方程式(未知數(shù))

方程式(未知數(shù))第1頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月何謂未知數(shù)？1個(gè)蘋果＋1個(gè)蘋果＝2個(gè)蘋果1公分＋1公分＝2公分「不知道」＋「不知道」＝?1個(gè)「∞」＋1個(gè)「∞」＝?1個(gè)「全部」＋1個(gè)「全部」＝?第2頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月為什麼我們可以點(diǎn)數(shù)「蘋果、1公分」的個(gè)數(shù)？為什麼我們不可以點(diǎn)數(shù)「不知道、∞、全部」的個(gè)數(shù)?我們可以點(diǎn)數(shù)「x」的個(gè)數(shù)嗎？有那些能力後才能點(diǎn)數(shù)x的個(gè)數(shù)？第3頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月「2個(gè)青蘋果，6個(gè)紅蘋果」青蘋果是全部的幾分之幾?2個(gè)紅蘋果是全部的幾分之幾?第4頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月如果「ｘ」是一個(gè)未知數(shù)，學(xué)童有那些能力之後才能理解：2ｘ＋3ｘ＝5ｘ？

ｘ÷2＝ｘ/2？「ｘ」和「3」可以相加減嗎？

第5頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)定理：ｘ雖然是一個(gè)未知數(shù)，一個(gè)目前不知道等於多少的數(shù)，但是只要它是一個(gè)數(shù)，它就能與其它的數(shù)一起做運(yùn)算，而且順從運(yùn)算的所有性質(zhì)。

第6頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)學(xué)上，有那些運(yùn)算性質(zhì)（加減乘除及其混合運(yùn)算）在全數(shù)系或有理數(shù)系一定成立？有那些運(yùn)算性質(zhì)在整數(shù)系或?qū)崝?shù)系（或複數(shù)系）一定成立？為什麼在代數(shù)學(xué)中，也要討論這些性質(zhì)？第7頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月自然數(shù)：｛1，2，3，......｝。自然數(shù)是點(diǎn)數(shù)的結(jié)果，描述一個(gè)給定的集合有多少個(gè)元素。全數(shù)：自然數(shù)∪｛０｝。全數(shù)是國小階段教學(xué)的重點(diǎn)，全數(shù)的０表示沒有的意思。第8頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月整數(shù)：｛...,－1,0,1,2,...｝整數(shù)中的「2」是「＋2」的簡記法，表示比基準(zhǔn)量0多2。0不一定表示沒有，0只是設(shè)定的基準(zhǔn)量，例如溫度是攝氏0度，0度並不表示沒有溫度，0度是水結(jié)冰時(shí)的溫度。自然數(shù)可以視為整數(shù)的特例。第9頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月全數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)都滿足那些運(yùn)算性質(zhì)？三一律：ａ，ｂ兩數(shù)恰滿足下列一種關(guān)係ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂ。第10頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月等價(jià)關(guān)係：ａ，ｂ，ｃ三個(gè)數(shù)滿足反身性：ａ＝ａ。對稱性：ａ＝ｂ，則ｂ＝ａ。遞移性：ａ＝ｂ，且ｂ＝ｃ，則ａ＝ｃ。第11頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)的運(yùn)算關(guān)係：ａ，ｂ，ｃ三個(gè)數(shù)滿足加法交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。加法結(jié)合律：（ａ+ｂ）+ｃ＝ａ+（ｂ+ｃ）。第12頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月乘法交換律：ａ×ｂ＝ｂ×ａ。乘法結(jié)合律：（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）。第13頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月乘法對加法的分配律：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。（乘法對加法的右分配律）ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ。（乘法對加法的左分配律）第14頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月那些運(yùn)算關(guān)係在減法或除法運(yùn)算中也成立？（ａ＋ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）＋ｂ（a≧ｃ）＝ａ＋（ｂ－ｃ）（b≧ｃ）＝ａ－（ｃ－ｂ）（b≦ｃ）。（ａ－ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）－ｂ＝ａ－（ｂ＋ｃ）。第15頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月（ａ×ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）×ｂ。（ａ÷ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）÷ｂ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。第16頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月ａ、ｂ、ｃ是任意正整數(shù)，下列算式中那些恆成立？ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。第17頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月乘法對減法也滿足分配律。（ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ。(乘法對減法的右分配律)ａ×（ｂ－ｃ）＝ａ×ｂ－ａ×ｃ。(乘法對減法的左分配律)第18頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月除法對加（減）法滿足右分配律，但是不滿足左分配律。（ａ＋ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ＋ｂ÷ｃ。（ａ－ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ－ｂ÷ｃ。ａ÷（ｂ＋ｃ）≠ａ÷ｂ＋ａ÷ｃ。ａ÷（ｂ－ｃ）≠ａ÷ｂ－ａ÷ｃ。第19頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月等量公理：ａ，ｂ，ｃ三個(gè)數(shù)，若ａ＝ｂ則滿足ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠0）。第20頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月ａ，ｂ，ｃ三個(gè)數(shù)，若ａ＞ｂ則滿足ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＞ｂ－ｃ。ａ×ｃ＞ｂ×ｃ（ｃ＞０）。ａ×ｃ＜ｂ×ｃ（ｃ＜０）。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ（ｃ＝０）。ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ（ｃ＞０）。ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ（ｃ＜０）。第21頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?學(xué)童有能力解決多步驟問題嗎？學(xué)童有能力用算式記錄多步驟問題的解題活動嗎?第22頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5×3＝15……鉛筆的錢8×4＝32……橡皮擦的錢15+32＝47……鉛筆和橡皮擦的錢47+40＝87……原有的錢學(xué)童應(yīng)該有能力用多個(gè)算式記錄解題活動。第23頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)童有能力將多步驟問題記成算式填充題嗎？有能力將多步驟問題記成等號右邊只有括號的算式填充題嗎？第24頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()那一種記法比較簡單?第25頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()就問題記錄（將問題記成算式填充題）而言，前者比較簡單。就解題活動（算出算式填充題的答案）而言，後者比較簡單。第26頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月引入等量公理前：學(xué)童有能力解決等號右邊只有括號的算式填充題嗎？

學(xué)童有能力解決等號左邊有未知數(shù)的算式填充題嗎?有能力解決等號兩邊都有未知數(shù)的算式填充題嗎？第27頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5×3+8×4+40＝()()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝405×3+()×3＝21–()5×3+3x＝21–x第28頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月這三個(gè)問題的難度差不多嗎?記成()與記成x，難度差不多嗎?第一題是國小現(xiàn)在的教材。第二題是94年可能出現(xiàn)的教材。第三題是國中的教材。第29頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5×3+8×4+40＝()()＝5×3+8×4+40等號滿足對稱性。第30頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87國小稱為逐次減項(xiàng)的記法。第31頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5+3＝8-2＝65

+3

8

-2你接受上面的記法嗎?6為什麼不接受上面的記法?學(xué)童為什麼會出現(xiàn)上面的記法?第32頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椋?×3+8×4+40＝15+8×4+40

15+8×4+40＝15+32+40

15+32+40＝47+40

47+40＝87所以：5×3+8×4+40＝87這是詳細(xì)的記法，主要的概念是等號的遞移性。第33頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月將前面的記法摘要記成：

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87這是摘要的記法。教師應(yīng)檢查答案87的意義。第34頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椋篴=b，b=c，c=d所以：a=d摘要記成：a=b=c=d教學(xué)的重點(diǎn)是什麼?第35頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝40引入等量公理前，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?透過線段圖重新表徵問題的方式，將原問題改記成等號右邊只有括號的算式填充題。第36頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月x-5×3-8×4＝40引入等量公理後，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?解決問題很簡單，因?yàn)槲瓷婕拔粗獢?shù)的運(yùn)算。比較困難的是記錄，因?yàn)楹蛧≈鸫螠p項(xiàng)的記法不相同。第37頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月x-15-32＝40x-15＝40+32(=72)X＝72+15X＝87可以利用天平說明（已知數(shù)使用法碼，未知數(shù)使用沙包）。第38頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5×3+3x＝21–x引入等量公理前，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?引入等量公理後，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?學(xué)童必須理解等量公理及未知數(shù)定理的意義，才能解決上述問題。第39頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月多步驟問題的運(yùn)算次序先乘除後加減由左往右算括號先算上述口訣是處理多步驟問題運(yùn)算次序的依據(jù)，這些口訣是怎樣發(fā)展出來的?第40頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月先乘除後加減是可溝通的語句嗎?是清楚明白的語句嗎?48÷3×4＝48÷12＝4

這樣算的學(xué)童，符合先乘除後加減的語意嗎?第41頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月先乘除後加減。由左往右算。括號先算。它們是三個(gè)獨(dú)立的口訣嗎?它們是一個(gè)被分割記憶的口訣嗎?第42頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月29-48÷3×4+(3×4-7)=?如果它們是3個(gè)獨(dú)立的口訣，沒有人知道上述問題的運(yùn)算次序。它們的優(yōu)先順序?yàn)楹?第43頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月括號先算是數(shù)學(xué)上的約定。先乘除後加減，由左往右算，是省略括號的約定。只省略了記錄（數(shù)學(xué)式子）的括號，心中的括號是不可能省略的。第44頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月何謂先乘除後加減?為什麼不是先加減後乘除?何謂由左往右算?為什麼不是由右往左算?第45頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月29-48÷3×4+(3×4-7)=?請用一段話(不要提到數(shù)字)，告訴學(xué)童運(yùn)算的先後順序。將你的話錄音起來，再放給自己或別人聽聽看!懂得人，可能猜出你說的意思，不懂的人，應(yīng)該還是不懂。

第46頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月括號的部份要先算。沒有括號的時(shí)候：算式中加減乘除都有時(shí)，要先算乘和除的部份。都是加減的時(shí)候，要由左往右算，都是乘除時(shí)，也要由左往右算。第47頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)：在真正測量某一屬性之前，已具有潛在的結(jié)果。未知數(shù)並非真正的未知，只是在尚未確定答案(實(shí)施測量)前暫時(shí)的未知，所以「定量未知數(shù)」一詞更適合未知數(shù)。第48頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月何謂算術(shù)？何謂代數(shù)？算術(shù)與代數(shù)有何異同？學(xué)童解決的問題是算術(shù)問題或是代數(shù)問題，必須依據(jù)未知數(shù)在學(xué)童心中所扮演的角色而定。

第49頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5+()=85+x=85+甲=8這三題的困難度是否相同?為什麼多數(shù)國小學(xué)童認(rèn)為最上面的那一題比較簡單?第50頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)發(fā)展可以區(qū)分成三個(gè)層次：層次一：一個(gè)位置的概念。層次二：傳統(tǒng)的未知數(shù)概念。層次三：一個(gè)可以運(yùn)算的數(shù)（理解未知數(shù)定理的意義）。第51頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5+()=8未知數(shù)的角色只是一個(gè)位置的概念，該位置填入某些數(shù)字後，就可以讓算式成立，但是目前不知道可以填入的數(shù)字是什麼。第52頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月5+x=85+甲=8傳統(tǒng)的未知數(shù)概念，x或甲代表某一個(gè)確定的數(shù)字，只是該數(shù)字目前未知。第53頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月如果未知數(shù)只是位置的概念或傳統(tǒng)的未知數(shù)概念，學(xué)童的想法只能算是算術(shù)，如果未知數(shù)的角色是代表一個(gè)可以運(yùn)算的數(shù)，所進(jìn)行的活動才是代數(shù)。第54頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)中的未知數(shù)，可能只是一個(gè)位置，也可能代表傳統(tǒng)的未知數(shù)角色，它們都等待數(shù)值的發(fā)現(xiàn)。而代數(shù)中的未知數(shù)，代表一個(gè)符號，它擁有其本身數(shù)學(xué)物件的本值，可以和其它的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。第55頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月由未知數(shù)是否能像已知數(shù)一樣被運(yùn)作，可以判斷是算術(shù)概念還是代數(shù)概念。當(dāng)一個(gè)一元一次方程式等號兩邊都有未知數(shù)時(shí)，才能算是真正的代數(shù)問題。第56頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)的解題活動是透過列式，施展一些活動而朝向解答的獲得（並不彰顯量之間的關(guān)係，但是實(shí)施了關(guān)係），代數(shù)的解題活動是發(fā)現(xiàn)與表示量的關(guān)係，並藉由等量公理的運(yùn)作，把一個(gè)等價(jià)關(guān)係變成另一個(gè)等價(jià)關(guān)係。第57頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)問題，在關(guān)係尚未確定（列出方程式）之前，未知數(shù)已經(jīng)是一個(gè)不變的量（一個(gè)目前未知的已知定量），關(guān)係的獲得只在於協(xié)助獲得其潛在的結(jié)果（求出目前未知的那一個(gè)定量），真正未知的是未知單位ｘ與已知單位１之間的關(guān)係未知。第58頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月何謂單位？∞是一個(gè)單位嗎?當(dāng)只是傳統(tǒng)的未知數(shù)概念時(shí)，未知數(shù)ｘ也可以是一個(gè)單位嗎？單位：所謂單位是指存在而被稱為１的事物（歐基理德）。第59頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月二個(gè)一數(shù)、五個(gè)一數(shù)、十個(gè)一數(shù)，三個(gè)一數(shù)、七個(gè)一數(shù)。那些是你習(xí)慣的數(shù)法?請由178開始數(shù)數(shù)看！第60頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月你真的會十個(gè)一數(shù)嗎？那些情形只能夠一個(gè)一數(shù)？那些情形只能夠十個(gè)或百個(gè)一數(shù)？那些情形可以一個(gè)一數(shù)，也可以十個(gè)或百個(gè)一數(shù)？第61頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月物件零散排列時(shí)，只能一個(gè)一數(shù)(最多二個(gè)一數(shù))。物件已經(jīng)每十個(gè)放成一堆時(shí)，可以一個(gè)一數(shù)，也可以透過十個(gè)一數(shù)，讓點(diǎn)數(shù)更有效率。點(diǎn)數(shù)鈔票(橘色積木或百格板)時(shí)，只能十個(gè)、百個(gè)一數(shù)。第62頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)數(shù)看，圖中有多少個(gè)「○」？○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○由1開始，逐一點(diǎn)數(shù)到34。先十個(gè)一數(shù)，再一個(gè)一數(shù)到34。這兩種數(shù)法都為了確定有幾個(gè)「○」，而後者比前者有效率。第63頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)數(shù)較多物件(紙上呈現(xiàn)零散排列)的個(gè)數(shù)時(shí)，你會要求學(xué)童每數(shù)完10個(gè)物件後，畫一個(gè)圈，將點(diǎn)數(shù)過的物件圈起來嗎？你要求學(xué)童畫圈的理由為何？第64頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月如果學(xué)童是由1開始逐一點(diǎn)數(shù)，畫圈是鞤他，還是妨礙他點(diǎn)數(shù)？想想看，你是怎麼數(shù)的？成人將10個(gè)物件圈起來，主要的目的是為了方便十個(gè)一數(shù)。第65頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○使用10、20、30、31、32、33、34的方式點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)圓圈，點(diǎn)數(shù)的過程中，一共點(diǎn)數(shù)或使用了幾種單位？第66頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月以「個(gè)」為量詞(1個(gè)圓圈為單位)點(diǎn)數(shù)一次：一個(gè)(或二個(gè))一數(shù)！先十個(gè)一數(shù)，再一個(gè)一數(shù)！先一個(gè)一數(shù)，再十個(gè)一數(shù)！是否只點(diǎn)數(shù)了「1個(gè)(圓圈)」這一種單位(確定有幾個(gè)圓圈)？第67頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月將「10個(gè)」視為「1堆」，再點(diǎn)數(shù)一次！1、2、3，３堆1、2、3、4，４個(gè)3堆又4個(gè)，才是使用或點(diǎn)數(shù)兩種單位的數(shù)法。第68頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)學(xué)童能辨識人、蘋果、花片或椅子所成的集合時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)的對像很明確，不會產(chǎn)生混淆。學(xué)童由1開始點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)人。當(dāng)被要求點(diǎn)數(shù)蘋果時(shí)，學(xué)童會重新由1開始點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)蘋果。第69頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)學(xué)童點(diǎn)數(shù)狗有幾隻，狗腿有幾條時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)的對象都是狗，可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆。學(xué)童解決『1隻狗有4條腿，5隻狗合起來有幾條腿？跑掉1隻狗後，還剩下多少條腿？』時(shí)，可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆，回答跑掉1隻狗後，還剩下19條腿。第70頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)學(xué)童面對印度—阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)的位值概念時(shí)，更可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆。x、y是兩個(gè)數(shù)碼(數(shù)字)二位數(shù)字xy的值是多少?

xy=x+y，xy=10x+y第71頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月「77」這個(gè)數(shù)字中，左邊的「7」是右邊的「7」的多少倍？個(gè)數(shù)的觀點(diǎn)：左邊的7是7個(gè)「

」，右邊的7是7個(gè)「

」，個(gè)數(shù)都是7個(gè)，所以左邊的7是右邊的7的1倍。第72頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)數(shù)有7隻豬，點(diǎn)數(shù)有7隻螞蟻，雖然豬比螞蟻大很多，但是點(diǎn)數(shù)的結(jié)果(有幾隻)都是7隻。第73頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月以「

」為單位描述的觀點(diǎn)：左邊的7是7個(gè)「

」，是70，右邊的7是7個(gè)『

』，是7，70是7的10倍，所以左邊的7是右邊的7的10倍。換成同單位來（0.1)描述，左邊的7都是右邊的7的10倍。第74頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月「2.4」：以「1」為單位的記法?以「0.1」為單位的記法？第75頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月「2.4」公尺：記了多少個(gè)「1公尺」，記了多少個(gè)「0.1公尺」？任何數(shù)字都是以1為單位的記法。第76頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月「５」............「１」1是1個(gè)蘋果，5是5個(gè)蘋果。1是1盒蘋果，5是5盒蘋果。1是1箱蘋果，5是5箱蘋果。1盒或1箱有多少個(gè)蘋果，不知道！第77頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月我們只有一套點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)（數(shù)詞或數(shù)字序列），單位指的是點(diǎn)數(shù)時(shí)1所指的物件。當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)桌上有多少個(gè)蘋果的時(shí)候，被1對應(yīng)的蘋果就是單位（每一個(gè)蘋果地位相同），當(dāng)然，被2，3等對應(yīng)到的蘋果也是單位。第78頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)2.4公尺長的繩子中有多少個(gè)0.1公尺時(shí)，被1對應(yīng)到的0.1公尺就是單位。以0.1公尺為單位，2.4公尺是由24個(gè)0.1公尺合成的。2.4公尺是以1公尺為單位的記法。第79頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)桌上有多少堆蘋果時(shí)，被1對應(yīng)到的那一堆蘋果（每一堆蘋果可以都是7個(gè)，也可以每一堆蘋果不一樣多，但是要將每一堆蘋果的地位視為相同）就是單位。第80頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月我們只有一套點(diǎn)數(shù)的工具，這一套工具點(diǎn)數(shù)的對像都是「1個(gè)」，如果點(diǎn)數(shù)的結(jié)果是「5個(gè)」，什麼時(shí)候「5個(gè)」才會像「1個(gè)」一樣，變成可以被點(diǎn)數(shù)的單位?例如：1個(gè)「5個(gè)」，2個(gè)「5個(gè)」，3個(gè)「5個(gè)」等等。第81頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月新的單位必須具備下列四項(xiàng)條件（以「5」為例）：剛開始「5」只是一個(gè)集聚單位，「5」是由5個(gè)「1」所合成的集合，「5」本身不是一個(gè)可以被運(yùn)作或被計(jì)數(shù)的單位。第82頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月要發(fā)展單位，必須先複製一個(gè)和原來的「5」不一樣的「5」。複製出一個(gè)「5」以後，接著可以複製出很多個(gè)「5」，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這些複製出的「5」，都滿足數(shù)量一樣多的等價(jià)關(guān)係，可以仿照點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)「1」的方法，來點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)「5」，此時(shí)，「5」成為一個(gè)可以被計(jì)數(shù)的單位。第83頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月在點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)「1」和點(diǎn)數(shù)有幾個(gè)「5」的時(shí)候，有時(shí)會混淆點(diǎn)數(shù)的意義，當(dāng)不會混淆點(diǎn)數(shù)的意義，也就是說：能夠區(qū)辨點(diǎn)數(shù)時(shí)的1，是幾個(gè)「1」的1，或是幾個(gè)「5」的1時(shí)，「5」才真正的成為一個(gè)單位。第84頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)「5」是一個(gè)單位時(shí)，「5」也可以和「1」一樣，集聚7個(gè)「5」成為一個(gè)集聚單位，這個(gè)新的集聚單位（「7個(gè)「5」」）本身也滿足單位的條件時(shí)，稱新的單位（「7個(gè)「5」」）為測量單位（「1」組成「5」，「5」組成「7個(gè)「5」」）。第85頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月如何幫助學(xué)童將未知數(shù)ｘ視為一個(gè)可以被計(jì)數(shù)的單位?如何幫助學(xué)童將未知數(shù)視為一個(gè)與全數(shù)或分?jǐn)?shù)一樣的數(shù)，可以和其它的數(shù)(包括未知數(shù)）進(jìn)形前面所描述的運(yùn)算性質(zhì)？第86頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)的命名活動：ｘ成為一個(gè)可以被計(jì)數(shù)的單位。如何引入「3ｘ」,「-3ｘ」？ｘ成為一個(gè)可以被分割的單位。如何引入「x/7」，「3x/7」，「-3x/7」？第87頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)的運(yùn)算：未知數(shù)和未知數(shù)的運(yùn)算。未知數(shù)和全數(shù)或分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。第88頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)和未知數(shù)的運(yùn)算如何引入：「3ｘ＋7x」「13ｘ-7x」「3x×7x」「3x÷7x」「3ｘ＋7y」「13ｘ-7y」「3x×7y」「3x÷7y」第89頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月未知數(shù)和全數(shù)或分?jǐn)?shù)的運(yùn)算：如何引入「ｘ＋2」,「3－x」「ｘ×2」,「ｘ÷3」「2×ｘ」,「3÷ｘ」第90頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月在有未知數(shù)的問題中，已知數(shù)的單位「1（例如1元）」和未知數(shù)ｘ的單位「壹（例如1個(gè)ｘ）」，都是可以被計(jì)數(shù)的單位，只是已知數(shù)的單位「1（1元）」，和未知數(shù)ｘ的單位「壹（1個(gè)ｘ）」，是不同的兩個(gè)單位，無法同時(shí)計(jì)數(shù)。第91頁，課件共103頁，創(chuàng)作于2023年2月3元和2元可以計(jì)數(shù)，3個(gè)ｘ和2個(gè)ｘ也可以計(jì)數(shù)，但是3元和2個(gè)ｘ無法合併計(jì)數(shù)(單位不相同）。在未知數(shù)問題中，未知的是「1（1元）」和「壹（