數(shù)學人教A版高中必修一（2019新編）2-2 基本不等式（第1課時）（分層作業(yè)）

2.2基本不等式（第1課時）（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·廣東·江門市廣雅中學高一期中）函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，所以，當且僅當，即時取等號；故選：D2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高一期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接使用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為正數(shù)滿足，所以有，當且僅當時取等號，故選：B3．（2021·吉林·延邊二中高一階段練習）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式比較.【詳解】因為，則，又，所以.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系及基本不等式的運用．屬于簡單題．4．（2021·全國·高一專題練習）若實數(shù)，滿足，且.則下列四個數(shù)中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】由題知：，且，所以，，故排除D.因為，故排除A.因為，故排除C.故選：B5．（2021·江蘇·星海實驗中學高一階段練習）若，有下面四個不等式：（1）；（2），（3），（4）.則不正確的不等式的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)可以推理得到（1）不正確，（4）不正確，（3）正確；由基本不等式可判斷（2）正確．【詳解】因為，所以，成立，所以（1）不正確，（4）不正確；因為，所以（3）正確；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正確．故選：C6．（2021·湖北黃石·高一期中）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為；故選：C7．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以．因為x，y都是正數(shù)，由基本不等式有：，所以，當且僅當即時取“＝”．故A，C，D錯誤.故選：B．二、多選題8．（2020·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一期中）已知，且.則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】結(jié)合基本不等式對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】當時，，所以BD選項錯誤.A，，當且僅當時，等號成立，A正確.C，，，當且僅當時，等號成立，C正確.故選：AC9．（2022·江西·高一期末）已知，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，B，根據(jù)比較法判斷C，根據(jù)基本不等式判斷D.【詳解】對于A，因為，，所以，所以A正確；對于B，由，當時，，所以B不正確；對于C，因為，，所以，故，所以C正確；對于D，因為，所以均值不等式得，所以D正確；故選：ACD.10．（2022·全國·高一課時練習）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，或者做差法，即可判斷選項.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，若，，則，即，故C正確；對于D，當，時，滿足，但，故D不正確．故選：ABC．三、填空題11．（2022·廣西柳州·高一期末）若，則的最小值為___________.【答案】0【分析】構(gòu)造，利用基本不等式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：012．（2022·四川·成都七中高一期末）已知點在直線上，當時，的最小值為______．【答案】【分析】利用均值不等式求解即可.【詳解】因為點在上，所以.所以，當且僅當時等號成立.故答案為：13．（2022·福建省龍巖第一中學高一階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，則的最大值為________．【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性及最小值求出，再利用基本不等式“和定積最大”，求解最大值.【詳解】單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[1，2]上，所以，因為，所以當且僅當時，等號成立.故答案為：14．（2021·江蘇·無錫市市北高級中學高一期中）已知，，且滿足，則的最大值為__________.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求解即可【詳解】因為，，且滿足，則當且僅當時取等號，所以的最大值為3.故答案為：15．（2022·全國·高一）已知，，，則在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.（寫出所有正確命題的序號）【答案】①②④【分析】對①，可以利于基本不等式證明；對于②③④⑤可以分析判斷得解.【詳解】①，（當且僅當時等號成立），所以正確；②，要證，只需證只需證，顯然成立，所以正確；③，只需證只需證只需證，與已知不符，所以錯誤；④，要證，只需證只需證，顯然成立，所以正確；⑤，要證，只需證只需證只需證只需證，與①不符，所以錯誤.故答案為：①②④16．（2020·江蘇·高一單元測試）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.【答案】④【分析】結(jié)合基本不等式進行逐個判定，①③直接利用基本不等式可判定正誤，②④通過變形可得正誤.【詳解】因為（當且僅當a＝b時，等號成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；故④成立.故答案為：④.四、解答題17．（2021·全國·高一專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：【分析】對不等式左側(cè)每個因式應(yīng)用基本不等式即可得到結(jié)論.【詳解】都是正數(shù)，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號），即.18．（2022·全國·高一）已知，求證.【分析】直接寫出三個重要不等式相加即得證.【詳解】∵，①，②，③①+②+③得；.∴(當且僅當?shù)忍柍闪?.19．（2021·江蘇·高一課時練習）證明：（1）；（2）.【分析】（1），利用基本不等式即可證明.（2），利用基本不等式即可證明.【詳解】（1），當且僅當時，即時，等號成立.（2），當且僅當時取等號，此時，顯然的值不存在，所以等號不成立，所以.20．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）請解決下列兩個問題：(1)求函數(shù)的最小值；(2)已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式0的解集.【答案】(1)8；(2)【分析】利用基本不等式求函數(shù)的最小值易知，是方程的解，求出就可求出下一個不等式的解.（1），當且僅當時，等號成立.故的最小值為8.（2）因為關(guān)于的不等式的解集為，所以方程的實數(shù)根為和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集為.21．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）已知集合．(1)設(shè)，求的取值范圍；(2)對任意，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意，再結(jié)合（1）即可證明.（1）解：若，又，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，

故的取值范圍為．（2）證明：，當且僅當時取等號．22．（2022·全國·高一課時練習）（1）設(shè)，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，用基本不等式求最大值即可；（2）將變形為，整理后用基本不等式求最值.【詳解】（1）因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為；（2）因為，，所以，．又，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．23．（2022·全國·高一課時練習）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）9；（2）．【分析】（1）由于，則，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于，變形得，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9．（2）因為，所以，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．24．（2022·全國·高一單元測試）若，，求證：．【分析】連續(xù)使用兩次基本不等式即可求證【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時，等號成立．又，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當，即時取等號．25．（2021·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）（1）證明：若，，則．（2）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)證明即可，（2）根據(jù)題意利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論【詳解】（1）證明：因為，，所以，，所以，即，所以，得證；（2）因為都是正數(shù)，所以（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；所以（當且僅當時取等號），即．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習）若，則有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，首先取相反數(shù)，再嘗試取等號，可得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故有最大值．故選：D.2．（2021·河南·商丘市第一高級中學高一階段練習）在商丘一高新校區(qū)某辦公室有一臺質(zhì)量有問題的壞天平，某物理老師欲修好此天平，經(jīng)仔細檢查發(fā)現(xiàn)天平兩臂長不等，其余均精確，有老師要用它稱物體的質(zhì)量，他將物體放在左、右托盤各稱一次，取兩次稱重結(jié)果分別為，，設(shè)物體的真實質(zhì)量為，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用杠桿原理和基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)天平的左、右臂長分別為，，物體放在左、右托盤稱得的質(zhì)量分別為，，真實質(zhì)量為，由杠桿平衡原理知：，，由上式得，即，由于，故，由基本不等式，得.故選：C.3．（2021·遼寧·沈陽二中高一階段練習）若a，b，c均為正實數(shù)，則三個數(shù)，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2【答案】D【分析】對于選項ABC可以舉反例判斷，對于選項D,可以利用反證法思想結(jié)合基本不等式，可以確定，，至少有一個不小于2，從而可以得結(jié)論．【詳解】解：A.都不大于2，結(jié)論不一定成立，如時，三個數(shù)，，都大于2，所以選項A錯誤；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如則，所以選項B錯誤；C.至少有一個不大于2，不一定成立，因為它們有可能都大于2，如時，三個數(shù)，，都大于2，所以選項C錯誤.由題意，∵a，b，c均為正實數(shù)，∴．當且僅當時，取“=”號，若，，，則結(jié)論不成立，∴，，至少有一個不小于2，所以選項D正確；故選：D．4．（2022·廣東·華南師大附中高一期末）若正實數(shù)滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2【答案】A【分析】結(jié)合基本不等式及其變形形式分別檢驗各選項的結(jié)論是否成立即可.【詳解】因為正實數(shù)滿足所以，當且僅當，，即取等號，故A正確、C錯誤．，當且僅當，，即取等號，故B、D錯誤．故選：A5．（2022·湖北恩施·高一期末）若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】化簡，再根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】因為，，所以(當且僅當時，等號成立)，所以的最小值是20.故選：C二、多選題6．（2022·全國·高一課時練習）2022年1月，在世界田聯(lián)公布的2022賽季首期各項世界排名中，我國一運動員以1325分排名男子100米世界第八名，極大地激勵了學生對百米賽跑的熱愛．甲、乙、丙三名學生同時參加了一次百米賽跑，所用時間（單位：秒）分別為，，．甲有一半的時間以速度（單位：米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先利用時間和速度的關(guān)系表示三人的時間，再利用不等式的關(guān)系，結(jié)合選項，比較大小，即可判斷選項.【詳解】由題意，所以，，，根據(jù)基本不等式可知，故，當且僅當時等號全部成立，故A選項正確，B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤．故選：AC．7．（2021·徐州市第三十六中學（江蘇師范大學附屬中學）高一期中）設(shè)a＞0，b＞0，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判斷；B.利用作差法判斷；C.利用基本不等式判斷；D.利用作差法判斷.【詳解】A.，當且僅當時，等號成立，故正確；B.因為，正負不定，故錯誤；C.，當且僅當，時，等號成立，故正確；D.，故正確；故選：ACD8．（2021·遼寧·高一期中）下列說法中，正確的有（

）A．的最小值是2B．的最小值是2C．若，，，則D．若，，，則【答案】CD【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式逐項分析即得.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，，當且僅當，即時取等號，顯然不可能，故B錯誤；對于C，由，可得，即，故C正確；對于D，由，，，可知，所以，故D正確.故選：CD.9．（2021·新疆·沙灣縣第一中學高一期中）下列命題正確的是（

）A．，B．若，則的最小值為4C．若，則的最小值為3D．若，則的最大值為2【答案】AD【分析】由配方法和基本不等式依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，，A正確；對于B，若，則，當且僅當即時取等，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等，由于無解，則的最小值取不到3，C錯誤；對于D，，整理得，當且僅當即時取等，D正確.故選：AD.三、填空題10．（2022·全國·高一課時練習）當時，求函數(shù)的值域為________．【答案】【分析】首先根據(jù)判斷的正負，再將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)均值不等式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以，則函數(shù)的值域為.故答案為：.11．（2022·全國·高一課時練習）若，，，則當______時，取得最小值．【答案】【分析】由題知，進而分和兩種情況，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，，所以，即．當時，，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值；當時，，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．綜上所述，當時，取得最小值．故答案為：12．（2022·吉林·長春市第二中學高一期末）已知，，且，則的最小值為________.【答案】12【分析】，展開后利用基本不等式可求．【詳解】∵，，且，∴，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為12．故答案為：12．13．（2022·廣東廣州·高一期末）在中，記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為______【答案】【分析】利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.【詳解】（當且僅當時取等號）.令，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標函數(shù)上，表示圓弧上一點到點點的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當且僅當，即三角形為等邊三角形時，取得最大值.故答案為：.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理求范圍問題，涉及線性規(guī)劃以及均值不等式，屬綜合困難題.四、解答題14．（2022·全國·高一課時練習）已知均為正實數(shù)．(1)求證：．(2)若，證明：．【分析】（1）將、、三式相加可證明；（2）由條件可得，然后可證明.（1）因為均為正實數(shù)，所以（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），以上三式相加，得（當且僅當時等號成立），所以（當且僅當時等號成立），即（當且僅當時等號成立）．（2）由題可得，則左邊，當且僅當，，，，即時取“＝”．故成立．15．（2022·全國·高一課時練習）已知a，b，c均為正實數(shù)，求證：(1)；(2)．【分析】（1）將左邊變形為，然后利用基本不等式可證得結(jié)論，（2）利用可證得，同理可得，，3個式相加可證得結(jié)論.（1）證明：左邊，當且僅當時取“＝”．故．（2）證明：因為，當且僅當時取“＝”，所以，所以，所以，①同理，當且僅當時取取“＝”，②，當且僅當時取“＝”．③①+②+③，得，當且僅當時等號成立．16．（2021·河南·高一期中）已知、、都是正數(shù)．(1)求證：；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將所證不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，利用基本不等式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）化簡得出，利用基本不等式可得出關(guān)于的二次不等式，解之即可.(1)證明：要證，左右兩邊同乘以可知即證，即證．因為、、都是正數(shù)，由基本不等式可知，，，當且僅當時，以上三式等號成立，將上述三個不等式兩邊分別相加并除以，得．所以，原不等式得證．(2)解：，因為，當且僅當時等號成立，所以，，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為．17．（2022·全國·高一課時練習）某光伏企業(yè)投資萬元用于太陽能發(fā)電項目，年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來萬元的收入．假設(shè)到第年年底，該項目的純利潤為萬元．（純利潤累計收入總維修保養(yǎng)費用投資成本）(1)寫出純利潤的表達式，并求該項目從第幾年起開始盈利．(2)若干年后，該公司為了投資新項目，決定轉(zhuǎn)讓該項目，現(xiàn)有以下兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以萬元轉(zhuǎn)讓該項目；②純利潤最大時，以萬元轉(zhuǎn)讓該項目．你認為以上哪種