廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴縣羅波中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴縣羅波中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在透明塑料制成的正方體容器中灌進(jìn)體積的水，密封后可以任意擺放，那么容器內(nèi)水面形狀可能是：①三角形；②梯形；③長(zhǎng)方形；④五邊形．其中正確的結(jié)果是A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④參考答案：D2.已知集合A={x|log3x＜1}，B={y|y=3x，x≥0}，則A∩B=（）A．? B．{x|1＜x≤3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1≤x＜3}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】分別求解指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵A={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，B={y|y=3x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．3.集合的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．4

B．8

C．16

D．無數(shù)個(gè)參考答案：

B4.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為,的面積為,,若,,則( )A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列參考答案：B5.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）

ABCD參考答案：D略6.直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b的值為()A．2

B．－1

C．1

D．－2參考答案：C7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，給出三個(gè)結(jié)論：①是周期函數(shù)；②是圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③是偶函數(shù)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A略8.已知集合，則等于A．

B． C．

D．參考答案：C9.（5分）（2011?安徽）若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x﹣4y=0的圓心，則a的值為（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3參考答案：B圓x2+y2+2x﹣4y=0的圓心為（﹣1，2），代入直線3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故選B．10.若，，成等差數(shù)列，則的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．參考答案：D故選：D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓與直線的位置關(guān)系是__________.參考答案：相離化為直角坐標(biāo)方程得：圓方程為，直線方程為，圓心到直線的距離，填相離12.設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是

．參考答案：垂直13.已知數(shù)列的前上，則數(shù)列

.參考答案：

由題意可得：14.若的最小值為_________.參考答案：略15.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：

由于，則有，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.數(shù)列滿足且對(duì)任意的，都有，則的前項(xiàng)和_____.參考答案：17.已知log7[log3（log2x）]=0，則x=．參考答案：8【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算從外向內(nèi)求得即可．【解答】解：∵log7[log3（log2x）]=0，∴l(xiāng)og3（log2x）=1，∴l(xiāng)og2x=3，∴x=8，故答案為：8．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜1時(shí)，證明：對(duì)任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當(dāng)x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)a＞﹣1時(shí)，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對(duì)任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬難題．19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面,,,點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；（2）求二面角的大?。畢⒖即鸢福海?）證明：

平面，,,

（2）取的中點(diǎn),連結(jié)，則∥,平面,平面.取的中點(diǎn),連結(jié),則∥，,連結(jié),則是二面角的平面角，又二面角大小為

略20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別與直線相交于M，N兩點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）證明：△ABO與△MNO的面積之比為定值.參考答案：（1）由題意知，，∴，∴拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，與相似，∴.當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為.，聯(lián)立，得，∴，且.∵，∴.綜上所述，.

21.（本小題12分）已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試證當(dāng)時(shí)，為“凹函數(shù)”.

參考答案：（1）由，得……2分函數(shù)為上單調(diào)函數(shù).若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.

………………4分令，上述問題等價(jià)于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求.…………6分（2）證明：由得

………7分

……8分而

①

………………9分又，

∴

②………10分∵

∴，∵

∴

③

……………11分由①、②、③得即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù).

………12分22.某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方圖中a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)；（Ⅱ）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．（2）（2）乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)為3人．在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布列的計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（1）由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人，所以甲班的學(xué)生人數(shù)為．所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人，所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)