非協(xié)調(diào)區(qū)域分解的lagrangian乘子法

非協(xié)調(diào)區(qū)域分解的lagrangian乘子法

非協(xié)調(diào)區(qū)域分解法近年來(lái)，隨著并行計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，解決橢圓方程的區(qū)域分解方法越來(lái)越受到重視。然而，現(xiàn)在提出的有限區(qū)域分解方法通常要求在子區(qū)域邊界通過(guò)某些機(jī)制調(diào)整有限空間，并不可避免地限制有限區(qū)域分解算法的靈活性。[3]提出了一種非協(xié)調(diào)區(qū)域分解法——非協(xié)調(diào)區(qū)域分解的雜交法.采用簡(jiǎn)化雜交法處理各子區(qū)域交界處的非協(xié)調(diào)性,這種方法在子區(qū)域的內(nèi)部和邊界采用兩套不同的變量,允許內(nèi)部變量在跨過(guò)各子區(qū)域的邊界時(shí)不連續(xù).但是這種方法有它的局限性,即要求邊界變量在各子區(qū)域的頂點(diǎn)處必須保持連續(xù)性,這對(duì)推廣到三維空間的情形帶來(lái)很大的困難.本文提出一種非協(xié)調(diào)區(qū)域分解的Lagrangian乘子法,引進(jìn)Lagrangian乘子來(lái)處理各子區(qū)域交界處的非協(xié)調(diào)性.這種方法也在子區(qū)域內(nèi)部和邊界采用兩套不同的變量,它不僅允許內(nèi)部變量在越過(guò)各子區(qū)域邊界時(shí)的非協(xié)調(diào)性,并且還允許邊界變量在各子區(qū)域的頂點(diǎn)處可以不連續(xù),這就彌補(bǔ)了[3]的不足.同時(shí),這種算法具有[3]的優(yōu)點(diǎn),即在不同的子區(qū)域上可以根據(jù)實(shí)際情況采用不同的網(wǎng)格精度、不同的插值函數(shù)甚至不同類型的單元,在相當(dāng)一般的條件下與協(xié)調(diào)的區(qū)域分解法具有相同的階精度等.另一方面,我們也證明了采用這種區(qū)域分解的Lagrangian乘子法,邊界剛度矩陣的條件數(shù)和[3]—樣.§2介紹區(qū)域的分解和有限元空間的構(gòu)造;§3給出矩陣表示及相應(yīng)的算法;§4證明LBB條件成立;然后給出誤差估計(jì);最后在§6給出邊界剛度矩陣的條件數(shù)估計(jì).區(qū)域分解和有限元空間下面的方程作為我們的模型,即求的解,這里Ω先把Ω分解成很多子區(qū)域Ω我們作如下假設(shè)A1.Ω是一多邊形區(qū)域.A2.將Ω分解成距離為d的擬一致形的子區(qū)域ΩA3把Ω記Ω完成上述分解后,我們來(lái)構(gòu)造有限元空間.設(shè)S定義ΩS注意Sh(Ω)中的函數(shù)只在每個(gè)區(qū)域的內(nèi)部連續(xù),而在設(shè)定義有限元空間如下:對(duì)于參數(shù)h并且其中子區(qū)域邊界剛度矩陣及等效力的計(jì)算引進(jìn)泛函如下:其中范數(shù)定義為范數(shù)定義為對(duì)應(yīng)于(2.1)的有限元問(wèn)題如下:求(u,λ)∈S這里下面敘述如何實(shí)施有限元區(qū)域分解的算法.首先采用直接法對(duì)每個(gè)子區(qū)域內(nèi)部變量求極小消去內(nèi)部變量,就得到各子區(qū)域的邊界剛度矩陣及等效力,再通過(guò)迭代法求解子區(qū)域邊界上的未知量,最后通過(guò)回代算出子區(qū)域內(nèi)部的未知量.由于用迭代法,不必求出邊界總體剛度矩陣.通常采用的迭代法是共軛梯度法,為提高收斂速度,可采用預(yù)條件的共軛梯度法.以下討論如何具體計(jì)算邊界剛度矩陣.設(shè){u其矩陣表達(dá)式為在(3.2)中關(guān)于U將(3.3)代入(3.2),便得到因此,以下給出算法的具體步驟:1.計(jì)算出有關(guān)的向量和矩陣A2.用迭代法解出Cλ=f.λ是邊界上未知量,由λ3.由(3.3)式計(jì)算出內(nèi)部未知量U實(shí)際計(jì)算時(shí),由于解方程cλ=f采用的是迭代法,我們只要計(jì)算出局部的邊界剛度矩陣及等效力即可.整個(gè)算法適合于并行.定義為引理2.2本節(jié)證明有限元問(wèn)題(3.1)的解的存在唯一性.為簡(jiǎn)便起見(jiàn),以下假設(shè)有限元問(wèn)題(3.1)等價(jià)于如下問(wèn)題:求(u,λ)∈S下面證明相應(yīng)于有限元問(wèn)題(4.1)的LBB條件成立.設(shè)用[1]中辦法定義模因?yàn)锳是半正定的,定義定義成引理1.模由引理2.設(shè)若其中k為≥1的整數(shù).證明見(jiàn)[4].引理3.設(shè)證明.設(shè)a是一個(gè)與Ω于是由引理2,得引理4.設(shè)證明.由定義有下面討論如何選取u,使得為簡(jiǎn)便計(jì),不妨假設(shè)λ在選取Γ則P設(shè)在單位球面由Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)知u∈c因而在單位球面上,有引理5.設(shè)u是方程(2.1)的解,令注意-△u+u=f,u在Ω上是連續(xù)的,得定理1.有限元問(wèn)題(4.1)在空間S證明.唯一性易見(jiàn).以下證明LBB條件成立,即證明如下不等式:設(shè)u顯然由定義有上式中的c是與n,h,d無(wú)關(guān)的正常數(shù).現(xiàn)在說(shuō)明之.設(shè)a,F的意義同引理3,a是一標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域,于是最后一步由引理1得到.于是其中c與n,h,d無(wú)關(guān).這樣即得設(shè)u于是由于n但5.誤差估算本節(jié)從理論上分析§3給出的非協(xié)調(diào)區(qū)域分解法的誤差估計(jì).定理2.假設(shè)h<d,m≤n,u∈H證明.由混合有限元的抽象誤差估計(jì)有條件數(shù)估計(jì)本節(jié)給出邊界剛度矩陣的條件數(shù)估計(jì),這里如引理4取定邊界上的一組正交基(對(duì)空間L定理3.對(duì)應(yīng)于有限元問(wèn)題(3.1),邊界剛度矩陣的條件數(shù)為0(n證明.泛函J(u,λ)限制在Ω關(guān)于u求極小,得解出u,然后代人J于是邊界能量表達(dá)式為估計(jì)邊界剛度矩陣的條件數(shù)時(shí),不妨假設(shè)f≡0,此時(shí)邊界剛度矩