向量函數(shù)的積分課件

§1.5、向量函數(shù)的積分1、體積分

設(shè)D是R3中的一個體積元V，在V中定義的函數(shù)。定義（體積分）：設(shè)是V的一個分割，，任取點，作和式：當(dāng)時，若和式的極限存在，且與V的劃分與的選取無關(guān)，則稱這個極限為在V上的積分，記做§1.5、向量函數(shù)的積分1、體積分在R3空間，可以表示為：則：在R3空間，可以表示為：則：體積分的計算規(guī)則：(1)設(shè)為常向量，為數(shù)量函數(shù)，則：(2)設(shè)為常向量，為向量函數(shù)，則：(3)設(shè)為常向量，為向量函數(shù)，則：體積分的計算規(guī)則：(1)設(shè)為常向量，為數(shù)例1：設(shè)V是平面和三個坐標(biāo)平面x=0,y=0

z=0所圍的區(qū)域，求在V上的體積分。解：如圖表示，則：分別計算三個分量的積分，首先：例1：設(shè)V是平面和同理：最后得：同理：最后得：2、曲面積分

設(shè)D是R3中的一塊簡單、分塊光滑的空間有向曲面，我們可以定義沿一側(cè)的積分。定義(曲面積分)：設(shè)在空間曲面上有定義，為的任意一個分割，記，任取點，作和式：當(dāng)時，若和式的極限存在，且與的劃分與的選取無關(guān)，則稱這個極限為在上的積分，記做2、曲面積分在R3空間，可以表示為：若的法向量的單位向量為：則：所以：在R3空間，可以表示為：若例2：設(shè)是平面和三個坐標(biāo)平面所圍的閉曲面，求沿的外側(cè)的曲面積分。解：如圖表示，是分別表示三角形

OAB,OBC,OCA所圍平面，代表ABC的所圍三角形，則：對于，z=0，dz=0，則：同理：例2：設(shè)是平面對于，則：而：對于，則：而：所以：同理：最后得：所以：同理：最后得：例3：設(shè)是球面，求沿球面外側(cè)的積分。解：對于球面來說，其任意點的法向分量為所以，沿球面外側(cè)的積分為：例3：設(shè)是球面3、曲線積分

設(shè)l是R3中的一條簡單、分段光滑的空間有向曲線，我們可以定義在曲線上的積分。定義(曲線積分)：設(shè)為空間內(nèi)由點A到點B的一條有向光滑曲線，任取分段點，把分成n個有向線段，定義，記，任取點，作和當(dāng)，和式的極限存在且和曲線的劃分與的選取無關(guān)，則稱這個極限為沿曲線的曲線積分，記作3、曲線積分在R3空間，可以表示為：若的法向量的單位向量為：則：所以：在R3空間，可以表示為：若例4：設(shè)為平面與三個坐標(biāo)平面的交線所圍的閉曲線，曲線方向如圖所示，求函數(shù)沿曲線正向的積分。解：由圍成，

例4：設(shè)為平面同理：最后得：對于，z=0，dz=0，則：同理：最后得：對于4、Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：設(shè)空間曲面是分片光滑的雙側(cè)閉曲面，其內(nèi)部區(qū)域記為，設(shè)函數(shù)在和上連續(xù)，在內(nèi)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則：Stokes公式：設(shè)空間曲面是光滑的有界曲面，其邊界l是一條分段光滑的閉曲線，設(shè)函數(shù)在和l上連續(xù)，在上具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則：4、Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：設(shè)空間曲總結(jié)1、體積分體積分的定義體積分公式：2、面積分總結(jié)1、體積分3、線積分

4、Gauss公式和Stokes公式3、線積分作業(yè)：(1)設(shè)l為正向圓周，向量，求積分(2)設(shè)運動路徑，端點