北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章課時(shí)作業(yè)18拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）

第第頁(yè)北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章課時(shí)作業(yè)18拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第二章課時(shí)作業(yè)18拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(原卷版)

角

一、選擇題

1.與y軸相切并和圓x2＋y2－10x＝0外切的動(dòng)圓圓心的軌跡為(B)

A.圓

B.拋物線(除去頂點(diǎn))和一條射線

C.橢圓

D.拋物線

2.已知點(diǎn)P(－2，4)在拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(C)

A.(0，2)B.(0，4)

C.(2，0)D.(4，0)

3.拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為(B)

A.B.－

C.4D.－4

4.已知拋物線C：y2＝6x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)且在第一象限，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，且A，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，則|AF|＝(C)

A.12B.9

C.6D.3

5.設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則||的值為(C)

A.1B.2

C.3D.4

6.已知點(diǎn)P是拋物線x＝y(tǒng)2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為(C)

A.2B.

C.－1D.＋1＝－1.故選C.

7.拋物線y＝x2上一點(diǎn)到直線2x－y－4＝0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是(B)

A.B.(1，1)

C.D.(2，4)

8.(多選題)點(diǎn)M(1，1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為(AB)

A.B.－

C.D.－

二、填空題

9.已知點(diǎn)M(1，2)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，則p＝2；點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)的距離是2.

10.已知拋物線Γ：y2＝4x焦點(diǎn)為F，拋物線Γ上的點(diǎn)P滿足|PF|＝5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，4)或(4，－4).

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2，1)，若線段OA的垂直平分線過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的方程是y2＝5x.

三、解答題

12.已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程.

所求動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

已知曲線G：y＝及點(diǎn)A，若曲線G上存在相異兩點(diǎn)B，C，其到直線l：2x＋1＝0的距離分別為|AB|和|AC|，求|AB|＋|AC|的值.

14.(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，則拋物線C的方程可能為(AC)

A.y2＝4xB.y2＝8x

C.y2＝16xD.y2＝32x16x.故選AC.

15.若拋物線x2＝16y上一點(diǎn)(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的3倍，則y0＝2.

16.動(dòng)圓P與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且與直線l：x＝1相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.

北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第二章課時(shí)作業(yè)18拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(解析版)

一、選擇題

1.與y軸相切并和圓x2＋y2－10x＝0外切的動(dòng)圓圓心的軌跡為(B)

A.圓

B.拋物線(除去頂點(diǎn))和一條射線

C.橢圓

D.拋物線

解析：若動(dòng)圓在y軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)(5，0)與到定直線x＝5的距離相等，其軌跡是拋物線(除去頂點(diǎn))，方程為y2＝20x(x≠0)；若動(dòng)圓在y軸左側(cè)，則動(dòng)圓圓心軌跡是x負(fù)半軸，是射線，方程為y＝0，x＜0.故選B.

2.已知點(diǎn)P(－2，4)在拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(C)

A.(0，2)B.(0，4)

C.(2，0)D.(4，0)

解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，∵P(－2，4)在拋物線的準(zhǔn)線上，∴－＝－2，∴p＝4，∴該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0).故選C.

3.拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為(B)

A.B.－

C.4D.－4

解析：由y＝ax2，變形得x2＝y(tǒng)＝2×y，∴p＝.又拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.故選B.

4.已知拋物線C：y2＝6x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)且在第一象限，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，且A，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，則|AF|＝(C)

A.12B.9

C.6D.3

解析：如圖所示，連接AN.因?yàn)锳，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以|AM|為圓F的直徑，所以AN⊥MN，點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3，則易知|AN|＝6，由拋物線定義知|AF|＝|AN|＝6.故選C.

5.設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則||的值為(C)

A.1B.2

C.3D.4

解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦點(diǎn)F，所以x1＋x2＋x3＝3×，則|＝(x1＋x2＋x3)＋＝3.故選C.

6.已知點(diǎn)P是拋物線x＝y(tǒng)2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為(C)

A.2B.

C.－1D.＋1

解析：由拋物線x＝y(tǒng)2可得y2＝4x，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).依題意可知點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，就是P到(0，2)與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離的和的最小值減去1，也就是點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與P到該拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值減1，可得－1＝－1.故選C.

7.拋物線y＝x2上一點(diǎn)到直線2x－y－4＝0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是(B)

A.B.(1，1)

C.D.(2，4)

解析：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為(x，y)，則由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝，當(dāng)x＝1時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1).故選B.

8.(多選題)點(diǎn)M(1，1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為(AB)

A.B.－

C.D.－

解析：拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝－，因?yàn)辄c(diǎn)M(1，1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2，所以＝2，解得a＝或a＝－，故選AB.

二、填空題

9.已知點(diǎn)M(1，2)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，則p＝2；點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)的距離是2.

解析：點(diǎn)M(1，2)代入拋物線方程得22＝2p×1，解得p＝2；拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離1－(－1)＝2.

10.已知拋物線Γ：y2＝4x焦點(diǎn)為F，拋物線Γ上的點(diǎn)P滿足|PF|＝5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，4)或(4，－4).

解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(xP，yP)，由已知可得，F(xiàn)(1，0)，|PF|＝xP＋1＝5，xP＝4，代入拋物線方程y2＝4x得yP＝±4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，4)或(4，－4).

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2，1)，若線段OA的垂直平分線過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的方程是y2＝5x.

解析：由題意，得線段OA的垂直平分線方程為2x＋y－＝0，則與x軸的交點(diǎn)為F.所以p＝，即拋物線方程為y2＝5x.

三、解答題

12.已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程.

解：解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有＝|x|＋1.將兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝

∴動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

解法二：由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F(1，0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x＜0時(shí)，直線y＝0上的點(diǎn)適合條件；當(dāng)x≥0時(shí)，題中條件等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離相等，故點(diǎn)P的集合是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝4x.故所求動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

13.已知曲線G：y＝及點(diǎn)A，若曲線G上存在相異兩點(diǎn)B，C，其到直線l：2x＋1＝0的距離分別為|AB|和|AC|，求|AB|＋|AC|的值.

解：曲線G：y＝，即為半圓M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，由題意得B，C為半圓M與拋物線y2＝2x的兩個(gè)交點(diǎn)，由y2＝2x與(x－8)2＋y2＝49(y≥0)聯(lián)立方程組得x2－14x＋15＝0，方程必有兩不等實(shí)根，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2).所以|AB|＋|AC|＝x1＋＋x2＋＝14＋1＝15.

14.(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，則拋物線C的方程可能為(AC)

A.y2＝4xB.y2＝8x

C.y2＝16xD.y2＝32x

解析：由題意可知，拋物線C的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0，2)，拋物線C上點(diǎn)M(x0，y0)，則，.

因?yàn)橐訫F為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，所以＝0，即－8y0＋16＝0，

解得y0＝4，M.由|MF|＝5得＝5.

又p＞0，解得p＝2或p＝8，則拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選AC.

15.若拋物線x2＝16y上一點(diǎn)(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的3倍，則y0＝2.

解析：拋物線x2＝16y的準(zhǔn)線方程為y＝－4，由拋物線的定義知，拋物線x2＝16y上一點(diǎn)(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離為y0＋4，∴y0＋4＝3y0，解得y0＝2.

16.動(dòng)圓P與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且與直線l：x＝1相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.

解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，

作