boussinsq方程廣義變分原理的半反推法

boussinsq方程廣義變分原理的半反推法

1.boussi現(xiàn)行自由面常用的單次波浪運(yùn)動(dòng)方程近年來(lái)，變分原理在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用。Boussinesq方程組是一類非常重要的數(shù)學(xué)物理模型,能夠有效描述規(guī)則波和不規(guī)則波在復(fù)雜地形上發(fā)生淺化、折射、繞射和反射的效應(yīng).最初的Boussinesq理論考慮了自由面曲率對(duì)淺水長(zhǎng)波流的影響.經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展,該理論已被推廣用于深水短波的研究.許多學(xué)者應(yīng)用Boussinesq方程組或其改進(jìn)形式研究了淺水中的長(zhǎng)波、短波以及波流相互作用,目前該方程已成為模擬近岸區(qū)波浪運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)有力工具.鑒于Boussinesq方程組在物理學(xué)研究中占有重要位置,獲得其變分原理無(wú)論是理論上還是在實(shí)際中都是一件非常有意義的工作.本文采用何氏半反推法2.boussi現(xiàn)行的廣義變分原理對(duì)淺水波而言,其x方向的速度u和自由面的高度h通常滿足下列形式的Boussinesq方程組:方程組(1)中的g為重力加速度,H為水深.方程組(1)可以改寫為下列等價(jià)形式:引入一個(gè)特殊函數(shù)Φ,定義如下:類似地,可以引入另外一個(gè)特殊函數(shù)Π,定義如下:如果采用方程組(3),則方程組(2)的第二式自動(dòng)滿足.此處的目標(biāo)是建立一個(gè)廣義變分公式,它的Euler-Lagrange方程滿足方程組(2)的第一式及方程組(3).為了達(dá)到此目的,這里將使用何吉?dú)g(5)式中的L方程(6)中的F可以自動(dòng)導(dǎo)出方程組(2)中的第一式.現(xiàn)在分別考慮L方程(8)和(9)中的由方程(8)有構(gòu)造待定函數(shù)F說(shuō)明F=F(h)只是h及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù),與u無(wú)關(guān).由方程(9)有將方程組(3)中的第一式代入方程(11)有從而得到將方程(12)代入方程(6),然后將方程(6)代入方程(5),則得到Boussinesq方程組(1)的廣義變分原理公式下面驗(yàn)證獲得的方程(13)所表示的Boussinesq方程組廣義變分原理的正確性.通過(guò)分別求泛函表達(dá)式(13)關(guān)于Φ,u和h的一階變分,并取駐值條件,則可以得到方程組(14)又稱為泛函方程(13)的Euler-Lagrange方程組.顯然方程組(14)的第一式與方程組(2)的第一式是等價(jià)的.另外,由方程組(14)的第三式有Φ如果引入的是方程(4)中所表示的特殊函數(shù)Π,類似地可以得到Boussinesq方程組(1)的另外一個(gè)廣義變分原理公式如果分別求泛函方程(15)關(guān)于Π,u和h的一階變分,并取駐值條件,則可以得到顯然,方程組(16)的第一式與方程組(2)的第二式是等價(jià)的.另外,由方程組(16)的第二式得到Π綜上所述,利用何氏半反推法3.變形boussi現(xiàn)行的廣義變分原理考慮另外一個(gè)水波模型方程組方程組(17)中的u和h分別表示水波在x方向的速度和絕對(duì)高度.在許多有關(guān)研究中,方程組(17)被稱作變形Boussinesq方程組.方程組(17)可以進(jìn)一步改寫為下列等價(jià)形式:引入一個(gè)特殊函數(shù)Φ,定義如下:類似地,也可以引入另外一個(gè)特殊函數(shù)Π,定義如下:如果采用方程組(19),則方程組(18)的第一式自動(dòng)滿足,此處的目標(biāo)是建立一個(gè)廣義變分公式,它的Euler-Lagrange方程分別滿足變形Boussinesq方程組(18)的第二式及方程組(19).為了避免拉格朗日乘子法引起的臨界變分現(xiàn)象,將使用何氏半反推方法方程(21)中的L方程(22)中的F可以自然導(dǎo)出方程組(18)的第二式.現(xiàn)在分別考慮L方程(24)和(25)中的因?yàn)樗詮姆匠?26)和(27)可以構(gòu)造出下列形式的待定函數(shù)F將方程(28)代入方程(22),然后將方程(22)代入方程(21),則得到變形Boussinesq方程組(17)的廣義變分原理公式下面驗(yàn)證獲得的方程(29)所表示的變形Boussinesq方程組廣義變分原理的正確性.分別求泛函方程(29)關(guān)于Φ,u和h的一階變分,并取駐值條件,則得到方程組(30)又稱為泛函方程(29)的Euler-Lagrange方程組.顯然,方程組(30)的第一式與方程組(17)的第二式是等價(jià)的.另外,由方程組(30)的第二式得到Φ類似地,如果引入的是(20)式中的特殊函數(shù)Π,則得到變形Boussinesq方程組的另一個(gè)廣義變分原理公式分別求泛函方程(31)關(guān)于Π,u和h的一階變分,并取駐值條件,則得到顯然,方程組(32)的第一式與方程組(17)的第一式是等價(jià)的.另外,由方程組(32)的第三式得到Π綜上所述,利用何氏半反推法4.利用半反推法獲得廣義變分原理進(jìn)行的應(yīng)用半反推法是何吉?dú)g為了尋求數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的變分原理而提出的,可避免由拉氏乘子法引起的臨界變分現(xiàn)象,在眾多領(lǐng)域已經(jīng)有許多成功的應(yīng)用.本文應(yīng)用半反推法分別