水力學第四章液體運動的流場理論課件

第四章液體運動的流場理論1第四章液體運動的流場理論1探索液體運動規(guī)律有流束理論和流場理論兩種不同的途徑。流束理論：將液體看作是一元流動，只考慮沿流束軸線方向的運動，而忽略與軸線垂直方向的橫向運動，因而不是液體運動的普遍理論。流場理論：把液體運動看作是充滿一定空間（流場）而由無數(shù)液體質點組成的連續(xù)介質運動，研究流場中每個液體質點的空間位置、流速、加速度、壓強等運動要素之間的關系。是研究液體的三元流動，具有普遍意義。2探索液體運動規(guī)律有流束理論和流場理論兩種不同的途徑。一般情況下同一時刻不同空間點(x,y,z)上液體的運動要素是不同的，即使在同一空間點上運動要素也是隨時間t而變化的。所以各種運動要素是空間位置(x,y,z)和時間t的連續(xù)函數(shù)。4-1流速、加速度3一般情況下同一時刻不同空間點(x,y,z在時刻t，某一液體質點通過漸變段上的A點，經(jīng)過時間dt，該液體質點運動到新的位置。在時刻t，A點流速為，點的流速為。在時刻t+dt，A點的流速變?yōu)椋c的流速則變?yōu)?/p>

4在時刻t，某一液體質點通4因此，該液體質點通過A點時的加速度應為

式中第一項叫做時變加速度，第二項叫做位變加速度。在三個坐標軸上投影為:5因此，該液體質點通過A點時的加速度應為在三個坐標軸上投影為:

時變加速度，恒定流時為零；非恒定時不等于零。

位變加速度，是否等于零并不決定于是否是恒定流，而要看液體質點自一點轉移到另一點時流速是否改變。x、y、z也是t的函數(shù)，因此6時變加速度，恒定流時為零；非恒定時不等于零。x、y、z

由此可知一個液體質點在空間點上的全加速度應為：時變加速度和位變加速度之和。這種概念同樣適用于液體的密度與壓強。7由此可知一個液體質點在空間點上的全加速度應為：時變加流場中液體質點通過任一空間點時，所有運動要素都不隨時間而改變叫恒定流。

如果流場中液體質點通過任一空間點時至少有一個運動要素是隨時間而改變的這種流動叫非恒定流。8流場中液體質點通過任8拉格朗日法研究液體中各個質點在不同時刻運動的變化情況；歐拉法則是在同一時刻研究不同質點的運動情況。前者引出了跡線的概念，后者建立了流線的概念。

在右圖流線AB上取微分

段ds，其方向余弦為4-2流線、跡線及其微分方程9拉格朗日法研究液體中各個質點在不同時刻運動的變化情況；歐

可得流線方程：1010某一液體質點在不同時刻所流經(jīng)的路線叫跡線。根據(jù)定義有，由此得到跡線微分方程式恒定流時，跡線和流線重合?？捎孟铝形⒎址匠淌奖硎荆?1某一液體質點在不同時刻所流經(jīng)的路線叫跡線。114-3液體質點運動的基本形式在液體中取一個微分平行六面體，各邊長dx,dy,dz取一角點P（x，y，z），令該點在各坐標軸上的分速度為ux，uy，uz。由泰勒級數(shù)，Q角點速度為沿x方向

沿y方向沿z方向同理，可寫出微分平行六面體每個角點的分速度。124-3液體質點運動的基本形式在液體中取一個微

平行六面體的整個變化過程可看作是由下列幾種基本運動形式所組成：1、位置平移。2、線變形。3、邊線偏轉：(a)角變形；(b)旋轉運動。各點的速度均包含有，由圖示，是平移速度。13平行六面體的整個各點的速度均包含有2、線變形

因為角點P沿x方向的速度比角點A快（或慢），所以經(jīng)過時段后，PQ邊在x方向的伸長（或縮短）量為。單位時間單位長度的線變形稱為線變形速度，則同理142、線變形同理14（1）角變形：兩邊線偏轉角相等3、邊線偏轉15（1）角變形：兩邊線偏轉角相等3、邊線偏轉15由產(chǎn)生的（2）旋轉運動16由產(chǎn)生的（2）旋轉運動4-4無渦流與有渦流

無渦流是液體質點沒有繞自身軸旋轉的運動，也就應滿足下列條件：

174-4無渦流與有渦流無渦流是液體質點沒有繞自身軸流場中所有液體質點的旋轉角速度都等于零，即無渦流，則必有流速勢函數(shù)存在，所以無渦流又稱為勢流。假定18流場中所有液體質點的旋轉角速度都等于零，即無渦流，則有渦流可用旋轉角速度的矢量來表征，引用所謂渦線、渦束等概念。

渦線是某一瞬時在渦流場的一條幾何曲線，在這條曲線上各質點在同一瞬時的旋轉角速度的矢量都與該曲線相切。渦線的作法與流線相似。19有渦流可用旋轉角速度的矢量來表征，引用所謂渦線、渦束等與流束相類似，任意取一微小面積，通過該面積各點作出一束渦線，稱為微小渦束。類似于流量，若微小的渦束的橫斷面積為，旋轉角速度為，則稱為微小渦束的渦旋通量，或稱為渦旋強度。20與流束相類似，任意取一微小面積，通過該面積各點作出一速度環(huán)量也可寫成：

稱為沿封閉周線C的速度環(huán)量。21速度環(huán)量也可寫成：稱為沿封閉周線C的速度環(huán)量。214-5液體運動的連續(xù)性方程式設想在流場中取一空間微分平行六面體取如圖示。經(jīng)一微小時段dt自左面流入的液體質量為：自右面流出的液體質量為dt時段內流進與流出六面體的液體質量之差：224-5液體運動的連續(xù)性方程式設想在流場中取一空間故在dt時間內流進與流出六面體總的液體質量的變化為故經(jīng)過dt時段后六面體內質量總變化為在同一時段內，流進與流出六面體總的液體質量的差值應與六面體內因密度變化所引起的總的質量變化相等：23故在dt時間內流進與流出六面體總的液體質量的變化為上式為可壓縮液體非恒定流的連續(xù)性方程式。對不可壓縮液體，常數(shù)，因此得連續(xù)性方程式為或寫作divu＝0，式中divu叫速度散量。24244-6理想液體運動微分方程式及其積分1、理想液體動水壓強的特性第一，理想液體的動水壓強總是沿著作用面的內法線方向。第二，在理想液流中，任何點的動水壓強在各方向上的大小均相等。254-6理想液體運動微分方程式及其積分1、理想液體動水壓強2、理想液體運動微分方程式－歐拉方程式液體平衡微分方程式是表征液體處于平衡狀態(tài)時作用于液體上各種力之間的關系式。在理想液體中任取一微分平行六面體，作用于六面體的力有表面力與質量力。左表面動水壓力右表面動水壓力262、理想液體運動微分方程式－歐拉方程式26假設單位質量的質量力在各坐標軸方向的投影為，故所有作用于六面體上的力在x軸上的投影的代數(shù)和應等于六面體的質量與加速度在x方向的投影之積。有：化簡之，得同理27假設單位質量的質量力在各坐標軸方向的投影為27對靜止液體，

上式即為靜水力學歐拉平衡方程式。28對靜止液體，284-7實際液體運動時所產(chǎn)生的內應力實際液體具有粘滯性，有相對運動的各層液體之間將產(chǎn)生切應力。1、切應力的性質和大小牛頓內摩擦定律可寫成下列形式294-7實際液體運動時所產(chǎn)生的內應力實際液體具有粘因此由此可得最后可綜合寫成3030

2、動水壓強的性質和大小

在運動的理想液體中，任意點的動水壓強各方向都是相等的，那么在實際液體中任意點的動水壓強的性質是否也一樣呢？312、動水壓強的性質和大即在實際液流中任一點的動水壓強各方向是不相等的。所以在實用上均采用任意三個正交方向的動水壓強的平均值來表示：此平均動水壓強是與方向無關的。3232將以上三式相加，整理后可得3333對于不可壓縮液體，連續(xù)性方程式，代入上式得由此可知，常數(shù)p為在同一點上沿三個正交方向的動水壓強的平均值。而粘滯性引起34對于不可壓縮液體，連續(xù)性方程式式中理想液體時，故在同一點上各方向的動水壓強是相等的。附加正應力35附加354-8實際液體運動微分方程式根據(jù)牛頓第二定律寫出x方向動力平衡方程式364-8實際液體運動微分方程式36化簡得同理

上式為以應力表示的實際液體運動基本微分方程式37化簡得37

1、納維而－斯托克斯（Navier-Stokes）方程由代入與得到381、納維而－斯托克斯（Navier-Stokes）方上式括符內可以寫成拉普拉斯算式，

對于不可壓縮液體來說，，故39上式括符內可以寫成拉普拉斯算式或故上式可寫成40故上式可寫成40上兩式就是適用于不可壓縮粘滯性液體的運動微分方程式，一般通稱之為納維埃－斯托克斯方程式。如果液體沒有粘滯性（即理想液體）則，于是納維－斯托克斯方程式就變成理想液體的歐拉運動方程式。如果沒有運動，則均等于零，于是納維－斯托克斯方程式就變成靜水力學歐拉平衡方程式。所以納維－斯托克斯（N-S）方程式是不可壓縮液體的普遍方程式。41上兩式就是適用于不可壓縮粘滯性液體的運動微分方程式，例4-5試用納維－斯托克斯方程式求直圓管層流運動的流速及流量表達式（見圖）42例4-5試用納維－斯托克斯方程式求直圓管層流運解：層流運動時，液體質點只有沿軸向的流動而無橫向運動，若取圓管中心軸為x軸，則。現(xiàn)取納維－斯托克斯方程組中第一式來看：恒定流時，。質量力只有重力時，因，所以。由連續(xù)方程式，可知。43解：層流運動時，液體質點只有沿軸向的流動而無橫向運動，若取圓由此可得，。將以上各值代入納維－斯托克斯方程組第一式，可簡化為：因，所以并不沿x方向而變化，由上式可知與x無關，即動水壓強沿x軸方向的變化率是一個常數(shù)，可寫成44由此可得，式中為沿x方向長度為L的管段上的壓強降落。由于壓強是沿水流方向下降的，所以應在前加一負號。因為圓管中的液流是軸對稱的，相同，而且y與z都是沿半徑方向的，故變數(shù)y，z可換成變數(shù)r。而與x無關，僅為r的函數(shù)，所以對r的偏導數(shù)可以直接寫成全導數(shù)。45式中為沿x方向長度為L的管或將上式積分利用軸心處的條件，得。4646故再積分，得利用管壁處的條件，故上式表明：圓管中層流過水斷面上的流速是按拋物面的規(guī)律分布的。4747

故通過過水斷面的總流量：過水斷面平均流速：4848液流運動可分為有渦流及無渦流，無渦流一定有流速勢存在，稱之為勢流。嚴格地說，具有粘滯性的實際液體的流動都不是有勢流動，就是理想液體的流動也可以是有渦流。勢流必有流速勢存在，對平面勢流有

對不可壓縮液體，ρ為常數(shù)，平面勢流的連續(xù)性方程為，則有，上式就是拉普拉斯方程式，故流速勢是一個調和函數(shù)。拉普拉斯方程式的解法在水力學及流體力學中最常用的有流網(wǎng)法、勢流疊加法、數(shù)值解法等。4-9恒定平面勢流49液流運動可分為有渦流及無渦流，無渦流一定有流速勢存在恒定平面勢流的流速勢及流函數(shù)流函數(shù)及其性質：求解平面流就是要求解水流的流動場和流動圖形，流線反映了平面流的流動圖形。

x－y平面的平面流，其流線方程式為或寫作若上式左邊是某一函數(shù)的全微分，則上式就可積分，即50恒定平面勢流的流速勢及流函數(shù)50此函數(shù)叫做平面流的流函數(shù)。在某一確定時刻兩個自變數(shù)的函數(shù)的全微分可寫作比較上兩式可知流函數(shù)存在的充分必要條件5151

因此，流函數(shù)存在的充分必要條件就是：滿足不可壓縮液體的連續(xù)性方程式。所以不可壓縮液體作平面的連續(xù)運動時就有流函數(shù)存在。流函數(shù)的性質：1、同一流線上各點的流函數(shù)為常數(shù)，或流函數(shù)相等的點連成的曲線就是流線。

52因此，流函數(shù)存在的充分必要條件就是：滿足不可壓縮液2、兩流線間所通過的單寬流量等于該兩流線的流函數(shù)值之差。532、兩流線間所通過的單寬流量等于該兩流線的流函數(shù)值

3、平面勢流的流函數(shù)是一個調和函數(shù)。當平面流為勢流時，則所以有所以平面勢流的流函數(shù)與流速勢一樣，是一個調和函數(shù)。5454流速勢及等勢線平面勢流必有流速勢存在，且函數(shù)的全微分為所以有把值相等的點連接起來的曲線就稱為等勢線。等勢線的方程為55流速勢及等勢線55流函數(shù)與流速勢的關系平面勢流中任何一點都有一個流函數(shù)和流速勢。

1、流函數(shù)與流速勢為共軛函數(shù)2、等流函數(shù)線與等流速勢線相正交，即流線與等勢線相正交。流線上任意一點斜率：即同一定點上等勢線的斜率：56流函數(shù)與流速勢的關系562流網(wǎng)法解平面勢流流網(wǎng)原理提出下列兩問題：(1)流網(wǎng)中流函數(shù)與流速勢的增值方向如何確定？(2)流線和等勢線到底應該根據(jù)什么原則來選繪呢？572流網(wǎng)法解平面勢流57

作任一點A的一根等勢線和一根流線并繪出其相鄰的等勢線和流線，令兩等勢線之間的距離為dn，兩流線之間的距離為dm。可得同理上式表明流速勢的增值方向與n的增值方向是相同的；流函數(shù)的增值方向與m的增值方向是相同的。58作任一點A的一根等勢線58在平面勢流的流速場中，流速勢的增值方向與流速u的方向一致；將流速方向逆時針旋轉90度后所得的方向即為流函數(shù)的增值方向。這一法則叫做儒可夫斯基法則。59在平面勢流的流速場中，流速勢的增值方向與取每一個網(wǎng)眼相鄰兩流線間的流函數(shù)差值與相鄰