函數(shù)偏導數(shù)時，理清函數(shù)、中間變量和自變量的關系。一、多元復合函數(shù)求導法則定理7.5如果函數(shù)u=p(x,y)及卩(x,y)都在點(x,y河微，函數(shù)z=f(u,v)在對應于(x,y)的點(u,v)處函數(shù)z=f(u,v)可微,則復合函數(shù)z=fD(x,y),Q(x,y)在點(x,y)可微00dzdzdzQudzdv—+QxQu~dxQvQxQzQzQuQzQv—+QyQuQyQvQy證明我們來證明第一個公式，若給x—個改變量Ax,則相應有u及v的改變量Au—9(x+Ax,y)一申(x,y)Av—?(x+Ax,y)—Q(x,y)由于f(u,v)可微，所以有Az—QZAu+QZAv+o(Q(Au)2+(Av)2)AxAzQzAu+QzQv+oQ(Au)2+(Av)2)AxQuAxQvQAx因Qu,Qv存在，有l(wèi)im里-Qu,lim夕-Qv，所以u,v關于自變量QxQxAx>oAxQxAx>oAxQxx是連續(xù)的。因而，AxT0時，也有AuT0,AvT0,于是Hmo(J(AHmo(J(Au)2+(Av)2)_斤幣oQ(Au)2+(Av)2).J(Au)2+(Av)2AxT0所以有l(wèi)imAxAxt0Au)2+(Av)2o(/(Au)2+(Av)2)KAu)2+(Av)2—lim-limAxt0(Au)2+(Av)2Axt0AxQzQzQuQzQv+QxQuQxQvQxAx完全類似地可以證明第二個等式。求復合函數(shù)的偏導數(shù)時要注意兩點(1)搞清函數(shù)的復合關系；(2)對某個自變量求偏導數(shù)，應注意要經(jīng)過一切有關的中間變量而歸結到該自變量。例1例2dzdz例1例2設z=u2+v2,u=x+y,v=x一y,求—,—dxdy竺仝du+dzdv=2u.x，+2v.1=2(u+v)=4xdxdudxdvdxx冬上du+dzdv=2u.y，+2v.(-1)=2(u-v)=4ydydudydvdyx設z=exsiny,x=2st,y=t+s2,求冬,空dsdtdzdzdxdzdysin2cos2—=+=exsiny?2t+excosy?2sdsdxdsdyds=2ex(tsiny+scosy)dzdzdxdzdy=+=exsiny?2s+excosy?1~5tdx~5tdy~dt=2ex(2ssiny+cosy)二、隱函數(shù)的偏導數(shù)求法設方程F(x,y,z)=0確定了z=z(x,y),則有F(x,y,z(x,y))=0兩邊同時求關于x的偏導數(shù)，得F,1+F,0+F,dzxyzdx

所以，當F70時，有z同理可證azf‘=—_x

dxFzazFazf‘=—_x

dxFzazF=—yayFz⑴在點(x,y,z)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且具有連續(xù)偏導數(shù)F；F,F';000xyz(2)F(x,y,z)=0,F'(x,y,z)豐0,則方程F(x,y,z)=0唯000x000一確定了一個定義在(x,y)的某鄰域的單值連續(xù)且具有連續(xù)00偏導數(shù)的二元函數(shù)z=f(x,y)，它滿足條件z=f(x,y),000azF=—_y

ayfz并有azf‘=—xaxFz例3求由方程f=并有azf‘=—xaxFzzy偏導數(shù)竺,冬axay解設F(x,y,z)二I-In￡1zyF=F=-yxzyazFz—azFz—x—

axF(x+z)zazayFy(x+z)z例例4設x2+y2+z2一4z=0,求也z解設F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,貝VF=2x,F'=2z―4xz應用上面公式，得°z=x~dx2-z再一次對x求偏導數(shù)，得「8(比)(2-z)+x比(2-z)+x(x)°2z==頁=2一Idx2dx(2-z)2(2-z)2(2-z)2+x2

(2-z)3§7.5二元函數(shù)偏導數(shù)的應用教學目的：理解多元函數(shù)極值與條件極值的概念，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。數(shù)法和極大極小值的判別。一、在幾何上的應用zMM教學重點：二元函數(shù)偏導數(shù)在幾何上的具體應用，條件極值的拉格朗日乘數(shù)法和極大極小值的判別。一、在幾何上的應用zMM1.空間曲線的切線與法平面設空間曲線L的參數(shù)方程為|x=申(t)<y=屮(t)z=?(t)

這里假定上式的三個函數(shù)對t的導數(shù)存在，且不同時為零。在曲線L上取對應于t二t的一點M(x,y,z)，它對應于參數(shù)t二t000000即x=申(t)

00<y=屮(t)00z=?(t)00當t=t+At時，對應于曲線L上的點M的坐標為(x+Ax,y+Ay,z+Az),0000則割線MM的方程為0x-xy-yz-z0=0=0AxAyAz當M沿曲線L趨近于M時，割線MM的極限位置就是曲線M在

00點M的切線，因此，用At遍除割線方程的分母，令AtT0,即得曲線在點M的切線方程0oz/k?F9oz/k?F9y-上屮=;o

z/k?FO)Oz/k切線方向向量稱為曲線的切向量。向量T二?(t)M'(t),①'(t)｝就是000曲線L在點M處的一個切向量。通過點M而與點M處切線垂直的平面稱為曲線L在點M000處的法平面，它是通過點M(x,y,z)而以L為法向量的平面，0000因此這法平面的方程為例1求曲線x=t,y=t2,z=t3在t=1處的切線方程和法平面方程0解當t=1時，x=1,y=1,z=10000x'(1)=1,y'(1)=2,z'(1)=3于是，切線方程為法平面方程為法平面方程為(X-1)+2(y-1)+3(z-1)=02.曲面的切平面方程與法線方程設曲面Y由方程F(x,y,z)二0給出，M(x,y,z)是曲面工0000上的一點，并設函數(shù)F(x,y,z)的偏導數(shù)F:F:F在點M連續(xù)且不同時xyz0為零，設L為位于上述曲面上且過M點的一條任意曲線，其方程0為”x=x(t)<y=y(t)、z=z(t)由于曲線L在曲面上，故若相應于點M的參數(shù)值為t，即x=x(t),y=y(t),z=z(t),0000000將(7.5)式對t求導數(shù)，則在點M處有0F'(x,y,z)x'(t)+F'(x,y,z)y'(t)+F'(x,y,z)z'(t)二0x0000y0000z0000切平面的方程為Fx'(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy'(x0,y0,z0)(y-y0)+仆D-二0通過點M(x,y,z)而垂直于平面的直線稱為曲面在該點0000的法線。垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量n二和'(x,y,z),F'(x,y,z),F'(x,y,z/x000y000z000就是曲面在點M處的一個法向量。0例2求曲面z二x2+y2-1在點(2,1,4)的切平面方程與法線方程解z'二2x,z'二2y,z'(2,1)二4,z'(2,1)二2xyxy所以曲面在點(2,1,4)的切平面方程為4(4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0或4x+2y-z=0法線方程為x—2=y-1=z—4_42-T二、二元函數(shù)極值的求法定理7?7(極值存在必要條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)具有偏導數(shù)，且在點(x,y)處有極值，則它在該00000點的偏導數(shù)必然為零f'(x,y)=0廣(x,y)=0x00y00同時成立的點(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的駐點。00定理7.8(極值存在充分條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又000f'(x,y)=0,f(x,y)=0x00y00fxx(xfxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=yy00C則/(x,y)在(x,y)處是否取得極值的條件如下00⑴B2-AC<0時，函數(shù)f(x,y)在點P處取得極值，且當A<00時有極大值，當A>0時有極小值；⑵B2-AC>0時，函數(shù)f(x,y)在點P處沒有極值；0(3)B2-AC=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論例3求函數(shù)f(x,y)=x2+5y2—6x+10y+6的極值

解由于f'(x,y)=2x-6,f'(x,y)=10y+10xy即得駐點(3，-1)解方程組J即得駐點(3，-1)[10y+10二0又由于A二f(3,-1)二2>0,B二f(3,-1)二0xxxyC=f(3,-1)=10,B2-AC=20<0yy故f(x,y)在(3,-1)取得極小值，極小值為f(3,-1)二-8.2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法方法1從申(x,y)二0中解出y再代入f(x,y),使二元函數(shù)的條件極值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無條件極值問題。求二元函數(shù)z=x2+2y2-xy在條件x+y=8下的極值解由x+y=&得y=8一x,代入zz=x2+2(8一x)2一x(8一x)=4x2一40x+128由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得=8x-40=0dxxy因為仝=8>0,當x=5時，y=8-5=3,(5,3)為二元函數(shù)z=x2+2y2dx2xyx二5在條件x+y二8下極小值點，極小值為28方法2(拉格朗日數(shù)乘法)要找函數(shù)z二f(x,y)在附加條件申(x,y)二0下可能極值點，可以先構成輔助函數(shù)

F(x,y)=f(x,y)+"(x,y)'f(x,y)+九申(x,y)=0xx＜廣(x,y)+九申(x,y)=0九為常數(shù)申(x,y)=0由這方程組解出x,y及九，則其中x,y就是函數(shù)f(x,y)在附加條件申(x,y)二0下的可能極值點的坐標。例5求表面積為a2而體積最大的長方體。解設長方體的長、寬、高分別為x,y,z，則體積是f(x,y,z)=xyz,附加條件為申(x,y,z)=2xy+2yz+2zx-a2二0作輔助函數(shù)F(x,y,z)=f(x,y)+“(x,y)=xyz+九(2xy+2yz+2zx-a2)令F'二yz+2(y+z)=0xF'二zx+2X(z+x)=0y由前三式，F(xiàn)；xxi+y(:x+y)二0得代入第四式，得ax=y=z=-即當長方體的長、寬、高相等時，長方體的體積最大?！?.6二重積分教學目的：理解二重積分的概念及性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)教學重點：二重積分的計算，平面直角坐標和極坐標求法的轉(zhuǎn)換。二重積分的概念設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域Ac,Ac，…,Ac，…山12in其中Ac表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個Ac上任ii取一點點,n),作乘積f點,n)Aciiiii并作和￡fG,n)Ac.iiii=l如果當個小閉區(qū)域的直徑中的最大值九趨于零時，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作Df(x,y)dc，即DJJf(x,y)dc=lim工f憶，耳)Ac..1iiiDi=1其中D為積分區(qū)域，f(x,y)叫做被積函數(shù)，f(x,y)dc叫做被積表達式，dc叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域。性質(zhì)性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設函數(shù)f(x,y)在閉在直角坐標系下，有JJf(x,y)db=JJf(x,y)dxdyDD二、二重積分的性質(zhì)JJkf(x,y)db二kJJf(x,y)db(k為常數(shù))DDJJf(x,y)土g(x,y)lfb=JJf(x,y)dc+JJg(x,y)dcDDD性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(x,y)dbDD1D2(D可分成D和D)12性質(zhì)4性質(zhì)5如果在D上，f(x,y)二1,g為D的面積，則b二JJldb二JJdbDD如果在D上，f(x,y)<9(x,y),則有不等式JJf(x,y)db<JJ9(x,y)dbDDJJf(x,y)dc<ffIf(x,y)\do性質(zhì)6設M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,b是D的面積，則有mG<JJf(x,y)db<MbD區(qū)域D上連續(xù)，◎是D的面積，則在D上至少存在一點(g,耳)，使得下式成立JIf(x,y)dG二f(g,n)pD三、二重積分的計算1.在直角坐標系下二重積分的計算我們先假定f(x,y)>0,并設積分區(qū)域D可表示為其中函數(shù)申(x),申(x)在區(qū)間L,b］上連續(xù)12曲頂柱體截面積A(x)二卜2(x)f(x,y)dy91(x)體積V=Jb[卜2(x)f(x,y)dy]dxa91(x)或V=Jbdx[卜2(x)f(x,y)dy]a%(x)定理7.9設區(qū)域D為申(x)<y(x)，c<y<d12函數(shù)f(x,y)在》上連續(xù)，則JJf(x,y)dc=Jb[卜2(x)f(x,y)dy]dxDa卅x)或JJf(x,y)do=JbdxJ?2(x)f(x,y)dya卩(x)D1定理7.10設區(qū)域D為0(y)<x<?(y)12

函數(shù)f(x,y)在》上連續(xù)，則JJf(x,y)db=Jd血(y)f(x,y)dx]dydc虹y)JJf(x,y)db=JddyJ“2(y)f(x,y)dxC包(y)D1JbdxJ*2(x)f(x,y)dy=JddyJ°2(y)f(x,y)dxa申](x)c%(y)例1計算I二JJ(2y-x)db,其中D由拋物線y=x2和直線Dy=x+2圍成。解拋物線y=x2和直線y=x+2的交點為(-1,1)與(2，4)因此，Q(x)=x2,q(x)=x+2,a=—1,b=2.12(y2—xy)x+2dx—