數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-3 誘導(dǎo)公式（分層作業(yè)）

5.3誘導(dǎo)公式（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可求得結(jié)果.【詳解】.故選：C.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可得且，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴.故選：A.4．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高一開學(xué)考試）化簡的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和常見三角函數(shù)值得出結(jié)論即可.【詳解】故選：D5．（2022·西藏拉薩·高一期末）（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】.故選：B二、多選題6．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高一期中）下列結(jié)論中，正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐項分析即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD.7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角滿足，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分為奇數(shù)、為偶數(shù)兩種情況討論，利用誘導(dǎo)公式化簡所求代數(shù)式，即可得解.【詳解】因為，則且，當(dāng)為奇數(shù)時，原式；當(dāng)為偶數(shù)時，原式.故原式的取值可能為、.故選：AC.8．（2022·山東東營·高一期中）在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為的正半軸，終邊經(jīng)過點，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．若為鈍角，則【答案】CD【分析】根據(jù)終邊上的點求出三角函數(shù)值進行計算，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)在第二象限單調(diào)遞減即可解決.【詳解】解：因為角終邊經(jīng)過點，則對于：，故錯誤；對于：，故錯誤；對于：，故正確；對于：因為當(dāng)，單調(diào)遞減，而，即，所以，故正確.故選：CD.三、填空題9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：______.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.10．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知，則______．【答案】##0.75【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】解：由題意得：∵，∴．故答案為：11．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值為______．【答案】8【分析】利用誘導(dǎo)公式對原式進行化簡，然后采取弦化切，再通過三角函數(shù)定義得到值代入即可.【詳解】由題意，知，則原式．故答案為:.12．（2022·湖北·鄖陽中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則__________．【答案】0【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計算．【詳解】，故答案為：0.13．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則______．【答案】1【分析】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式化簡并求值．【詳解】，∴．故答案為：114．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知鈍角終邊上一點的坐標(biāo)為，則________.【答案】【分析】先根據(jù)任意角三角函數(shù)定義得到，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及角的范圍得到的值.【詳解】因為，又因為角為鈍角，所以.故答案為：15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）計算：________．【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得解.【詳解】，故答案為：1四、解答題16．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）利用三角函數(shù)平方關(guān)系，結(jié)合角的象限，計算即可.（1）（2）∵，∴又為第三象限角，∴17．（2022·山東東營·高一期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，即可求得結(jié)果；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)（1）中所求，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有，消去得，解得或因為角是第三象限角，所以，，（2），當(dāng)角是第一象限角時，，當(dāng)角是第三象限角時，，18．（2022·湖北宜昌·高一階段練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)若為第四象限角，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件化簡求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式及弦化切，將代入計算即可；（2）利用及，根據(jù)在第四象限角求解即可.【詳解】（1）由題意得，.（2）由，得，代入，得，因為為第四象限角，所以，，故．19．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）（1）計算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）20.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即得；（2）利用齊次式及同角關(guān)系式即得.【詳解】（1）原式；（2）原式.20．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）（1）化簡；（2）已知關(guān)于的方程的兩根為和，.求實數(shù)以及的值.【答案】（1）；（2），【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）利用韋達定理得到，，再將兩邊平方即可求出，最后由求出.【詳解】解：（1），即.（2）因為關(guān)于的方程的兩根為和，所以，，所以，所以，因為，所以，且，所以，【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求得，將進行弦化切，可得，將代入計算可得答案.【詳解】因為，所以，所以,故選:A.2．（2022·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】B【詳解】根據(jù)題意，sin=sin（2π﹣）=﹣sin，則a=f（sin）=f（﹣sin），cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，則有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，則有c＞a＞b；故選B．二、多選題3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，則下列說法正確的是（

）A．線段與的長均為1 B．線段的長為1C．當(dāng)時，點，關(guān)于軸對稱 D．當(dāng)時，點，關(guān)于軸對稱【答案】ACD【分析】對于A，直接代入公式計算即可；對于B，由結(jié)合勾股定理即可求得的長；對于C，將代入坐標(biāo)即可；對于D，將代入坐標(biāo)即可.【詳解】由勾股定理可得，同理可得，故A正確；由題意得，由勾股定理得，故B錯誤；當(dāng)時，即，即，點，關(guān)于軸對稱，故C正確；當(dāng)時，，即，即，故點，關(guān)于軸對稱，故D正確.故選:ACD.4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式逐項檢驗函數(shù)是否滿足相應(yīng)的性質(zhì)，必要時可利用反例.【詳解】對于A，，故A正確.對于B，，故，故B錯誤.對于C，，故，故C錯誤.對于D，當(dāng)k為奇數(shù)時，；當(dāng)k為偶數(shù)時，，所以.故D正確.故選：AD.5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”.已知，則下列角中，可能與角“廣義互余”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得，根據(jù)“廣義互余”的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式同角關(guān)系判斷各選項的對錯.【詳解】∵，∴，若，則，所以，故A符合條件；，故B不符合條件；，即，又，∴，故C符合條件；，即，又，∴，故D不符合條件.故選：AC.6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，，，則下列說法正確的是（

）A．線段與的長均為1 B．線段的長為1C．當(dāng)時，點，關(guān)于y軸對稱 D．當(dāng)時，點，關(guān)于x軸對稱【答案】ACD【分析】根據(jù)點坐標(biāo)及兩點距離公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求得，且，結(jié)合各項描述、誘導(dǎo)公式、特殊角函數(shù)值判斷它們的正誤.【詳解】由勾股定理得，同理得，故A正確；由題意得，由A及勾股定理得，故B錯誤；當(dāng)時，，即，，即，點，關(guān)于y軸對稱，故C正確；當(dāng)時，，即，，即，故點，關(guān)于x軸對稱，故D正確.故選：ACD三、填空題7．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，將角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則___________.【答案】##【分析】先由三角函數(shù)的定義求得，再利用誘導(dǎo)公式求得，進而求得.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，則，又因為角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，故，所以，故.故答案為：.8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）______．【答案】##【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡，再借助特殊角的三角函數(shù)值計算可得.【詳解】.故答案為:.四、解答題9．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡；(2)若，求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求解.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及余弦在各象限的符號進行求解.（3）利用誘導(dǎo)公式進行大角化小角，負角化正角，再利用特殊角的余弦值進行求解.（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式有：（2）因為，α是第三象限角，所以所以（3）因為，所以.10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，為第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡，則由，可得，而，代值計算即可，（2）由已恬條件可得，然后利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡計算即可.（1）為第二象限角，則..∵，∴.∴.（2），則.∵為第二象限角，∴，，.∴.11．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角的終邊過點．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由終邊上的點可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡求值即可；（2）討論、，結(jié)合終邊上的點分別求出、，進而求目標(biāo)式的值.（1）由題意，，所以．（2）當(dāng)時，，，所以．當(dāng)時，，，所以．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，．12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).(1)化簡；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式將角全部化成，再約分化簡即可.（2）由條件代入解析式得，利用誘導(dǎo)公式求解即可．（1）（2）因為，所以，，故.13．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點與坐標(biāo)原點重合，點在軸的正半軸上，點在第二象限，且，記，滿足．(1)求點的坐標(biāo)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得點的坐標(biāo)．（2）由題意利用誘導(dǎo)公式即可計算求解．（1）因為在第二象限，，所以，所以，又點的坐標(biāo)為，所以（2）．14．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）已知.(1)化簡；(2)若是第四象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡，可得答案；（2）由誘導(dǎo)公式結(jié)合是第四象限角可求得以及，由（1）的結(jié)果可得答案.(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：,所以.(2)由誘導(dǎo)公式可知,則由可得,

又是第四象限角,所以,

所以.15．（2022·遼寧沈陽·高一期中）已知，且函數(shù)．(1)化簡；(2)若，求和的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式直接化簡即可，（2）對平方可求出，再由可得，然后求出，從而可求得的值(1)．(2)由，平方可得，即．∴．又，∴，，∴，∵，∴．16．（2022·全國·高一）（1）已知，求的值．（2）化簡．【答案】（1）sin；；（2）．【分析】（1）化簡已知得sin，再利用誘導(dǎo)公式化簡即得解；（2）直接利用誘導(dǎo)公式化簡即得解.【詳解】（1）由sin，有sin，所以sin；.（2）.17．（2022·北京育才學(xué)校高一階段練習(xí)）已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)4.【分析】(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可求得的值；(2)利用誘導(dǎo)公式化簡原式為，再化為正切即可得解.(1)∵，，∴∴(2)，.18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知正弦三倍角公式：①（1）試用公式①推導(dǎo)余弦三倍角公式（僅用表示）；（2）若角滿足，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，然后由已知等式化簡，即可得到答案；（2）先利用正弦三倍角公式結(jié)合已知的等式，求出，然后利用余弦三倍角公式以及同角之間的關(guān)系式即可求解.【詳解】（1）（2），，解得：，即【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，考查了邏輯推理能力與運算求解能力，屬于較難題.19．（2022·江西撫州·高一期末）已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，點.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點P坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函數(shù)為，，.，，..（3）