數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）3-3 冪函數(shù)（分層作業(yè)）

3.3冪函數(shù)（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義逐個(gè)辨析即可【詳解】?jī)绾瘮?shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個(gè)故選：B2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)?，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.3．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則下列結(jié)果正確的是（

）A．x=2 B．x=3 C．x=2或x=3 D．以上都不對(duì)【答案】D【解析】利用a0=1(a≠0)和1α=1(α∈R)兩種情況求解即可【詳解】解：∵a0=1(a≠0)，∴若，則x=2；又∵1α=1(α∈R)，∴若，則綜上可知，x=2或故選：D4．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖為某體育賽事舉重成績(jī)與運(yùn)動(dòng)員體重之間關(guān)系的折線圖，下列模型中，最能刻畫舉重成績(jī)（單位：千克）和運(yùn)動(dòng)員體重（單位：千克）之間的關(guān)系的是（

）A． B．C． D．（，且）【答案】A【分析】根據(jù)折線圖和冪函數(shù)的圖像特征,分析可得.【詳解】因?yàn)檎劬€圖是單調(diào)遞增且越來越緩，而冪函數(shù)在時(shí)也是單調(diào)遞增且越來越緩，因此最能刻畫舉重成績(jī)和運(yùn)動(dòng)員體重之間關(guān)系的是，故選：A．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn) B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限C．如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同 D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)【答案】D【分析】通過舉反例可判斷A、C項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)集合偶函數(shù)的定義可判斷D項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不過點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象過第一、三象限，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)不相同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，故D項(xiàng)正確．故選：D．6．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知分別取這四個(gè)值，則與曲線相應(yīng)的依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以相應(yīng)曲線的依次為.故選：A7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【分析】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】?jī)绾瘮?shù)為偶函數(shù)，，且為偶數(shù)，則實(shí)數(shù)，故選：C8．（2020·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）圖中表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（是常數(shù)，且）圖象的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到或，分情況得到和的圖像即可得到答案【詳解】解：因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一?二?四象限，正比例函數(shù)經(jīng)過二?四象限，選項(xiàng)C滿足；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一?三?四象限，正比例函數(shù)經(jīng)過二?四象限，沒有選項(xiàng)滿足；故選：C9．（2020·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案【詳解】解：對(duì)于，是二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意故選：B二、多選題10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域?yàn)椤敬鸢浮緾D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式和圖象經(jīng)過的點(diǎn)求出，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則的圖象不經(jīng)過點(diǎn)，A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，C正確；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B錯(cuò)誤，D正確．故選：CD.11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在其定義域上遞減B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是一條直線C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】CD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在(-∞，0)和(0，+∞)上遞減，不能說在定義域上遞減，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，其圖象是去掉點(diǎn)的直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，所以C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，其圖象與軸只有個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題12．（2020·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高一期中）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________.【答案】【分析】設(shè)，由可求得的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)，則，可得，，因此，.故答案為：.13．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），那么這個(gè)冪函數(shù)的解析式為___________．【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)，由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，知，由此能求出這個(gè)冪函數(shù)的解析式．【詳解】設(shè)冪函數(shù)，∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴這個(gè)冪函數(shù)的解析式為．故答案為：．14．（2018·浙江·杭州市臨安區(qū)教育研訓(xùn)中心高一期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的解析式為=__________．【答案】##【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)解析式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可.【詳解】由題意知，設(shè)冪函數(shù)的解析式為為常數(shù))，則，解得，所以.故答案為：15．（2022·湖北黃石·高一期末）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為______．【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義，冪函數(shù)的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得m=1或m=-3，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以實(shí)數(shù)m的值為-3.故答案為：-316．（2021·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）冪函數(shù)的定義域?yàn)開_____;【答案】【分析】利用根式的性質(zhì)求函數(shù)定義域.【詳解】由根式的性質(zhì)知：，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：17．（2019·江西上饒·高一階段練習(xí)）求函數(shù)的減區(qū)間________．【答案】【分析】先求函數(shù)的定義域，再求內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，由于外層函數(shù)為[0，＋∞）上的增函數(shù)，故內(nèi)層函數(shù)的單減區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，在上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴函數(shù)的單減區(qū)間是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，特別要注意先求函數(shù)的定義域.18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則______．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性知，即可確定的可能值，討論并判斷對(duì)應(yīng)奇偶性，即可得結(jié)果.【詳解】由題知：，所以的值可能為，，．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則為非奇非偶函數(shù)，不符合題意．綜上，．故答案為：19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，滿足，則_________．【答案】【分析】利用冪函數(shù)定義設(shè)，由，求解，從而得的解析式，即可求值.【詳解】解：函數(shù)是冪函數(shù)，設(shè)，又，所以，即，所以，得所以，則.故答案為：.四、解答題20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小.（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較大小.（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以．（2）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，所以，所以．（3），，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以．21．（2022·全國(guó)·高一）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間，值域?yàn)椋痉治觥浚?）待定系數(shù)法去求函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．(1)設(shè)，則，則，∴函數(shù)的解析式為．(2)因?yàn)椋嗪瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間，值域?yàn)椋?2．（2020·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是冪函數(shù)，且圖象過點(diǎn)(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)當(dāng)x<0時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并給出證明．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增；證明見解析【分析】（1）由冪函數(shù)的解析式求得時(shí)的表達(dá)式，再根據(jù)奇函數(shù)定義求解；（2）根據(jù)單調(diào)性定義判斷證明．(1)由題意時(shí)，設(shè)，則，，所以，為奇函數(shù)，所以，時(shí)，，所以；(2)時(shí)，，設(shè)的任意的兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，且，則，所以，所以時(shí)，是增函數(shù)．23．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，.(1)求方程的解集；(2)定義：.已知定義在上的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.【答案】(1)(2)(3)圖象見解析，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意可得，平方即可求解.(2)由題意比較與的大小，從而可得出答案.(3)由（2）得到的函數(shù)關(guān)系，作出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.（1）由，得且，解得，；所以方程的解集為（2）由已知得.（3）函數(shù)的圖象如圖實(shí)線所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其最小值為1.24．（2022·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高一期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)()，函數(shù)為奇函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式及實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用的數(shù)單調(diào)性定義證明【答案】(1)；(2)在（-1，1）上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）首先代點(diǎn)，求函數(shù)的解析式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求，再驗(yàn)證；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)，作差，判斷符號(hào)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.(1)由條件可知，所以，即，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，滿足是奇函數(shù)，所以成立；(2)由（1）可知，在區(qū)間上任意取值，且，，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【能力提升】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征判斷即可【詳解】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.故選：A2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件知，，可得m＝1．再利用函數(shù)的單調(diào)性，分類討論可解不等式.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，解得．又，故m＝1或2．當(dāng)m＝1時(shí)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意；當(dāng)m＝2時(shí)，的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，舍去，故m＝1．不等式化為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或．故應(yīng)選：D．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出分段函數(shù)在各段上的函數(shù)值集合，再根據(jù)給定值域，列出不等式求解作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，的值域，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)含參函數(shù)的解析式和函數(shù)特殊值判斷函數(shù)可能的圖像.【詳解】根據(jù)可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，而當(dāng)為其他值時(shí)，B,C,D均有可能出現(xiàn).故選：A6．（2021·上海市徐匯中學(xué)高一階段練習(xí)）①函數(shù)值域?yàn)?；②函?shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)在上恒成立；④若任意都有.已知函數(shù)：①；②；③；④.其中同時(shí)滿足以上四個(gè)條件的函數(shù)有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分別作出①；②；③；④四個(gè)函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象逐一判斷四個(gè)函數(shù)是否滿足①②③④四個(gè)條件即可求解.【詳解】分別作出①；②；③；④四個(gè)函數(shù)的圖象：由圖知，四個(gè)函數(shù)的值域都是都滿足①；由圖知：①；②；③圖象關(guān)于軸對(duì)稱，都是偶函數(shù)，④的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故④不滿足條件②；排除函數(shù)④；條件③：函數(shù)在上恒成立；由函數(shù)單調(diào)性的定義可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，由四個(gè)函數(shù)圖象可知，①，③，④滿足條件③，函數(shù)②不滿足條件③，排除函數(shù)②；對(duì)于條件④：函數(shù)①：如圖任意都有，故函數(shù)①滿足條件④，函數(shù)③：如圖任意都有，故函數(shù)③滿足條件④，所以同時(shí)滿足以上四個(gè)條件的函數(shù)有函數(shù)①、函數(shù)③，共有個(gè)，故選：C二、多選題7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若函數(shù)在上滿足：對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先通過分析，得到若在上單調(diào)遞增，則函數(shù)為“理想函數(shù)”，然后依次判斷四個(gè)選項(xiàng)能否滿足題意.【詳解】不妨設(shè)，則由題意可得，即，由單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即若在上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．A選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；B選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；C選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合“理想函數(shù)”的定義；D選項(xiàng)中．該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義．故選：ABD．8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)，求得函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A、C項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用平方差證明不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故A正確，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD.9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【分析】根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確答案.【詳解】對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD．10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．命題若，則的否定為命題若，則B．冪函數(shù)在上為增函數(shù)的充要條件為C．“正方形是平行四邊形”是一個(gè)全稱量詞命題D．至少有一個(gè)整數(shù)，使得為奇數(shù)【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，全稱命題的否定是特稱命題；B選項(xiàng)，可以先由為冪函數(shù)求出的值，再代回函數(shù)的的解析式判斷單調(diào)性；C選項(xiàng)可以改寫成全稱命題的標(biāo)準(zhǔn)形式；D選項(xiàng)舉反例【詳解】對(duì)于A命題：若，則的否定為命題：存在實(shí)數(shù)，使得.所以A錯(cuò)誤對(duì)于B因?yàn)闉閮绾瘮?shù)所以，則或當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減.不合題意應(yīng)舍去.所以B正確對(duì)于C“正方形是平行四邊形”即“任意一個(gè)正方形都是平行四邊形”，顯然是一個(gè)全稱量詞命題.所以C正確對(duì)于D當(dāng)為奇數(shù)，則為偶數(shù)，所以為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以為偶數(shù)綜上，若為整數(shù)，則為偶數(shù)所以D錯(cuò)誤故選：BC三、填空題11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意的，，且，滿足，若a，，且，則______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函數(shù)為冪函數(shù)，可得m＝－1或m＝2，又由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得m＝－1或m＝2．當(dāng)m＝－1時(shí)，；當(dāng)m＝2時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意的，，且，滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，即．故答案為：?12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為______．【答案】2【分析】利用冪函數(shù)定義求出m值，再借助冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故答案為：13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出的值，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式解出即可.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，，解得，，或．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿足條件，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)不滿足條件，則不等式等價(jià)為，即，在R上為增函數(shù)，，解得：.故答案為：.14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)冪函數(shù)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①函數(shù)在第二象限內(nèi)有圖象；②對(duì)于任意兩個(gè)不同的正數(shù)，，都有恒成立.請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)冪函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）【分析】利用冪函數(shù)的圖像、單調(diào)性得到指數(shù)滿足的條件，寫出一個(gè)滿足題意的冪函數(shù)即可.【詳解】由題意可得，冪函數(shù)需滿足在第二象限內(nèi)有圖象且在上是單調(diào)遞減即可，所以，故滿足上述條件的可以為.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，結(jié)合冪函數(shù)的定義域可確定m的值，即得函數(shù)解析式;（2）將在上恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最小值大于0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得不等式，解得答案．（1）∵是冪函數(shù)，∴，∴或2.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函數(shù)在上的最小值大于0.∵圖象的對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞減，∴，由，得，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，(1)求的解析式及定義域；(2)設(shè)函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減．【答案】(1)，定義域?yàn)椋?2)證明見解析【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得答案；（2）求出利用單調(diào)性定義證明即可（1）因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，若時(shí)，在上單調(diào)遞增，不滿足題意，所以，，定義域?yàn)?；?）由（1）知函數(shù)，設(shè)，則．因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可知，又，則，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，將分別代入驗(yàn)證可得答案.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，又∵，∴或1．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，將分別代入，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.的解析式為．18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）冪函數(shù)的系數(shù)為1，代入求出兩種可能值，再根據(jù)函數(shù)奇偶性判斷即可；（2）二次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合對(duì)稱軸公式，動(dòng)軸定區(qū)間分類討論即可得解.（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)

所以

因?yàn)闉榕己瘮?shù)

所以故的解析式.（2）由（1）知，

當(dāng)即時(shí)，，即

當(dāng)即時(shí)，即

綜上所述：或19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線，，，且的最大值為1，最小值為0．(1)求與的值；(2)求的解析式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用賦值法，令，得到；令，得到；（2）先由得到，根據(jù)的最大值為1，最小值為0及圖象連續(xù)，寫出的解析式.（1）令，則，得∴∴令，則，同理；（2）由得，即這說明，至少與1，，其中之一相等∵的最大值為1，最小值為0∴在區(qū)間和上，一定有只能在處取得，因此又∵函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線∴的解析式為20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A佳”函數(shù)．已知冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，當(dāng)?shù)淖钚≈凳?時(shí)，求m的值；(3)若函數(shù)，且是“A佳”函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)；(2)-1；(3)【分析】（1）由冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解的值；（2）求得，，，令，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為則，，，對(duì)分類討論，求出最小值，即可求得的值；（3）在，上單調(diào)遞減，由“佳”函數(shù)的概念可得，利用換元法可求得，再利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為．(2)，，，令，則，，則，，，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為（1），所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，所以，解得（舍；當(dāng)，即時(shí)，的最小值為（2），所以，解得（舍．綜上，的值為．(3)，，則在，上單調(diào)遞減，因?yàn)槭恰凹选焙瘮?shù)，所以，令，，則，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以，代入，得，因?yàn)?，所以，得，令，，，所以，該函?shù)在，上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)新定義問題，一般需要理解定義的內(nèi)容，根據(jù)定義直接處理比較簡(jiǎn)單問題，加深對(duì)新定義的理解，本題中，需要根據(jù)是“A佳”函數(shù)，及函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，換元后求出的關(guān)系，利用函數(shù)值域求解.21．（2021·福建·廈門一中高一期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的值，并用定義法證明在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).(2)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求滿足時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析；(2)【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，解不等式即可得解.(1)由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，解得證明：任取，且，，，即所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).(2)當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，又，所以等價(jià)于函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則，解得：或所以實(shí)數(shù)的取值范圍是22．（2022·全國(guó)·高一）已知冪函數(shù)，滿足.(1)求函數(shù)的解析式.(2)若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？(3)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在使得的最小值為0(3)存在，【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定