2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專(zhuān)題（人教版） 半角模型綜合應(yīng)用（解析版）

半角模型綜合應(yīng)用模型一等角=要三角形中得半角模型模型二正方形中的半角模型應(yīng)用：①利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形；②利用翻折構(gòu)造全等三角形?！绢?lèi)型一：等腰三角形中的半角模型】【典例1】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種重要的思想方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問(wèn)題．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．（1）如圖a，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連結(jié)DF．①∠DAF＝；②求證：DF＝DE；（2）如圖b，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）①解：由旋轉(zhuǎn)知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，故答案為：30°；②證明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，∵AB＝AC，∴△DAF≌△DAE（SAS），∴DF＝DE；（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置，連結(jié)DF，∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，根據(jù)勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，∴DF2＝BD2+CE2，同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．【變式1】已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點(diǎn)B重合，將等邊△BEF繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線(xiàn)與∠MBN的BN邊相交于點(diǎn)C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．（1）將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時(shí)，求證：CE＝BE+AE；（2）將等邊△BEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫(xiě)出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝3或5．【解答】（1）證明：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF+CF，∴CE＝BE+AE；（2）解：圖②結(jié)論為CE＝BE﹣AE，圖③結(jié)論為CE＝AE﹣BE，圖②的理由如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF﹣CF，∴CE＝BE﹣AE，圖③的利用如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝CF﹣EF，∴CE＝AE﹣BE；（3）解：在（1）條件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；在（2）條件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，綜上所述，CE＝3或5，故答案為：3或5．【典例2】等邊△ABC，D為△ABC外一點(diǎn)，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射線(xiàn)DM與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，射線(xiàn)DN與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)N，①當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，直接寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時(shí)，猜想①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明．③當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解①BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．②猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在CN的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，③證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可證∠CDN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【變式2】（1）問(wèn)題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，當(dāng)∠EOF＝70°時(shí)，兩艦艇之間的距離是海里．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，如圖②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如圖③，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（60+80）＝280海里．答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是280海里；故答案為：280；【類(lèi)型二：正方形中的半角模型】【典例3】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問(wèn)圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明．【解答】解：（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN＝MN，理由為：如圖2，在MB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：線(xiàn)段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN﹣BM＝MN．證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．【變式3】【感知】如圖①，點(diǎn)M是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且MA⊥AN，易證△ABM≌△ADN，進(jìn)而證得BM＝DN（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°．求證：BE+DF＝EF．【拓展】如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，若BD＝3，EF＝1.7，則四邊形BEFD的周長(zhǎng)為．【解答】【應(yīng)用】如圖②中，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°．∴∠B＝∠ADG＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°．∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，BE＝DG．∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，∴∠EAF＝∠GAF＝45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．∵FG＝DF+DG＝DF+BE，∴BE+DF＝EF【拓展】如圖③中，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．∵AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠ABE＝∠ADG，∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．∵∠BAE+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，BE＝DG．∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，∴∠EAF＝∠GAF＝45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．∵FG＝DF+DG＝DF+BE，∴BE+DF＝EF．∴四邊形BEFD的周長(zhǎng)為EF+（BE+DF）+DB＝1.7+1.7+3＝6.4，故答案為6.41．如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求證：∠ABE＝∠CAD；（2）求BP和AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD；（2）解：在△ABP中，∠BPQ＝∠ABP+∠BAP，∵∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABP+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°，∵BQ⊥AD，PQ＝3，PE＝1．在Rt△BPQ中，∠BPQ＝60°，則∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ＝6，∴BE＝BP+PE＝7．由（1）△ABE≌△CAD，∴AD＝BE＝7．即BP和AD的長(zhǎng)為6和7．2．如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BD＝CF．（1）如圖①，若DE⊥BC，則∠DFC＝度；（2）如圖②，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），求證：BE＝CD；（3）如圖③，若D是邊BC的中點(diǎn)，且AB＝2，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥BC，即∠BDE＝90°，∠EDF＝60°，∴∠BED＝∠CDF＝30°，∴∠DFC＝90°，故答案為：90；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE＝CD；（3）∵△ABC是等邊三角形，AB＝2，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2，∵D為BC中點(diǎn)，且BD＝CF，∴BD＝CD＝CF＝AF＝1，由（2）知△BDE≌△CFD，∴BE＝CD＝1，DE＝DF，∵∠B＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE＝DF＝1，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為AE+DE+DF+AF＝4，故答案為：4．3.如圖1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN＝60°，交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得CE＝BM，連接MN、DE．（1）試說(shuō)明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；（2）如圖2，若點(diǎn)M是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)的一點(diǎn)，N是CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，其他條件不變，探究線(xiàn)段BM，MN，NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①延長(zhǎng)AC至E，使得CE＝BM（或延長(zhǎng)AB至E，使得BE＝CN），并連接DE．∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又BD＝DC，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD與△ECD中，∵，∴△MBD≌△ECD（SAS）．②∵△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∵∠MDN＝∠NDE＝60°，在△DMN與△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN＝EN，又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，∴MN＝BM+NC；（2）如圖②中，結(jié)論：MN＝NC﹣BM．理由：在CA上截取CE＝BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∴∠MBD＝∠DCE＝90°，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE＝DM，在△MDN和△EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．4．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45度．則有結(jié)論EF＝BE+FD成立；（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）延長(zhǎng)CB到G，使BG＝FD，連接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為EF＝BE﹣DF，證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．5．閱讀下列學(xué)習(xí)內(nèi)容：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．探究思路如下：延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．?△ABG≌△ADF??∠DAF+∠BAE＝60°?∠GAB+∠BAE＝60°∠EAG＝60°??△AEF≌△AEG?EF＝EG則由探究結(jié)果知，圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為EF＝BE+FD．（2）根據(jù)上面的方法，解決問(wèn)題：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，請(qǐng)求出線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，如圖2，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．（3）∵四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，如圖3，旋轉(zhuǎn)ABM至△ADP位置，∴∠PAM＝∠DAM+∠MAB＝90°AP＝AM，AN＝AN，∠PAN＝∠PAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，在△PAN和△MAN中，，∴△PAN≌△MAN，∴MN＝NP，∴MN＝PN＝PD+DN＝BM+DN＝3+2＝5．6．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線(xiàn)段EF、BE、FD之間的關(guān)系是EF＝BE+FD；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EH，∵