四川省宜賓市敘州區(qū)二中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則等于（）A． B． C．或 D．2．設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．某市通過隨機(jī)詢問100名不同年級(jí)的學(xué)生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列聯(lián)表：做不到能做到高年級(jí)4510低年級(jí)3015則下列結(jié)論正確的是（）附參照表：0.100.0250.012.7065.0246.635參考公式：，其中A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級(jí)高低有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級(jí)高低無關(guān)”C．有以上的把握認(rèn)為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級(jí)高低有關(guān)”D．有以上的把握認(rèn)為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級(jí)高低無關(guān)”4．若平面四邊形ABCD滿足，則該四邊形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形5．已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．7．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題8．設(shè)，則（）A． B．10 C． D．1009．是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)10．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．611．若某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10 B．20 C．30 D．6012．如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為2.的正方形AOBC內(nèi)，曲和曲線圍成一個(gè)葉形圖陰影部分，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.14．直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于___________.15．校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知矩陣的一個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個(gè)特征值.（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：的最小距離.18．（12分）從1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字中任意取出無重復(fù)的3個(gè)數(shù)字.（I）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？（II）可以組成多少個(gè)比300大的偶數(shù)？（III）從所組成的三位數(shù)中任取一個(gè)，求該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率.19．（12分）某中學(xué)將444名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班54人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，畫出頻率分布直方圖（如下圖）．記成績(jī)不低于94分者為“成績(jī)優(yōu)秀”．根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面4×4列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過4．45的前提下認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．

甲班（A方式）

乙班（B方式）

總計(jì)

成績(jī)優(yōu)秀

成績(jī)不優(yōu)秀

總計(jì)

附：K4＝n(ad-bc)P（K4≥k）

4．45

4．45

4．44

4．45

4．445

k

4．444

4．474

4．746

4．844

5．444

20．（12分）已知數(shù)列滿足：，（R，N*）．（1）若，求證：；（2）若，求證：．21．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.22．（10分）已知.(1)若在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,求的極小值;(2)當(dāng)時(shí),恒有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)圖像，再求解.【詳解】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，所以導(dǎo)函數(shù)圖像是從左至右第三個(gè)，所以，又，即，所以，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)及二次函數(shù)的性質(zhì).2、D【解析】

選項(xiàng)逐一分析，得到正確答案.【詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；B.正確，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；C.正確，因?yàn)槠矫鎯?nèi)存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡(jiǎn)單題型.3、C【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式求得，參照臨界值表即可得到正確結(jié)論.詳解：由公式可得，參照臨界值表，，以上的把握認(rèn)為，“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級(jí)高低有關(guān)”，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計(jì)算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.4、C【解析】試題分析：因?yàn)?所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.考點(diǎn)：向量在證明菱形當(dāng)中的應(yīng)用.點(diǎn)評(píng)：在利用向量進(jìn)行證明時(shí)，要注意向量平行與直線平行的區(qū)別，向量平行兩條直線可能共線也可能平行.5、A【解析】

利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程．【詳解】解：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)，，，，則，，分別把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，兩式相減得：，，直線的斜率，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，屬于中檔題．6、A【解析】

由圖像過點(diǎn)可得，由的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結(jié)合在上單調(diào)，從而得到，由此得到的解析式，結(jié)合圖像，即可得到答案?！驹斀狻恳?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡(jiǎn)可知．另一方面，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，化簡(jiǎn)可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結(jié)合函數(shù)圖形，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知?jiǎng)t，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。7、C【解析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復(fù)合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結(jié)論．解：由于x=10時(shí)，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進(jìn)而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點(diǎn)：全稱命題；復(fù)合命題的真假．8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)為的形式，然后求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得.【詳解】，，.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的平方和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

整理,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,因?yàn)?所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用.10、B【解析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中熟記組合數(shù)的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.11、B【解析】

分析：根據(jù)三視圖得到原圖，再由椎體的體積公式得到結(jié)果.詳解：由三視圖得到原圖是，底面為直角三角形，高為5的直棱柱，沿面對(duì)角線切去一個(gè)三棱錐后剩下的部分．體積為：故答案為B.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.12、C【解析】

欲求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率，須結(jié)合定積分計(jì)算葉形圖（陰影部分）平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式求解．【詳解】聯(lián)立得.由圖可知基本事件空間所對(duì)應(yīng)的幾何度量，滿足所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部所對(duì)應(yīng)的幾何度量：（A）．所以（A）．故選：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了幾何概型及定積分在求面積中的應(yīng)用，考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.14、【解析】直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此可得：直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于:.15、528【解析】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)有(種)(2)當(dāng)兩輛車相鄰時(shí)有(種)(3)當(dāng)三輛車相鄰時(shí)有(種)則共有(種)點(diǎn)睛：本題考查了排列組合問題，由于本題里是三輛車有六個(gè)位置，所以情況較多，需要逐一列舉出來，注意當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)的情況要考慮周全，容易漏掉一些情況，然后利用排列組合進(jìn)行計(jì)算即可．16、1【解析】由雙曲線可知a>0，且焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故實(shí)數(shù)a＝1.點(diǎn)睛：如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）.【解析】

（1）由矩陣運(yùn)算，代入可求得或，即求得另一個(gè)特征值。（2）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化?！驹斀狻浚?）由得：，，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個(gè)特征值為（2）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，將其化為普通方程，得將曲線：化為普通方程，得．所以圓心到直線的距離所以到直線的最小距離為【點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。18、(1).（2）比三百大的數(shù)字有15個(gè).(3).【解析】分析：（1）根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理可知可組成個(gè)個(gè)；（2）第一類：以2結(jié)尾百位有3種選擇，十位有3種選擇，則有9個(gè)，第二類：以4結(jié)尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個(gè)；（3）比300大的數(shù)字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個(gè)位上有3種選擇，則共有36個(gè)數(shù)字，則奇數(shù)共有21個(gè)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得到結(jié)果即可.詳解：（1）百位數(shù)字有5種選擇，十位數(shù)字有4種選擇，各位數(shù)字有3種選擇，根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理可知可組成個(gè)三位數(shù)。（2）各位數(shù)字上有兩類：第一類：以2結(jié)尾百位有3種選擇，十位有3種選擇。則有9個(gè)數(shù)字。第二類：以4結(jié)尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個(gè)數(shù)字。則比三百大的數(shù)字有15個(gè)（3）比300大的數(shù)字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個(gè)位上有3種選擇，則共有36個(gè)數(shù)字，則奇數(shù)共有21個(gè)，則該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率是.點(diǎn)睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問題，然后逐步解決．19、列聯(lián)表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積即為概率及概率等于頻數(shù)比樣本容量，求出“成績(jī)優(yōu)秀”和“成績(jī)不優(yōu)秀”的人數(shù)然后即可填表，再利用附的公式求出的值再與表中的值比較即可得出結(jié)論．試題解析：由頻率分布直方圖可得，甲班成績(jī)優(yōu)秀、成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)分別為77,78，乙班成績(jī)優(yōu)秀、成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)分別為7,6．

甲班（A方式）

乙班（B方式）

總計(jì)

成績(jī)優(yōu)秀

77

7

6

成績(jī)不優(yōu)秀

78

6

87

總計(jì)

57

57

777

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K7的觀測(cè)值k＝100×(12×46-4×38)由于7．767＞7．877，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過7．75的前提下認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)；頻率分布直方圖．20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可；（2）因?yàn)椋∟*），則，然后用反證法證明當(dāng)時(shí)有矛盾，所以原不等式成立即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，因，所以時(shí)結(jié)論也成立．綜合①②可知（N*）成立．（2）因?yàn)椋∟*），則，若，則當(dāng)時(shí)，，與矛盾．所以．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)學(xué)歸納法證明、反證法等知識(shí)，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】分析：（1）先令，再求出，再研究函數(shù)的圖像得到a