浙江省寧波市江口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

浙江省寧波市江口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一容器中有A、B兩種菌，且在任何時刻A、B兩種菌的個數(shù)乘積為定值。為了簡單起見，科學(xué)家用來記錄A菌個數(shù)的資料，其中為A菌的個數(shù)。則下列判斷中正確的個數(shù)為 （

）①；②假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬個，則此時5<<5.5③若今天的值比昨天的值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多了10個 A．0 B．1 C．2 D．3

參考答案：略2.為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C3.已知，則是函數(shù)為偶函數(shù)的

（

）A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略4.已知A，B，C，D是函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，B為軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在軸上的投影為，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知函數(shù)滿足條件：且（其中為正數(shù)），則函數(shù)的解析式可以是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：6.設(shè)P為直線3x+4y+3=0上的動點，過點P作圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積最小時∠P=(

) A．60° B．45° C．30° D．120°參考答案：A考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題．分析：由題意畫出圖形，判斷四邊形面積最小時P的位置，利用點到直線的距離求出PC，然后求出∠P的大小．解答： 解：圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圓心坐標(biāo)（1，1），半徑為1；由題意過點P作圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的兩條切線，切點分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個三角形的面積的和，因為CA⊥PA，CA=1，顯然PC最小時四邊形面積最小，即PC最小值==2．，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故選A．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正確判斷四邊形面積最小時的位置是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．7..函數(shù)的圖象大致為參考答案：A略8.設(shè)是空間兩條直線，，是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是（

）A．當(dāng)時，“”是“∥”成立的充要條件

B．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時，“”是“”的必要不充分條件D．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件參考答案：CC中，當(dāng)時，直線的位置關(guān)系可能平行，可能異面。若，則或者，所以是的既不充分也不必要條件，所以選C.9.將A、B、C、D、E五種不同的文件放入編號依次為1，2，3，4，5，6，7的七個抽屜內(nèi)，每個抽屜至多放一種文件，若文件A、B必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，文件C、D也必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，則文件放入抽屜內(nèi)的滿足條件的所有不同的方法有（

）種．A．192

B．144

C．288

D．240參考答案：D略10.記函數(shù),若曲線上存在點使得,則a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】求出函數(shù)的值域，即，條件有解，轉(zhuǎn)化為在上有解，進行常變量分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，最后確定的取值范圍.【詳解】，所以，若有解，等價于在上有解，即，也就有在上有解，設(shè)，則，由，得為增函數(shù)，由，得為減函數(shù)，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值同時也取得最小值，則為最大，即，要使在上有解，只需，所以的取值范圍是，故本題選C.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的值域、常變量分離，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，則點集A∩B中的整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)的個數(shù)為

．參考答案：7解：如圖可知，共有7個點，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點．12.已知函數(shù)()（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的圖像上存在點與的圖像上的點關(guān)于y軸對稱，則實數(shù)a的取值范圍是____參考答案：【分析】根據(jù)題意先設(shè)上的一點坐標(biāo)為，再由該點關(guān)于y軸對稱寫出上的點的坐標(biāo)為，且兩點滿足橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，則有，對這個式子進行整理化簡得，令，在定義域內(nèi)求的值域，即得a的范圍?！驹斀狻看嬖诤瘮?shù)圖像上的一點與函數(shù)圖像上一點關(guān)于y軸對稱，則有，即，，令，則在上單調(diào)遞增，故.【點睛】本題根據(jù)兩個函數(shù)上的兩個點關(guān)于y軸對稱的條件，可得到含參數(shù)的等式，解題關(guān)鍵在于用分離參數(shù)的方法，在構(gòu)造新函數(shù)的情況下，將求參數(shù)取值范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域。13.已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，那么實數(shù)k的取值范圍是．參考答案：[）【考點】函數(shù)的零點．【分析】將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題；通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論．【解答】解：由f（x）=g（x），∴kx=，∴k=，令h（x）=，∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，∴h（x）=在[，e]內(nèi)的圖象與直線y=k有兩個交點．∴h′（x）=，令h′（x）==0，則x=，當(dāng)x∈[，]內(nèi)h′（x）＞0，當(dāng)x∈[，e]內(nèi)h′（x）＜0，當(dāng)x=，h（x）=，當(dāng)x=e時，h（e）=，當(dāng)x=，h（x）=﹣e2，故當(dāng)k∈[）時，該方程有兩個解．故答案為：[）14.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為，表面積為．參考答案：，

【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖作出棱錐的直觀圖，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計算體積和表面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，作出直觀圖如圖所示：其中底面ABCD是邊長為2正方形，EA⊥底面ABCD，EA=2．∴棱錐的體積V==．棱錐的四個側(cè)面均為直角三角形，EB=ED=2，∴棱錐的表面積S=22+2×+2×=．故答案為，．【點評】本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，體積與表面積計算，屬于中檔題．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓上存在點P，且點P關(guān)于直線的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是__________．參考答案：設(shè)圓上的點(x0,y0)，這個點關(guān)于直線的對稱點Q為(y0,x0)，將Q點代入圓C2上得到(x0－2)2+(y0－1)2=1，聯(lián)立兩個圓的方程得到r2=2x0+2y0－3，設(shè)x0=rcosθ，y0=1+rsinθ，故答案為：.

16.設(shè)函數(shù)的定義域為D，若函數(shù)滿足下列兩個條件，則稱在定義域D上是閉函數(shù)．①在D上是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使在上值域為．如果函數(shù)為閉函數(shù)，則的取值范圍是_______參考答案：

17.(14)設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a=

時,取得最小值.參考答案：-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2017年《詩詞大會》火爆熒屏，某校為此舉辦了一場主題為“愛詩詞、愛祖國”的詩詞知識競賽，從全校參賽的600名學(xué)生中抽出60人的成績（滿分100分）作為樣本.對這60名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，并按，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）若規(guī)定60分以上（含60分）為及格，試估計全校及格人數(shù)；（Ⅱ）若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，估計參加這次知識競賽的學(xué)生的平均成績；（Ⅲ）估計參加這次知識競賽的學(xué)生成績的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）.參考答案：（Ⅰ）樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為，則估計全校的幾個人數(shù)為.（Ⅱ）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則.則估計參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?2.5分.（Ⅲ）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由知，則解得，故估計參加這次知識競賽的學(xué)生成績的中位數(shù)約為73.3分.19.（不等式選講）若不等式的解集是，則實數(shù)

(2)．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，點M(4，)到直線的距離d＝

.參考答案：1,20.（12分）如圖一所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O1分別為BC、AD的中點，將梯形ABOO1沿直線OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如圖二所示的三棱臺AO1D﹣BOC，E為BC的中點．（1）求證：BC⊥平面OO1E；（2）若直線O1E與平面ABCD所成的角的正弦值為，求三棱錐A﹣BOC的體積．參考答案：【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分別為兩底BC、AD的中點，可得OO1⊥BC，因此在三棱臺三棱臺AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，利用線面垂直的判定與性質(zhì)可得OO1⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得：OE⊥BC，即可證明．（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，可得∠BOC=90°．以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．設(shè)OO1=m，設(shè)平面ABCD的一個法向量為=（x，y，z），則，可得，利用設(shè)直線O1E與平面ABCD所成的角為θ，sinθ==，即可得出．解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分別為兩底BC、AD的中點，∴OO1⊥BC，因此在三棱臺三棱臺AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC=O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO=OC，E為BC的中點，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE=O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC=90°．以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．設(shè)OO1=m，由題意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．∴=（2，0，﹣m），=（﹣4，4，0），=（2，2，﹣m）．設(shè)平面ABCD的一個法向量為=（x，y，z），則，令x=1，則y=1，z=，即=，設(shè)直線O1E與平面ABCD所成的角為θ，則sinθ====，解得m=或m=2，∴VA﹣BOC===或．【點評】：本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰三角形與等腰梯形的性質(zhì)、線面角的計算公式、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.(本題12分)如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，側(cè)面，△是等邊三角形，，，是線段的中點．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．參考答案：(1)見解析(2)【知識點】空間中的垂直關(guān)系；空間角與距離的求法解析：（1）證明：因為側(cè)面，平面，

所以．…………2分又因為△是等邊三角形，是線段的中點，所以．

因為，所以平面．……4分

而平面，所以．………5分（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，．，，．設(shè)為平面的法向量．由

即令，可得．……9分設(shè)與平面所成的角為．．所以與平面所成角的正弦值為．……12分【思路點撥】（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和正三角形性質(zhì)，得AD⊥EP且AB⊥EP，從而得到PE⊥平面ABCD．再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得PE⊥CD；（II）以E為原點，EA、EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可得E、C、D、P各點的坐標(biāo)，從而得到向量、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積等于0的方法，可