圓中最值問題10種求法

圓中最值問題10種求法在圓中求最值是中考中的常見題型，也是中考中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題。有些學(xué)生對求最值問題感到束手無策，主要原因是對求最值的方法了解不多，思路不夠靈活?，F(xiàn)在我們對在圓中求最值的方法進(jìn)行歸納。一、利用對稱求最值1.如圖：⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值。[分析]：延長AO交⊙O于D，連接CD交⊙O于P，即此時(shí)PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的長。解：延長AO交⊙O于D，連接CD交OB于P。連接PA，過O作OE⊥CD，垂足為E。在△OCD中，因?yàn)椤螦OC=60°，所以∠D=∠C=30°。在Rt△ODE中cos30°=√3/2，即DE=2×cos30°=√3，所以CD=2DE=2√3。即PA+PC的最小值為2√3。二、利用垂線段最短求最值2.如圖：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3,－2)，⊙A的半徑為1，P為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙A于點(diǎn)Q，則PQ長度的最小值為。[分析]：連接AQ、PA，可知AQ⊥PQ。在Rt△PQA中，PQ=PA×sin∠PAQ，求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為求PA的最小值，根據(jù)垂線段最短易求PA的最小值為2。解：連接PA、QA。因?yàn)镻Q切⊙A于點(diǎn)Q，所以PQ⊥AQ。在Rt△APQ中，PQ^2=PA^2－AQ^2，即PQ=√(PA^2－AQ^2)。又因?yàn)锳(－3,－2)，根據(jù)垂線段最短，所以PA的最小值為2。所以PQ的最小值為√(2^2－(－2)^2)=2√3。三、利用兩點(diǎn)之間線段最短求最值3.如圖：圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為()。[分析]：因?yàn)閳A錐的側(cè)面是曲面，螞蟻從A爬行到點(diǎn)D不好求爬行的最小值，要把立體圖形展開為平面圖形，再利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決問題。解：圓錐的側(cè)面展開圖如圖2，連接AB。根據(jù)題意得：弧AC的長為2πr=2π×2=4π，PA=6。因?yàn)?π=360°，所以n=120°即∠APB=60°。又因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等邊三角形。因?yàn)镈為PB中點(diǎn)，所以AD⊥PB，PD=DB=3。在Rt△PAD中，AD=√(PA^2－PD^2)=√(6^2－3^2)=3√3，故選C。四、利用直徑是圓中最長的弦求最值4.如圖：半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，（1）求∠P的正切值。[分析]：直徑是圓中最長的弦，所以當(dāng)P在弦AB上時(shí)，PA+PB最大。解：連接CP，交AB于E。因?yàn)锽C：CA=4：3，所以CE=4/7×AB，AE=3/7×AB，BE=10/7×AB。因?yàn)镃E⊥AB，所以CE=CP×sin∠PCE，BE=BP×sin∠PBE。所以PA+PB=AE+BE+BP=3/7×AB+10/7×AB+BP=13/7×AB+BP。因?yàn)锳B=2.5×2=5，所以PA+PB=13/7×5+BP=90/7+BP。因?yàn)镻在弦AB上，所以∠CPB=90°，所以BP=PC×tan∠P。所以PA+PB=90/7+PC×tan∠P。因?yàn)镻A+PB最大，所以PC最小，即PC=2.5，所以∠P的正切值為tan∠P=BP/PC=(PA+PB－90/7)/2.5。9.如圖：⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3cm，則過點(diǎn)P的弦AB長度的最小值為多少厘米。[分析]：過P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，則AB的長度最小。[解答]：在Rt△OAP中，AP=4所以AB=2AP=2×4=8因此，過點(diǎn)P的弦AB長度的最小值為8厘米。10.如圖：點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，⊙O的半徑為3cm，切線PQ的長為4cm，則點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)的連線長度的最大值為多少厘米，最小值為多少厘米？[分析]：過P、O兩點(diǎn)作直線交⊙O于A、B，則PA的長度最大，PB的長度最小。[解答]：連接OQ，因?yàn)镻Q切⊙O于Q，所以O(shè)Q⊥PQ。在Rt△