北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.6 等腰三角形 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.6等腰三角形素養(yǎng)提升練（含解析）第十二章三角形

三等腰三角形與直角三角形

12.6等腰三角形

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點1等腰三角形及相關(guān)概念

1.如圖所示,D在AC上,AB=AC,AD=DB,請指出圖中的等腰三角形,以及它們的腰、底邊、頂角及底角.

知識點2等腰三角形的性質(zhì)

2.如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,下列結(jié)論不一定正確的是()

A.∠B=∠C

B.BD=CD

C.AB=2BD

D.AD平分∠BAC

3.(2023青海中考)等腰三角形的一個內(nèi)角為70°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是()

A.55°,55°B.70°,40°

C.70°,40°或70°,55°D.55°,55°或70°,40°

4.(2022遼寧鞍山中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD,則∠D的度數(shù)為()

A.39°B.40°C.49°D.51°

5.(2022山東濱州中考)如圖,屋頂?shù)匿摷芡饪蚴堑妊切?其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且頂角∠BAC=120°,則∠C的大小為.

6.(2023北京東城期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D,點E為AB的中點,連接DE,則∠ADE的度數(shù)是.

7.【方程思想】(2023北京理工大附中分校期中)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點D,E在邊BC上,滿足BD=AD=AE=CE,且∠DAE=∠ADE.求∠BAC的數(shù).

知識點3等邊三角形的性質(zhì)

8.(2022遼寧鞍山中考)如圖,直線a∥b,等邊三角形ABC的頂點C在直線b上,∠2=40°,則∠1的度數(shù)為()

A.80°B.70°C.60°D.50°

第8題圖

第9題圖

9.(2022廣東珠海南屏中學(xué)期中)如圖,AD是等邊△ABC的中線,若在邊AC上取一點E,使得AE=AD,則∠EDC的度數(shù)為()

A.30°B.20°C.25°D.15°

10.(2022北京東城期末)如圖,BD,CE是等邊三角形ABC的中線,BD,CE交于點F,則∠BFC=°.

11.如圖所示,在直線AC的同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE,連接AE,CD,且它們相交于點H,AE交BD于G,DC交BE于F,連接GF.

求證:(1)△ABE≌△DBC;

(2)AE=DC;

(3)AE與DC所夾的銳角為60°;

(4)△ABG≌△DBF;

(5)GF∥AC.

知識點4等腰三角形的判定

12.(2023北京順義期末)如圖,在正方形網(wǎng)格中,A,B兩點都在小方格的頂點上,如果點C也在小方格的頂點處,且△ABC是等腰三角形,那么符合條件的點C的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

13.(2023安徽合肥廬陽期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分線,交AC于點D,E是AB的中點,連接ED并延長,交BC的延長線于點F,連接AF.寫出圖中所有等腰三角形:.

14.(2023北京海淀期中)如圖,BE是△ABC的角平分線,DE∥BC.求證:△BDE是等腰三角形.

知識點5等邊三角形的判定

15.如圖,小馬師傅用自制的工具測量零件內(nèi)部的寬度AB,已知OA=OB=50cm,

∠DOC=60°,則零件內(nèi)部的寬度AB=.

16.(2023江蘇鎮(zhèn)江期中)如圖,在一個池塘旁有一條筆直的公路MN,池塘對面有一個建筑A,小明在公路一側(cè)點B處測得∠ABN=60°,為了得到他與建筑物A之間的距離,小明沿公路MN繼續(xù)向東走到點C處,測得∠ACB=60°,并測得他走了48米,

則AB=米.

17.【教材變式·P104T8】如圖,延長△ABC的各邊,使得BF=AC,AE=CD=AB,連接DE、EF、FD,得到等邊三角形DEF.

求證:(1)△AEF≌△CDE;

(2)△ABC為等邊三角形.

能力提升全練

18.(2022湖北荊州中考,3,★☆☆)如圖,直線l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,則∠1+∠2的度數(shù)是()

A.60°B.70°

C.80°D.90°

19.(2022北京豐臺期末,14,★☆☆)如圖,在等邊三角形ABC中,AB=2,BD是AC邊上的高,延長BC至點E,使CE=CD,則BE的長為.

20.【分類討論思想】(2023北京理工大學(xué)附中期中,14,★★☆)已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為.

21.【易錯題】(2023黑龍江牡丹江中考,6,★★☆)過等腰三角形頂角頂點的一條直線,將該等腰三角形分成了兩個小等腰三角形,則原等腰三角形底角的度數(shù)為.

22.(2023湖北武漢外國語學(xué)校期末,24,★★☆)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比為5∶6∶7,則以PA,PB,PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比(從小到大排序)為.

23.(2023北京十二中期中,26,★☆☆)如圖,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,過點A作AE∥BD交CB的延長線于E,F為AE的中點,判斷BF與BD的位置關(guān)系并證明.

24.(2022北師大附中期末,23,★★☆)如圖,AD∥BC,AE平分∠BAD,點E為DC中點,求證:AD+BC=AB.

25.(2023浙江紹興中考,21,★★☆)如圖,在△ABC中,∠A=40°,點D,E分別在邊AB,AC上,BD=BC=CE,連接CD,BE.

(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度數(shù);

(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系,并說明理由.

素養(yǎng)探究全練

26.【推理能力】【實踐探究題】在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.

(1)如圖1,圖中等腰三角形為,猜想:EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖2,若AB≠AC,則圖中等腰三角形是,(1)中的EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系還存在嗎請說明理由;

(3)如圖3,△ABC中,∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.圖中等腰三角形是,寫出EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖1

圖2

圖3

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.解析等腰三角形有△ABC、△ABD;△ABC的腰是AB、AC,底邊是BC,頂角是∠A,底角是∠ABC、∠ACB;△ABD的腰是AD、BD,底邊是AB,頂角是∠ADB,底角是∠A、∠ABD.

2.C∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠B=∠C,BD=DC,AD平分∠BAC,故A、B、D選項正確,無法確定AB=2BD,故C選項不一定正確.

故選C.

3.D分情況討論:(1)當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時,底角=(180°-70°)÷2=55°;(2)當?shù)妊切蔚牡捉菫?0°時,另外一個底角為70°,頂角為180°-70°-70°=40°.故選D.

4.A∵AB=AC,∠BAC=24°,

∴∠B=∠ACB=78°.

∵CD=AC,∠ACB=78°,∠ACB=∠D+∠CAD,

∴∠D=∠CAD=∠ACB=39°.

故選A.

5.答案30°

解析∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×60°=30°.

6.答案54°

解析∵AB=AC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC=36°,

∴∠ABD=∠A,∴AD=BD,

∵點E為AB的中點,

∴∠AED=90°,

∴∠ADE=90°-∠A=54°.

7.解析∵AB=AC,∴∠B=∠C,

設(shè)∠B=∠C=x,

∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x,∴∠ADE=2x,

∵AE=CE,∴∠CAE=∠C=x,

∴∠AED=2x,∴∠DAE=180°-4x,

∵∠DAE=∠ADE,

∴180°-4x=x,解得x=36°,

∴∠B=∠C=36°,

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=108°.

8.A如圖,∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=60°,

∵∠A+∠3+∠2=180°,

∴∠3=180°-40°-60°=80°,

∵a∥b,∴∠1=∠3=80°.故選A.

9.D∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,

∵AD是等邊△ABC的中線,

∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAC=30°,

∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED,

∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°,

∴∠ADE+∠ADE+30°=180°,

∴∠ADE=75°,∴∠EDC=90°-75°=15°.

10.答案120

解析∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°,

∵BD,CE是等邊三角形ABC的中線,

∴BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,

∴∠FBC=∠ABC=30°,∠FCB=∠ACB=30°,

∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.

11.證明(1)∵△ABD、△BCE為等邊三角形,

∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,

∴∠ABE=∠DBC,∠DBE=60°.

在△ABE和△DBC中,

∴△ABE≌△DBC(SAS).

(2)由(1)知△ABE≌△DBC,∴AE=DC.

(3)由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.

∵∠DGH=∠AGB,∠DHA=180°-∠BDC-∠DGH,∠DBA=180°-∠BAE-∠AGB,

∴∠DHA=∠DBA=60°,

∴AE與DC所夾的銳角為60°.

(4)由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAG=∠BDF.

在△ABG和△DBF中,

∴△ABG≌△DBF(ASA).

(5)由(4)知△ABG≌△DBF,∴BG=BF.

∴∠GFB=∠FGB,又∵∠GBF=60°,

∴∠GFB==60°,

∴∠GFB=∠FBC,∴GF∥AC.

12.C當AB為腰時,符合條件的點C有2個;當AB為底時,符合條件的點C有1個.故選C.

13.答案△ABD,△BDC,△ABC,△ACF,△ABF

解析∵AB=AC,∠BAC=36°,

∴∠ABC=∠ACB=72°,△ABC是等腰三角形,

∵BD是∠ABC的平分線,

∴∠ABD=∠CBD=36°=∠BAC,

∴AD=BD,∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°=∠ACB,

∴△ABD是等腰三角形,BD=BC,

∴△BDC是等腰三角形,

∵AD=BD,E是AB的中點,

∴DE⊥AB,∴∠FEA=∠FEB=90°,

∵AE=BE,EF=EF,∴△AEF≌△BEF(SAS),

∴AF=BF,∠FAB=∠FBA=72°,

∴△ABF是等腰三角形,∠AFB=180°-72°-72°=36°,∠FAC=72°-36°=36°,∴∠AFB=∠FAC,

∴AC=CF,

∴△ACF是等腰三角形.

14.證明∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠EBC,

∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC,

∴∠ABE=∠DEB,∴DB=DE,

∴△BDE是等腰三角形.

15.答案50cm

解析∵∠DOC=60°,∴∠AOB=60°.∵OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,

∴AB=OA=OB=50cm.

16.答案48

解析∵∠ABC=∠ACB=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=48米.

17.證明(1)∵BF=AC,AB=AE,∴FA=EC.

∵△DEF是等邊三角形,∴EF=DE.

∵AE=CD,∴△AEF≌△CDE(SSS).

(2)由(1)知△AEF≌△CDE,∴∠FEA=∠EDC,

∵△DEF是等邊三角形,∴∠DEF=60°.

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,

∴∠BCA=60°,同理可得∠BAC=60°,

∴∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形.

能力提升全練

18.B過點C作CD∥l1,如圖,

∵l1∥l2,∴l(xiāng)1∥l2∥CD,

∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,

∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB,

∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,

∵∠BAC=40°,∴∠ACB=(180°-∠BAC)=70°,

∴∠1+∠2=70°.故選B.

19.答案3

解析∵△ABC是等邊三角形,

∴AC=BC=AB=2,

∵BD是△ABC的高線,

∴D為AC的中點,

∴AD=CD=AC=1,

∵CE=CD,∴BE=BC+CE=2+1=3.

20.答案55°或125°

解析分兩種情況討論:

①當一腰上的高在三角形內(nèi)部時,如圖1,

∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°.

∵∠ABD=35°,∴∠A=180°-35°-90°=55°.

圖1

圖2

②當一腰上的高在三角形外部時,如圖2,

∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°.

∵∠ABD=35°,∴∠BAC=90°+35°=125°.

綜上所述,這個等腰三角形頂角的度數(shù)為55°或125°.

21.答案36°或45°

解析分兩種情況討論:

(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,

∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,

∴∠BAC=2∠B,

∵∠BAC+∠B+∠C=180°,

∴4∠B=180°,∴∠B=45°.

(2)如圖2,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,

∴∠B=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,

∴∠CAD=∠CDA=∠ABC+∠BAD=2∠B,

∴∠BAC=3∠B,

∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.

綜上,原等腰三角形底角的度數(shù)為36°或45°.

圖1

圖2

22.答案2∶3∶4

解析如圖,將△APB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C,連接PP',

則AP=AP',∠PAP'=60°,P'C=PB,∴△APP'是等邊三角形,

∴PP'=AP,∠AP'P=∠APP'=60°,

∴△P'CP的內(nèi)角大小之比就是以PA,PB,PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比,

∵∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7,

∴設(shè)∠APB=5x°,∠BPC=6x°,∠CPA=7x°,

∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,

∴5x+6x+7x=360,∴x=20,

∴∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°,

∴∠PP'C=∠AP'C-∠AP'P=∠APB-∠AP'P=100°-60°=40°,∠P'PC=∠APC-∠APP'=140°-60°=80°,

∴∠PCP'=180°-(40°+80°)=60°,

∴∠PP'C∶∠PCP'∶∠P'PC=40°∶60°∶80°=2∶3∶4.

23.解析BF⊥BD.

證明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,

∵AE∥BD,∴∠E=∠DBC,∠EAB=∠ABD,

∴∠E=∠EAB,∴AB=BE,

∵F為AE的中點,∴∠ABF=∠EBF,

∵∠EBC=180°,

∴∠DBF=∠ABF+∠ABD=×180°=90°,

∴BF⊥BD.

24.證明如圖,分別延長AE,BC交于點F,

∵AD∥BC,∴∠DAE=∠CFE,

∵點E是DC的中點,∴ED=CE,

在△ADE與△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(AAS),

∴AD=CF,

∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,

∵∠DAF=∠F,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,

∴AB=BF=BC+CF=BC+AD,即AD+BC=AB.

25.解析(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,

∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°,

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,

∵CE=BC,∴△BCE是等邊三角形,

∴∠EBC=60°,

∴