圓周率π的近似計(jì)算方法

圓周率兀的近似計(jì)算方法班級 學(xué)號 姓名眾所周知，圓周率口是平面上圓的周長與直徑之比，它等于3.1415926...。古代人把3作為它的近似值。n是一個非常重要的常數(shù).一位德國數(shù)學(xué)家評論道:〃歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以做為衡量這個這家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的重要標(biāo)志.〃古今中外很多數(shù)學(xué)家都孜孜不倦地尋求過n值的計(jì)算方法.古人計(jì)算圓周率，一般是用割圓法（不斷地利用勾股定理，來計(jì)算正N邊形的邊長）。即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長。公元263年，劉徽通過提出著名的割圓術(shù)，得出n=3.14，通常稱為"徽率"，他指出這是不足近似值。割圓術(shù)用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率n=3927/1250=3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計(jì)算得出這個結(jié)果，需要割到3072邊形。后來祖沖之通過割圓法求得圓周率3.1415926VnV3.1415927，得到n的兩個近似分?jǐn)?shù)即：約率為22/7；密率為355/113。他算出的n的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”。我們再回頭看一下國外取得的成果。1150年，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二計(jì)算出n=3927/1250=3.1416。1424年，中亞細(xì)亞地區(qū)的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡西著《圓周論》，計(jì)算了3x228=805,306,368邊內(nèi)接與外切正多邊形的周長，求出n值，他的結(jié)果是：n=3.14159265358979325有十七位準(zhǔn)確數(shù)字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。在日本，十七世紀(jì)關(guān)孝和重要著作《括要算法》卷四中求圓周率時創(chuàng)立零約術(shù)，其實(shí)質(zhì)就是用加成法來求近似分?jǐn)?shù)的方法。他以3、4作為母近似值，連續(xù)加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學(xué)生對這種按部就班的笨辦法作了改進(jìn)，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，這樣從3、4出發(fā)，六次加成到約率，第七次出現(xiàn)25/8，就近與其緊鄰的22/7加成，得47/15，依次類推，只要加成23次就得到密率。16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)利用阿基米德的方法計(jì)算n近似值，用6x216正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的n值。17世紀(jì)初，德國人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r間鉆研這個問題。他從正方形開始將新的十進(jìn)制與早的阿基米德方法結(jié)合起來的，一直推導(dǎo)出了

有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率n被稱為"魯?shù)婪驍?shù)"。但是，用幾何方法求其值，計(jì)算量很大，這樣算下去，窮數(shù)學(xué)家一生也改進(jìn)不了多少。17世紀(jì)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析使n的計(jì)算歷史也隨之進(jìn)入了一個新的階段。這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計(jì)算，利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來算n。在15932 ”2+.龍Ji+ +、卮年，韋達(dá)給出板一習(xí)'—2 2 ……這一不尋常的公式是n的最早分析表達(dá)式。甚至在今天，這個公式的優(yōu)美也會令我們贊嘆不已。它表明僅僅借助數(shù)字2,通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出n值。接著有多種表達(dá)式出現(xiàn)。如沃利斯足2-2-4-4-6-6-8-B1650年給出：2 \-3-3A-5-511一些計(jì)算圓周率的經(jīng)典的常用公式:梅欽公式兀二16 -4arctg-^—tJ 1LJJ# xaX5X7 / X211"1皿印”■百+甘-下十…+(T)無很1914年，印度數(shù)學(xué)家SrinivasaRamanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計(jì)算公式，這是其中之一。這個公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到8位的十進(jìn)制精度。1985年Gosper用這個公式計(jì)算到了圓周率的17,500,000位。1989年，David&GregoryChudnovsky兄弟將Ramanujan公式改良成為：1 (-1/(671)!13591409+545140134^T=12J頑頑p 64。320心這個公式被稱為Chudnovsky公式，每計(jì)算一項(xiàng)可以得到15位的十進(jìn)制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用這個公式計(jì)算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一個更方便于計(jì)算機(jī)編程的形式是：426880山0005J1=(6打)!(545140134打+]359]409)乙 (用)[3目)!(-640320)*J1=Bailey-Borwein-Plouffe算法兀項(xiàng)上2L_L)161118口+1 8a+48tt+58zi+6這個公式簡稱BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同發(fā)表。它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法，可以計(jì)算圓周率的任意第n位，而不用計(jì)算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計(jì)算提供了可行性。1997年，F(xiàn)abriceBellard找到了一個比BBP快40%的公式兀-±元(f(— + +64^)10244n+l4n+310a+l10a+310zt+510n+710zt+97現(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值，有十幾位已經(jīng)足夠了。如果用LudolphVanCeulen算出的35位精度的圓周率值，來計(jì)算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。美國天文學(xué)家西蒙?紐克姆的話來說明這種計(jì)算的實(shí)用價值："十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個量。"另外值得一提的是兀的其他計(jì)算方法。在1777年出版的《或然性算術(shù)實(shí)驗(yàn)》一書中，蒲豐提出了用實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算n。這個實(shí)驗(yàn)方法的操作很簡單：找一根粗細(xì)均勻，長度為d的細(xì)針，并在一張白紙上畫上一組間距為l的平行線(方便起見，常取l=d/2)，然后一次又一次地將小針任意投擲在白紙上。這樣反復(fù)地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)，于是就可以得到n的近似值。因?yàn)槠沿S本人證明了針與任意平行線相交的概率為p=2l/nd利用這一公式，可以用概率方法得到圓周率的近似值。在一次實(shí)驗(yàn)中，他選取l=d/2，然后投針2212次，其中針與平行線相交704次，這樣求得圓周率的近似值為2212/704=3.142。當(dāng)實(shí)驗(yàn)中投的次數(shù)相當(dāng)多時，就可以得到兀的更精確的值。1850年，一位叫沃爾夫的人在投擲5000多次后，得到n的近似值為3.1596。目前宣稱用這種方法得到最好結(jié)果的是意大利人拉茲瑞尼。在1901年，他重復(fù)這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，作了3408次投針，求得n的近似值為3.1415929，這個結(jié)果是如此準(zhǔn)確，以致于很多人懷疑其實(shí)驗(yàn)的真?zhèn)?。如美國猶他州奧格登的國立韋伯大學(xué)的L?巴杰就對此提出過有力的質(zhì)疑。不過，蒲豐實(shí)驗(yàn)的重要性并非是為了求得比其它方法更精確的n值。蒲豐投針問題的重要性在于它是第一個用幾何形式表達(dá)概率問題的例子。計(jì)算n的這一方法，不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且它開創(chuàng)了使用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計(jì)算的前導(dǎo)。在用概率方法計(jì)算n值中還要提到的是：R?查特在1904年發(fā)現(xiàn)，兩個隨意寫出的數(shù)中，互素的概率為6/兀2。1995年4月英國《自然》雜志刊登文章，介紹英國伯明翰市阿斯頓大學(xué)計(jì)算機(jī)