數(shù)學(xué)建模之初等模型課件

2.1初等數(shù)學(xué)方法建模實例(一)2.1.1.圓桿堆垛問題2.1.2.中國人重姓名問題2.1.3.搭積木問題2.1初等數(shù)學(xué)方法建模實例(一)2.1.11問題:把若干不同半徑的圓柱形鋼桿水平地堆放在一個長方體箱子里，若已知每根桿的半徑和最底層各桿的中心坐標，怎樣求出其它桿的中心坐標？2.1.1圓桿堆垛問題問題:把若干不同半徑的圓柱形鋼桿水平地堆放在一個長方體箱2模型準備:本問題是一個解析幾何問題，利用解析幾何的有關(guān)結(jié)論既可.模型假設(shè)：箱中的鋼桿至少有兩層以上箱中最底層的桿接觸箱底或緊靠箱壁除最底層之外的箱中每一根圓桿都恰有兩根桿支撐模型準備:本問題是一個解析幾何問題，利用解析幾何的有關(guān)結(jié)3模型構(gòu)成：1．考慮三個圓桿的情況已知三個圓桿的半徑和兩根支撐桿的坐標來求另一個被支撐桿坐標的三桿堆垛問題.

符號說明：設(shè)兩根支撐桿的半徑分別為Rl,Rr，對應(yīng)中心坐標分別為(xl,yl),(xr,yr)被支撐桿的半徑和坐標分別為Rt和(xt,yt)連接三根圓桿的中心獲得一個三角形，用a,b,c表示對應(yīng)的三條邊a=Rl+Rtb=Rr+Rt(xl,yl)(xr,yr)(xt,yt)RlRrRt

模型構(gòu)成：1．考慮三個圓桿的情況已知三個圓桿的半徑和兩根支撐4cos

=d/csin

=e/cc=(d2+e2)1/2d=xr–xle=yr-ylcos

=(a2+c2-b2)/2acsin

=(1-cos2

)1/2xt=xl+acos(

+

)=xl+a(cos

cos

-sin

sin

)yt=yl+asin(

+

)=yl+a(sin

cos

+cos

sin

)(xl,yl)(xr,yr)(xt,yt)RlRrRt

cos=d/cxt=xl+acos52．考慮多個圓桿的情況對多于三桿的問題可以按支撐關(guān)系和先后順序依次求出所有其它桿的坐標.例如，如果長方體箱子中有6根圓桿，已知1，2，3號的圓桿在箱底，4號桿由1，2號桿支撐，5號桿由2，3號桿支撐，6號桿由4，5號桿支撐，則可以調(diào)用如上三桿問題的算法先由1，2號桿算出4號桿坐標，接著再用2，3號桿算出5號桿坐標，最后用4，5號桿算出6號桿坐標2．考慮多個圓桿的情況對多于三桿的問題可以按支撐關(guān)系和先后順6問題:由于中國人口的增加和中國姓名結(jié)構(gòu)的局限性，中國人姓名相重的現(xiàn)象日漸增多.請嘗試提出一個合理且可以有效解決此問題的中國人取名方案.2.1.2中國人重姓名問題問題:由于中國人口的增加和中國姓名結(jié)構(gòu)的局限性，中國人姓7模型準備：先考慮一下中國姓名的結(jié)構(gòu)和取名習(xí)慣.中國的姓名是由姓和名來組成的.姓在前名在后，目前姓大約有5730個,但常用姓只有2077個左右，名通常由至多兩個字組成.姓名是由漢字排列而成，構(gòu)成姓名的漢字多，則姓名總數(shù)就多.要想有效地克服重姓名問題，就該增加姓名的漢字數(shù).靠機械地增加名字的個數(shù)解決重姓名問題,或完全改變現(xiàn)有的姓名是不明智.應(yīng)該采用兼顧現(xiàn)有姓名習(xí)慣來做這件事.本問題可以用簡單的排列組合原理來解決.模型準備：8模型假設(shè)：中國的所有姓名共有N個,其中姓有S個姓名中父親姓氏在姓名首位模型假設(shè)：中國的所有姓名共有N個,其中姓有S個9模型構(gòu)成：三項原則：擴大姓名集合考慮中國姓名的特色兼顧原有取名習(xí)慣這里提出體現(xiàn)父母姓的復(fù)姓名方式來解決重姓名問題.方便起見，要引入的新的取名方法稱為FM取名方法.模型構(gòu)成：三項原則：10一個FM姓名的結(jié)構(gòu)為：

主姓名·輔姓名主姓名就是現(xiàn)在人們所使用的姓名輔姓名可以只是母親的姓，也可以是利用母親的姓另起的一個姓名，不過這個姓名要名在前姓在后以區(qū)別于主姓名中間的·是間隔號例如：父親姓王，母親姓孫，給孩子取的名字是王建國以及孫靖，則孩子的FM姓名為王建國?靖孫或王建國?孫一個FM姓名的結(jié)構(gòu)為：11模型分析：在“FM姓名體系”下,“FM姓名”集合中姓名總數(shù)變?yōu)?/p>

N*S+N*N=N*(S+N)這表明“FM體系”將原來的姓名集合增加了S+N倍.注意到其中N是很大的，這種擴充是顯著的.再者，原來“主姓名重名”的個數(shù)在“FM體系”中會減少，而FM姓名樣本空間擴大了S+N倍，由概率論知識可知，重姓名的概率將變得比原來的1/(S+N)還小.筆者在對本校的500名學(xué)生采用“FM體系”做驗證，重姓名概率由原來的2%變?yōu)榱?！模型分析：在“FM姓名體系”下,“FM姓名”集合中姓名總數(shù)變12若取最保守的估計,有Q/Q’是僅與h有關(guān)的函數(shù).可以從圖形來考察它的取值情況！若取最保守的估計,有Q/Q’是僅與h有關(guān)的函數(shù).13問題:將一塊積木作為基礎(chǔ)，在它上面疊放其他的積木，問上下積木之間的“向右前伸”可以達到多少？2.1.3搭積木問題問題:將一塊積木作為基礎(chǔ)，在它上面疊放其他的積木，問上14模型準備:

本問題涉及重心的概念，關(guān)于重心的結(jié)果有，查閱相關(guān)文獻，有下述結(jié)果:設(shè)xOy平面上有n個質(zhì)點，它們的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，…,(xn,yn)，對應(yīng)的質(zhì)量分別為m1,m2,…,mn,則該質(zhì)點系的重心坐標滿足：模型準備:15模型假設(shè)：所有積木的長度和重量均為一個單位每塊積木的密度都是均勻的，密度系數(shù)相同參與疊放的積木有足夠多最底層的積木可以完全水平且平穩(wěn)地放在地面上模型假設(shè)：所有積木的長度和重量均為一個單位16模型構(gòu)成：1．考慮兩塊積木的疊放情況x此時使疊放后的積木平衡主要取決于上面的積木，而下面的積木只起到支撐作用.假設(shè)在疊放平衡的前提下，上面的積木超過下面積木右端的最大前伸距離為x.

上面積木在位移最大且不掉下來時，x=1/2.模型構(gòu)成：1．考慮兩塊積木的疊放情況x此時使疊放后的積木平衡172．考慮n塊積木的疊放情況兩塊積木的情況解決了，如果再加一塊積木的疊放情況如何呢？如果增加的積木放在原來兩塊積木的上邊，那么此積木是不能再向右前伸了!?除非再移動底下的積木，但這樣會使問題復(fù)雜化.

x2．考慮n塊積木的疊放情況兩塊積木的情況解決了，如果再加18為利于問題的討論，我們把前兩塊搭好的積木看作一個整體,且不再移動它們之間的相對位置，而把增加的積木插入在最底下的積木下方.于是，問題又歸結(jié)為兩塊積木的疊放問題，不過，這次是質(zhì)量不同的兩塊積木疊放問題.為利于問題的討論，我們把前兩塊搭好的積木看作一個整體,且不再19利用歸納法假設(shè)已經(jīng)疊放好n(n>1)塊積木，下面我們就n+1塊積木的疊放問題來討論.要求新增加的一塊積木插入最底層，我們選擇這新插入的積木的最右端為坐標原點建立如圖坐標系.考慮上面的n塊積木的重心關(guān)系.我們把上面的n塊積木分成兩部分:從最高層開始的前n-1塊積木，記它們的水平重心為x1,總質(zhì)量為n-1與最底層積木相連的第n塊積木,記它的水平重心為x2,質(zhì)量為1利用歸納法假設(shè)已經(jīng)疊放好n(n>1)塊積木，下面我們就n+120把上面的n塊積木看作一個整體，記它的重心水平坐標，顯然n塊積木的質(zhì)量為n.在保證平衡的前提下，上面n塊積木的水平重心應(yīng)該恰好在最底層積木的右端，即有=0.把上面的n塊積木看作一個整體，記它的重心水平坐標，顯然n21假設(shè)第n塊積木超過最底層積木右端的最大前伸距離為z.同樣在保證平衡的前提下，從最高層開始的前n-1塊積木的總重心的水平坐