隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量課件

第六章

樣本及其分布一、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的常用分布三、抽樣分布定理1第六章

樣本及其分布一、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量1數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是運(yùn)用概率論的知識(shí),對(duì)所要研究的隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行多次觀察或試驗(yàn),研究如何合理地獲得數(shù)據(jù)資料,對(duì)所關(guān)心的問題作出估計(jì)與檢驗(yàn)的一門學(xué)科本章主要介紹隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量等基本概念，并著重介紹幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布。2數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是運(yùn)用概率論的知識(shí),第6.1節(jié)隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量一、總體與個(gè)體、隨機(jī)樣本二、頻率分布和直方圖三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)四、統(tǒng)計(jì)量3第6.1節(jié)隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量一、總體與個(gè)體、隨機(jī)樣本二、頻率一、總體與個(gè)體，隨機(jī)樣本一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.研究對(duì)象的全體稱為總體(母體)，總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體.研究某批燈泡的質(zhì)量…考察國產(chǎn)轎車的質(zhì)量總體總體4一、總體與個(gè)體，隨機(jī)樣本一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們往往關(guān)心每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.該批燈泡壽命的全體就是總體燈泡的壽命國產(chǎn)轎車每公里的耗油量所有國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體5然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們往往關(guān)心每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)

由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性，即相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)值的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性。從而可把此種數(shù)量指標(biāo)看作隨機(jī)變量，我們用一個(gè)隨機(jī)變量或其分布來描述總體。為此常用隨機(jī)變量的符號(hào)或分布的符號(hào)來表示總體。

通常，我們用隨機(jī)變量X,Y,Z,…,等表示總體。當(dāng)我們說到總體，就是指一個(gè)具有確定概率分布的隨機(jī)變量。6由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性，即相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)值的如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，我們關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.總體某批燈泡的壽命壽命X可用一概率分布來刻劃F(x)7如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，我們關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，因此,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,總體這個(gè)概念的要旨是:

總體就是一個(gè)概率分布.8因此,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,總體這個(gè)概念的要旨是:8某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中,個(gè)體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),這是一個(gè)有限總體;而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體可近似地看成一個(gè)無限總體,它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命.

有限總體和無限總體實(shí)例當(dāng)有限總體包含的個(gè)體的總數(shù)很大時(shí),可近似地將它看成是無限總體.9某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組1.樣本的定義為推斷總體的分布及各種特征,按一定的規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn),以獲得有關(guān)總體的信息.這一抽取過程稱為“抽樣”.所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.通常記為樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目n稱為樣本容量.101.樣本的定義為推斷總體的分布及各種特征,按一定的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.但是,一旦取定一組樣本,得到的是n個(gè)具體的數(shù),稱此為樣本的一次觀察值,簡稱樣本值.簡單隨機(jī)樣本抽取樣本的目的是為了利用樣本對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,這就要求樣本能很好的反映總體的特性且便于處理.為此,需對(duì)抽樣提出一些要求,通常有兩條:11容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.但是,滿足上述兩條性質(zhì)的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.簡稱為隨機(jī)樣本.獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣.為了使大家對(duì)總體和樣本有一個(gè)明確的概念,我們給出如下定義:定義6.1一個(gè)隨機(jī)變量X或其相應(yīng)的分布函數(shù)F(x)稱為一個(gè)總體.1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個(gè)與所考察的總體X有相同的分布.2.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.12滿足上述兩條性質(zhì)的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.簡稱為隨機(jī)樣本.獲得定義6.2樣本所有可能取值的全體稱為樣本空間，記為。13定義6.2樣本定理6.1樣本的分布14定理6.1樣本的分布14解例115解例115解例216解例2161717二、頻率分布和直方圖設(shè)連續(xù)型總體X的密度函數(shù)是未知的，是X的一個(gè)樣本觀值．下面介紹一種根據(jù)樣本觀察值來近似地求總體X的概率密度f(x)的圖解法-----頻率直方圖法。其具體方法如下：18二、頻率分布和直方圖設(shè)連續(xù)型總體X的密度函數(shù)是1919取a略小于m，b略大于M，則區(qū)間[a，b]是包含所有樣本值的區(qū)間．

再將區(qū)間[a，b]等分為l個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)記為且每個(gè)分點(diǎn)ti的值應(yīng)比樣本值多取一位小數(shù)．

相應(yīng)地，樣本值也分成了l個(gè)數(shù)組．

20取a略小于m，b略大于M，則區(qū)間[a，b]是每個(gè)小區(qū)間的長度稱為組距，小區(qū)間的個(gè)數(shù)l稱為組數(shù)．

經(jīng)驗(yàn)表明，組數(shù)l要適當(dāng)?shù)倪x定，過小會(huì)掩蓋各組內(nèi)數(shù)據(jù)的變動(dòng)情況，過大則將突出隨機(jī)性的影響而降低穩(wěn)定性，從而看不出明顯的規(guī)律．

組數(shù)l當(dāng)樣本容量n≥50時(shí)應(yīng)以7到18個(gè)為宜，且使每個(gè)小區(qū)間中都有樣本值中的數(shù)據(jù)．

21每個(gè)小區(qū)間的長度稱為組距，小區(qū)間的個(gè)數(shù)l稱為組數(shù)．（2）確定頻數(shù)和頻率：設(shè)第i個(gè)小區(qū)間中樣本值的頻數(shù)，則相應(yīng)的頻率為（1≤i≤l）．根據(jù)伯努利大數(shù)定律，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，應(yīng)有近似等式

22（2）確定頻數(shù)和頻率：設(shè)第i個(gè)小區(qū)間中樣本值的頻數(shù)，則相應(yīng)的．

上面最后一個(gè)近似等式的幾何意義是，在每個(gè)小區(qū)間上用矩形面積近似代替曲邊梯形面積

其中區(qū)間上矩形的高為23上面最后一個(gè)近似等式的幾何意義是，在每個(gè)小區(qū)間上（3）作頻率直方圖：在每個(gè)小區(qū)間上，以小區(qū)間為底、為高作矩形，矩形面積即為，由個(gè)矩形構(gòu)成的圖形就叫做頻率直方圖．

頻率直方圖近似總體密度函數(shù)的圖形，愈大，近似程度愈好．

且樣本容量24（3）作頻率直方圖：在每個(gè)小區(qū)間上，以小區(qū)間為底、為高作矩形例6.2某廠生產(chǎn)圓釘?shù)拈L度L是一個(gè)連續(xù)型隨及變量，從中抽取100個(gè)測量其長度后得數(shù)據(jù)如下：152.2156.9157.3160.9159.5163.8154.8160.4158.5154.2155.1156.9155.5161.9159.1151.6162.3160.4152.9148.6160.2156.1160.4162.7156.3160.1153.5153.6149.1154.2156.5159.9159.9154.9154.7156.1157.7152.5157.7155.0160.9152.6155.5155.5165.5155.1155.7155.2162.8152.9152.0157.1158.6153.6159.8150.9158.3153.3158.5150.5157.2155.8159.9152.0161.1152.5155.0156.7157.5153.7164.7150.0155.0158.9163.7151.5164.4148.1156.0163.6152.7153.8156.9152.7160.7151.1154.1150.8147.0155.6158.8151.8165.8148.5161.2153.8151.3150.5154.0149.6試作出試驗(yàn)數(shù)據(jù)的頻率直方圖．25例6.2某廠生產(chǎn)圓釘?shù)拈L度L是一個(gè)連續(xù)型隨及變量，從中抽解

因數(shù)據(jù)中的最小值，最大值，取將區(qū)間[145.95，165.95]10等分，每個(gè)小區(qū)的長將100個(gè)數(shù)據(jù)分為10組，如表6-1所示

26解因數(shù)據(jù)中的最小值，最大值，取將區(qū)間[145.95，16表6-1各組范圍頻數(shù)fi頻率νi

=fi/100yi=νi/2145.95～147.9510.010.005147.95～149.9550.050.025149.95～151.95100.100.050151.95～153.95160.160.080153.95～155.95200.200.100155.95～157.95150.150.075157.95～159.95120.120.060159.95～161.95100.100.050161.95～163.9560.060.030163.95～165.9550.050.02527表6-1各組范圍頻數(shù)fi頻率νi=fi/100yi=頻率直方圖如圖6-1

從直觀上看，直方圖的上邊近似于正態(tài)概率密度曲線．

圖6-1

28頻率直方圖如圖6-1從直觀上看，直方圖的上邊近似于正態(tài)概率三.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x）是未知的，且為X的一個(gè)樣本值．對(duì)任意實(shí)數(shù)樣本值中不超過則稱Fn（x）為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．

的數(shù)據(jù)的頻數(shù)記為m（x），作Fn（x）=m（x）/n，

（6.4）上面介紹了利用頻率直方圖來近似地求總體X的概率密度，現(xiàn)介紹另一種方法，無論總體X是怎么樣的隨機(jī)變量都可以用，這就是根據(jù)總體X的樣本作出X的“經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)”，它是總體X的分布函數(shù)的良好近似。29三.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x）是未知的，且為例6.3

設(shè)總體X為100個(gè)同類鑄件中每個(gè)鑄件上沙眼的個(gè)數(shù)．從中任取7個(gè)鑄件，檢查每個(gè)鑄件上的沙眼數(shù)，得樣本值0，3，2，1，1，0，1．試求相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．解：樣本值中有四個(gè)不同的數(shù)值0，1，2，3，它們的頻數(shù)依次為2，3，1，1．

30例6.3設(shè)總體X為100個(gè)同類鑄件中每個(gè)鑄件上沙眼的個(gè)數(shù)相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為31相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為31圖6—2的圖形是一條不降的階梯形曲線（圖6－2）．

32圖6—232四、統(tǒng)計(jì)量1.

統(tǒng)計(jì)量的定義由樣本推斷總體特征,需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”,“提煉”.這就需要構(gòu)造一些樣本的函數(shù),它把樣本中所含的信息集中起來.33四、統(tǒng)計(jì)量1.統(tǒng)計(jì)量的定義由樣本推斷總體特是不是例6.434是不是例6.4342.

幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量(樣本矩)的定義(1)樣本平均值(2)樣本方差其觀察值它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息352.幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量(樣本矩)的定義(1)樣本平均值(2)樣其觀察值(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀察值36其觀察值(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀察值36(4)

樣本k階(原點(diǎn))矩其觀察值(5)樣本k階中心矩其觀察值37(4)樣本k階(原點(diǎn))矩其觀察值(5)樣本k階中心樣本矩具有下列性質(zhì):性質(zhì)證明38樣本矩具有下列性質(zhì):性質(zhì)證明383939五、小結(jié)個(gè)體總體有限總體無限總體基本概念:說明1

一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X,我們將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量,統(tǒng)稱為總體X.說明2

在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體,它對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量;當(dāng)總體中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)很大時(shí),在理論上