曲線與方程課件

曲線與方程直線拋物線曲線與方程直線1曲線與方程概念一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果其曲線c上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.曲線與方程概念2定義中為什么要作兩條規(guī)定？從集合的角度來看：一條曲線C和一個方程f(x，y)＝0可以是同一個點集在“形”和“數(shù)”兩個不同方面的反映，只有當(dāng)曲線所表示的點集C與方程f(x，y)=0的解所表示的點集F是同一個點集，即C=F時，才能稱曲線為方程的曲線，方程為曲線的方程，那么怎樣驗證C=F呢？從以下兩個方面：1°曲線C上任一點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)=0的解．2°以方程f(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上．當(dāng)1°2°同時滿足時，C=F，即曲線與方程之間是對應(yīng)的．定義中為什么要作兩條規(guī)定？從集合的角度來看：一條曲線C和一個3例題講解：

例1證明圓心為坐標(biāo)原點，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點M1（3，－4）、M2（－2，2）

(2)把點M1（3，－4）的坐標(biāo)代入方程x2+y2=25，左右兩邊相等，（3，－4）是方程的解，所以點M1在這個圓上；把點M2（－2，2）的坐標(biāo)代入方程x2+y2=25，左右兩邊不等，（－2，2）不是方程的解，所以點M2不在這個圓上.是否在這個圓上.點在曲線上的充要條件：如果曲線C的方程是f（x,y）=0，那么點P0=（x0,y0）.在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0.1°曲線C上任一點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)=0的解．2°以方程f(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上．例題講解：

例1證明圓心為坐標(biāo)原點，半徑等于5的圓的方程4曲線的點集與方程的解集之間的關(guān)系點M與有序?qū)崝?shù)對（x,y），曲線C與方程f(x,y)=0之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系。點M曲線C按某種運(yùn)動規(guī)律幾何意義坐標(biāo)(x,y)方程f(x,y)=0x,y的制約關(guān)系代數(shù)意義曲線的點集與方程的解集之間的關(guān)系點M曲線C按某種運(yùn)5反饋練習(xí)1已知坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上，下列命題中正確的是：A曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程f(x,y)=0B不在曲線C上的點的坐標(biāo)比不適合方程f(x,y)=0C凡坐標(biāo)不適合方程f(x,y)=0的點都不在C上D曲線C是滿足條件f(x,y)=0的點的軌跡反饋練習(xí)1已知坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上，62,下列各組方程表示相同的曲線是3,點（2，－3）在曲線x2-ay2=0上，則a=____2,下列各組方程表示相同的曲線是3,點（2，－3）在曲線x27解析幾何與坐標(biāo)法：學(xué)過曲線的方程,方程的曲線的概念之后,我們可以借助坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點,把曲線看成是滿足某種條件的點的集合或軌跡,用曲線上的點的坐標(biāo)(x,y)所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接研究曲線的性質(zhì)，我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法.在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫解析幾何的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.解析幾何與坐標(biāo)法：8平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).平面解析幾何研究的主要問題：9例2設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)是（－1，－1），（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程.解：設(shè)M（x,y）是線段AB的垂直平分線上任意一點點M屬于集合由兩點間的距離公式，點M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得x+2y－7=0①我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程.例2設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)是（－1，－1），（3，7），求線10由（1）、（2）可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程.即點M1在線段AB的垂直平分線上我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程（1）由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點的坐標(biāo)都是方程①解；（2）設(shè)點M1的坐標(biāo)（x1,y1）是方程①的解，即x+2y1－7=0x1=7－2y1點M1到A、B的距離分別是由（1）、（2）可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程.即點11由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P的點M的集合P={M|p（M）}；（3）用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.建系—列式—化簡—證明由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步12例4，已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點到點A（0，2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程.例3，M與兩條互相垂直的直線的距離的積是k(k>0),求M的軌跡方程。例4，已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點到點A（0，13問題一相關(guān)點法求軌跡例1：已知三角形ABC中，A(-2,0)B(0,2)第三個頂點C在曲線y=3x2-1上移動，求三角形ABC的重心G的軌跡方程。例2：過點P(2,4)做兩條相互垂直的直線l1l2，若l1交x軸與點A,l2交y軸于B點，求線段AB中點M的軌跡方程問題一相關(guān)點法求軌跡例1：已知三角形ABC中，A(-2,0)14問題二曲線的交點問題例1：l:y=kx+2,C:y2=4x,當(dāng)k為何值時，兩曲線有一個公共點？例2：拋物線y=x2+mx+2與以A(0,1)B(2,3)