概率-2023年全國高考數(shù)學(xué)試題真題匯編

概率——2023年全國高考數(shù)學(xué)試題真題匯編解析版考試范圍：概率；考試時間：100分鐘；命題人：中學(xué)考試命題與預(yù)測組一．選擇題（共5小題）1．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A． B． C． D．2．（2023?乙卷）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A． B． C． D．3．（2023?甲卷）有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.14．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）A． B． C． D．5．（2023?全國）在2、3、5、6中任選2個不同數(shù)字，其乘積能被3整除的概率為（）A． B． C． D．二．多選題（共1小題）（多選）6．（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．當0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三．填空題（共3小題）7．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為．8．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．9．（2023?上海）已知事件A的對立事件為，若P（A）＝0.5，則P（）＝．四．解答題（共5小題）10．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“﹣”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．用頻率估計概率．（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）11．（2023?甲卷）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．（1）設(shè)X表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝，P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63512．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件B為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求P（B）和P（B|A），并判斷事件A和事件B是否獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望．13．（2023?全國）盒中有4個球，分別標有數(shù)字1、1、2、3，從中隨機取2個球．（1）求取到2個標有數(shù)字1的球的概率；（2）設(shè)X為取出的2個球上的數(shù)字之和，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．14．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（）＝．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．

概率——2023年全國高考數(shù)學(xué)試題真題匯編參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)n＝＝6，這2名學(xué)生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)m＝＝4，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為P＝＝＝．故選：D．2．（2023?乙卷）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖，PQ為第一象限與第三象限的角平分線，根據(jù)題意可得構(gòu)成A的區(qū)域為圓環(huán)，而直線OA的傾斜角不大于的點A構(gòu)成的區(qū)域為圖中陰影部分，∴所求概率為＝．故選：C．3．（2023?甲卷）有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】A【解答】解：根據(jù)題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報足球俱樂部為事件A，報乒乓球俱樂部為事件B，則P（A）＝＝，由于有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的由50+60﹣70＝40人，則P（AB）＝＝，則P（B|A）＝＝＝0.8．故選：A．4．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)n＝6×6＝36，其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個數(shù)m＝＝30，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為P＝＝＝．故選：A．5．（2023?全國）在2、3、5、6中任選2個不同數(shù)字，其乘積能被3整除的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在2、3、5、6中任選2個不同數(shù)字，基本事件總數(shù)n＝＝6，其乘積能被3整除a的基本事件有5個，分別為：（2，3），（2，6），（3，5），（3，6），（5，6），則其乘積能被3整除的概率為．故選：D．二．多選題（共1小題）（多選）6．（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．當0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解答】解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1，故所求概率為：，故C錯誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率P1＝，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2＝1﹣α，﹣（1﹣α）3＝＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），當0＜α＜0.5時，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共3小題）7．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為0.5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：從10人中任選3人的事件個數(shù)為，恰有1名男生2名女生的事件個數(shù)為，則恰有1名男生2名女生的概率為．故答案為：0.5．8．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．【答案】；．【解答】解：設(shè)盒子中共有球15n個，則甲盒子中有黑球2n個，白球3n個，乙盒子中有黑球n個，白球3n個，丙盒子中有黑球3n個，白球3n個，從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率．故答案為：；．9．（2023?上海）已知事件A的對立事件為，若P（A）＝0.5，則P（）＝0.5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：事件A的對立事件為，若P（A）＝0.5，則P（）＝1﹣0.5＝0.5．故答案為：0.5．四．解答題（共5小題）10．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“﹣”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天﹣++0﹣﹣﹣++0+0﹣﹣+﹣+00+第21天到第40天0++0﹣﹣﹣++0+0+﹣﹣﹣+0﹣+用頻率估計概率．（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）0.168；（Ⅲ）“不變”的概率估值最大．【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為＝0.4．（Ⅱ）由表可知，40天中“下跌”的有14天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下跌”的概率為＝0.35，40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“不變”的概率為＝0.25，則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率××0.25＝0.168．（Ⅲ）由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，“上漲”后下一次仍“上漲”的有4次，概率為，“上漲”后下一次“不變”的有9次，概率為，“上漲”后下一次“下降”的有2次，概率為，故第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“不變”的概率估值最大．11．（2023?甲卷）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．（1）設(shè)X表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝，P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）分布列見解答；期望為1；（2）（i）m＝23.4；列聯(lián)表見解答；（ii）能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得X＝0，1，2，又P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，∴X的分布列為：X012P∴E（X）＝＝1；（2）（i）40個數(shù)據(jù)從小到大排列后，中位數(shù)m即為第20位和第21位數(shù)的平均數(shù)，第20位數(shù)為23.2，第21位數(shù)為23.6，∴m＝，∴補全列聯(lián)表為：＜m≥m合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可知＝6.400＞3.841，∴能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．12．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件B為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求P（B）和P（B|A），并判斷事件A和事件B是否獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不獨立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍色外觀8，則對應(yīng)的概率P（B）＝＝＝．取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即P（AB）＝，則P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不獨立．（2）由題意知X＝600，300，150，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P＝＝＝，外觀和內(nèi)飾都異色的概率P＝＝，僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，則X的分布列為：X150300600P則EX＝150×+300×+600×＝277（元）．13．（2023?全國）盒中有4個球，分別標有數(shù)字1、1、2、3，從中隨機取2個球．（1）求取到2個標有數(shù)字1的球