2022-2023學年四川省內(nèi)江市重點中學高三上期末數(shù)學試卷理科含解析

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一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知全集，集合，則()

A.B.C.D.

2.已知，則()

A.B.C.D.

3.隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁名運動員要與個“冰墩墩”站成一排拍照留戀，已知“冰墩墩”在最中間，甲、乙、丙、丁名運動員隨機站于兩側(cè)，則甲、乙名運動員站“冰墩墩”同一側(cè)的概率為()

A.B.C.D.

4.九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日增等尺，三日織尺，第二日、第四日、第六日所織之和為尺，則其七日共織尺數(shù)為幾何？”大致意思是：“有一女子善于織布，每日增加相同的尺數(shù)，前三日共織布尺，第二日、第四日、第六日所織布之和為尺，問她前七日共織布多少尺？”()

A.B.C.D.

5.已知向量，是兩個單位向量，則“為銳角”是“”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知各頂點都在同一球面上的正四棱錐的高為，體積為，則這個球的表面積為()

A.B.C.D.

7.某程序框圖如圖所示，則輸出的()

A.B.C.D.

8.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說，數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)的圖象可能為()

A.B.

C.D.

9.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則()

A.

B.

C.

D.

10.已知圓：，點，直線：點是圓上的動點，點是上的動點，則的最小值為()

A.B.C.D.

11.設(shè)，，，則()

A.B.C.D.

12.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，，，，給出下列結(jié)論：

，；

；

當時，的解集為；

若函數(shù)的圖象與直線在軸右側(cè)有個交點，則實數(shù)的取值范圍是．

其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若實數(shù)，滿足，則的取值范圍是______．

14.若，則．

15.數(shù)列滿足，其前項和為若恒成立，則的最小值為______．

16.定義：設(shè)函數(shù)在上的導函數(shù)為，若在上也存在導函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導函數(shù)，簡記為若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為______．

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

中，．

求；

若，求周長的最大值．

18.本小題分

某工廠為了檢測一批新生產(chǎn)的零件是否合格，從中隨機抽測個零件的長度單位：該樣本數(shù)據(jù)分組如下：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖經(jīng)檢測，樣本中大于的零件有個，長度分別為，，，，，，，，，，，，．

求頻率分布直方圖中，，的值及該樣本的平均長度結(jié)果精確到，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表；

視該批次樣本的頻率為總體的概率，從工廠生產(chǎn)的這批新零件中隨機選取個，記為抽取的零件長度在的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，是的中點，，，．

Ⅰ證明：；

Ⅱ求平面與平面夾角的余弦值．

20.本小題分

已知橢圓的方程為，右焦點為，且離心率為．

求橢圓的方程；

設(shè)，是橢圓上的兩點，直線與曲線相切證明：，，三點共線的充要條件是．

21.本小題分

已知函數(shù)．

若，求的取值范圍；

證明：若有兩個零點，，則．

22.本小題分

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程是．

求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

已知，設(shè)直線和曲線交于，兩點，線段的中點為，求的值．

23.本小題分

已知，，均為正數(shù)，且，證明：

；

若，則．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

全集，

．

故選：．

計算出集合，由補集的定義即可得出答案．

本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：因為，

所以．

故選：．

根據(jù)復數(shù)的四則運算和共軛復數(shù)的概念即可求解．

本題主要考查復數(shù)的四則運算和共軛復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：甲、乙、丙、丁名運動員與個“冰墩墩”排成一排，

且“冰墩墩”在最中間的所有排法有種，

甲、乙名運動員站“冰墩墩”同一側(cè)的排法有種，

由古典概型的概率公式可得甲、乙名運動員站“冰墩墩”同一側(cè)的概率：．

故選：．

先求出甲、乙、丙、丁名運動員與個“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中間的所有排法的所有排法，再求甲、乙名運動員站“冰墩墩”同一側(cè)的排法，根據(jù)古典概型概率公式求概率．

本題考查了古典概型的概率公式，考查排列問題，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由題知，該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，

設(shè)其每日增加的尺數(shù)為，其前項和為，

所以，，即，解得，，

所以，她前七日共織布尺．

故選：．

該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，進而得，再解方程，并計算前項和即可．

本題主要考查等差數(shù)列的前項和公式，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：已知向量，是兩個單位向量，

若為銳角，則，

，

故由“為銳角”可以推出“”，

反過來，由兩邊平方可得：，

，，即，

不一定為銳角，

故由“”推不出“為銳角”，

“為銳角”是“”的充分不必要條件．

故選：．

直接根據(jù)充分不必要條件的定義進行判斷即可．

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：正四棱錐的外接球的球心在它的高上，

記為，，，，

在中，得，

球的表面積

故選：．

畫出圖形，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，記為，求出，，解出球的半徑，求出球的表面積

本題考查球的表面積，球的內(nèi)接體問題，解答關(guān)鍵是利用直角三角形列方程式求解球的半徑，是基礎(chǔ)題

7.【答案】

【解析】解：模擬程序框圖的運行過程知，

，，進入循環(huán)；

，；

，；

，，

退出循環(huán)，輸出．

故選：．

模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出的值．

本題考查了程序框圖的運行問題，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，屬于?？碱}．

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，結(jié)合當時的函數(shù)符號進行排除即可．

【解答】

解：，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除，，

當時，，排除．

故選：．

9.【答案】

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的圖象：，

整理得，

故；

當時，，

所以，

整理得，

當時，；

故，

將函數(shù)的圖象向右平移個單位，

得到．

故選：．

直接利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用函數(shù)的平移變換的應用求出結(jié)果．

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的求法，函數(shù)的圖象的平移變換，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：由圓：，得，

圓心的坐標為，半徑為，

又點關(guān)于直線：的對稱點為．

．

故選：．

求得圓心坐標與半徑，根據(jù)題意作出圖形，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值．

本題考查圓上的點到點的距離的最小值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．

11.【答案】

【解析】解：因為，，，

因為，

又，

所以．

故選：．

由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性先確定，，的范圍，然后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)比較，的大小即可判斷．

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：因為，所以，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以的周期為，

又，所以，所以，，

所以，故正確；

因為，，故錯誤；

易知，作出函數(shù)在上的圖象，

根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，及其周期為，得到函數(shù)在上的圖象，如圖所示，

由的圖象知，當時，的解集為，故正確；

由題意，知直線恒過點，與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)有個交點根據(jù)圖象，

可知當時，應有，即，且同時滿足，無解，

即當時，，無解，所以，解得，

所以，

當時，應有，即，且同時滿足，無解，

即當時，，無解，所以，

解得，所以，

綜上，或，錯誤．

故選：．

由，解出，的值可判斷；由周期和奇偶函數(shù)的性質(zhì)計算可判斷；作出函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象可判斷；討論當和，方程的解的個數(shù)可判斷．

本題考查了分段函數(shù)的應用，考查了學生的數(shù)形結(jié)合思想以及運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得，

令，作出直線，

由圖可知，當直線過時，有最小值為，

平移直線直線過時，有最大值為．

的取值范圍是．

故答案為：．

由約束條件作出可行域，令，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：由二項式展開式的通項公式為可得：，

故答案為：．

結(jié)合二項式展開式的通項公式求解即可．

本題考查了二項式展開式的通項公式，重點考查了二項式展開式項系數(shù)的求法，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：，

可得其前項和

，

由，可得，

恒成立，可得，即的最小值為．

故答案為：．

求得，由裂項相消求和可得其前項和，再由不等式的性質(zhì)和不等式恒成立思想，可得的最小值．

本題考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查不等式恒成立問題解法，考查化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：函數(shù)的定義域為，

則，即，

由題意得，在上恒成立；

所以，

則，所以，

令，則，

時，，所以在上為增函數(shù)，

由，得，

所以，則，

即時，恒成立，

設(shè)，則，

當時，，所以在上單調(diào)遞增，

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以，則；

故實數(shù)的取值范圍為．

故答案為：．

對函數(shù)求導兩次得到，再由得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，從而得到，變式得：，再次構(gòu)造函數(shù)，求即可．

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的恒成立，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．

17.【答案】解：設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，

因為，

由正弦定理可得，

即為，

由余弦定理可得，

由，可得；

由題意可得，

又，可設(shè)，，，

由正弦定理可得，

可得，，

則周長為

，

，

當，即時，的周長取得最大值．

【解析】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運用，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．

運用正弦定理得到，再利用余弦定理可得所求角；

可設(shè)，，，運用正弦定理和三角恒等變換，將周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得周長的最大值．

18.【答案】解：由題意可得，

，

，

所以，，．

．

由可知從該工廠生產(chǎn)的新零件中隨機選取件，

長度在的概率

且隨機變量服從二項分布，

所以，，

，，

所以隨機變量分布列為：

．

【解析】利用頻率分布直方圖，求出，，的概率，然后求解平均值即可；

判斷隨機變量服從二項分布，求出概率得到分布列，然后求解期望；

本題考查離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，屬于中檔題．

19.【答案】證明：延長，過點作，垂足為，連接，，

由平面平面，平面平面，平面，

又平面，，

，，，

，，是正三角形，

又是直角梯形，，即也是正三角形，

故ABDF為菱形，所以，，三點共線，且，平面，

又平面，從而．

由知，以點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，取，

又平面，所以平面的法向量為，

設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，

所以平面與平面夾角的余弦值是．

【解析】利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得結(jié)論；

建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面夾角．

本題考查線面角及空間向量的應用，考查學的是運算能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：由題意，橢圓半焦距，且，所以，

又，

所以橢圓方程為：；

證明：由得，曲線為，

當直線的斜率不存在時，直線：，不合題意；

當直線的斜率存在時，設(shè)，

充分性的證明：設(shè)直線：即，

由直線與曲線相切可得，所以，

聯(lián)立可得，

，即，

所以，，

所以，

，

化簡得，所以，

所以或，

所以直線：或，

所以直線過點，即，，三點共線，充分性成立．

必要性的證明：當、、三點共線，可設(shè)直線：即，

由直線與曲線相切，可得，解得，

聯(lián)立，整理可得，

顯然成立，且，，

所以，

所以必要性成立；

所以，，三點共線的充要條件是．

【解析】由題意可得的值，再由離心率可得的值，進而求出的值，求出橢圓的方程；

分充分性和必要性兩種情況討論，可證得三點共線的充要條件．

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應用，充要條件的證明方法，屬于中檔題．

21.【答案】

解：定義域為，，

令，所以當時，，單調(diào)遞減

當時，單調(diào)遞增，要使得恒成立，

即滿足．

由知，若有兩個零點，則，

而，

即，

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以成立，

令，且，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增