2022-2023學(xué)年廣東省惠州市重點(diǎn)中學(xué)高一下期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.()

A.B.C.D.

2.已知，，，為平面上四點(diǎn)，則“向量”是“直線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)在上的最小值為()

A.B.C.D.

4.若向量，滿足，，且與的夾角為，則()

A.B.C.D.

5.已知，則()

A.B.C.D.或

6.如圖，點(diǎn)為射線與以原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)在圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)一圈則該動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)的解析式是()

A.

B.

C.

D.

7.已知的外接圓圓心為，且，，則()

A.B.C.D.

8.智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲如圖已知噪聲的聲波曲線是，通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是其中，，，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題正確的是()

A.空間中所有的單位向量都相等

B.若，則

C.若，滿足，且，同向，則

D.對于任意向量，，必有

10.下列說法正確的是()

A.向量在向量上的投影向量可表示為

B.若，則與的夾角的范圍是

C.若是等邊三角形，則，的夾角為

D.若，則

11.古代典籍周易中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則()

A.B.

C.D.

12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.函數(shù)的最小正周期為

B.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象

D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為______．

14.已知，則______．

15.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則的最小值是______．

16.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)簡都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖，將筒車抽象為一個(gè)半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時(shí)針方向每旋一周用時(shí)秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒位于點(diǎn)，經(jīng)過秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，則______；當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，盛水筒對應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，．

用，表示，；

如果，，且，求．

18.本小題分

已知，．

Ⅰ若，求；

Ⅱ若、的夾角為，求；

Ⅲ若與垂直，求當(dāng)為何值時(shí)，？

19.本小題分

已知角以軸的非負(fù)半軸為始邊，為終邊上一點(diǎn)．

求，的值；

求的值．

20.本小題分

函數(shù)的部分圖象如圖所示．

求函數(shù)的解析式；

先將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．

21.本小題分

設(shè)兩個(gè)向量，滿足，．

若，求，的夾角；

若，的夾角為，向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

22.本小題分

已知函數(shù)．

求的最小正周期和對稱軸方程；

若方程在定義域上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故選：．

由及兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：由直線，得，必要性成立；由，知直線和平行或重合，充分性不成立．

故選：．

根據(jù)向量共線與直線的平行或重合之間的關(guān)系，得解．

本題考查充分必要條件的判斷，向量共線的含義，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，．

故選：．

根據(jù)正弦型三角函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法得出答案．

本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?，與的夾角為，

所以，

則．

故選：．

根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：，即，．

或，則或，

故選：．

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，求得的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，射線對應(yīng)的角度為，

所以動(dòng)點(diǎn)行程的射線對應(yīng)的角度為，

所以．

故選：．

動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，射線對應(yīng)的角度為，故動(dòng)點(diǎn)行程的射線對應(yīng)的角度為，得到答案．

本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：由，得為的中點(diǎn)，

又為的外接圓圓心，，故BC為外接圓的直徑，

則，又，為正三角形，可得，

．

故選：．

由已知可得為的中點(diǎn)，且，再由數(shù)量積公式得答案．

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查由已知條件求三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意可得通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，從而可求的值．

【解答】

解：噪聲的聲波曲線是，可得通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，

故．

故選：．

9.【答案】

【解析】解：對于，單位向量的大小相等，方向不一定相等，但相等向量的大小和方向都相等，故A錯(cuò)誤；

對于，相等向量的方向相同，所以B正確；

對于，向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對于，由向量加法的三角形法則知，D正確．

故選：．

由向量的相關(guān)概念逐一判斷各選項(xiàng)即可．

本題考查向量的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：對于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義可得向量在向量上的投影向量為，故A正確；

對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以?/p>

又，所以，故B正確；

對于選項(xiàng)C，若是等邊三角形，則，的夾角為，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋曰蚧?，故D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)投影向量的定義即可判斷；根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷；根據(jù)向量夾角的定義即可判斷，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：連接，，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，，

所以，又因?yàn)椋?/p>

所以，是相反向量，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

又，所以所以，項(xiàng)正確；

由上過程可知，連結(jié)交于點(diǎn)，

在直角三角形中，為的中點(diǎn)，

則，

又，

所以，項(xiàng)錯(cuò)誤；

又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：，

延長，，相交于點(diǎn)，則，

所以，故AB，

所以，項(xiàng)正確．

故選：．

連接，，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，，可判斷選項(xiàng)A；從而可得，可判斷選項(xiàng)B；連結(jié)交于點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)C；先判斷出，結(jié)合向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D．

本題主要考查了相反向量的概念，考查了向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的性質(zhì)和相關(guān)運(yùn)算，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：由圖可知，，所以，

于是A正確，所以，則，

將點(diǎn)代入得：，所以，，

又，所以，所以；

對于，因?yàn)?，為最小值?/p>

所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，點(diǎn)不是對稱中心，故B錯(cuò)誤；

對于，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C正確；

對于，由條件結(jié)合圖象可知，于是，

所以，故D正確．

故選：．

先根據(jù)圖象確定解析式，然后對應(yīng)的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，且與的夾角為，所以在上的投影向量為：

．

故答案為：．

若為與的夾角，則在上的投影向量為，由此類比可得所求．

本題考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：

，

，

則．

故答案為：．

利用輔助角公式化簡，再利用倍角公式，計(jì)算即可．

本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，

所得到的圖象對應(yīng)的解析式為，

函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，

所以，，又，所以令，

得的最小值是．

故答案為：．

先求出解析式，再根據(jù)三角函數(shù)奇偶性，誘導(dǎo)公式可得的最小值．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：由題意，得，，，當(dāng)，，即，

所以或，，又，所以，所以，

所以．

故答案為：；．

筒車半徑即為點(diǎn)到點(diǎn)距離，而后根據(jù)題意求出其他參數(shù)，再代入計(jì)算即可．

本題主要考查三角函數(shù)與圓的關(guān)系，屬中檔題．

17.【答案】解：因?yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，

所以，

．

由可知，，

所以，由，可得，

所以．

【解析】利用向量的加減法法則結(jié)合圖形求解；

由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，從而可求出．

本題考查了平面向量基本定理，向量共線，向量模的求法等知識(shí)點(diǎn)，重在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，屬中檔題．

18.【答案】解：Ⅰ分

Ⅱ，

，

分

Ⅲ若與垂直

使得，只要分

即分

分

【解析】Ⅰ由于，則兩向量共線，根據(jù)向量的數(shù)量積即得；

Ⅱ直接根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得到：從而，開方后即得答案；

Ⅲ利用兩個(gè)向量垂直的數(shù)量積條件，由與垂直，得到，為使得，只要代入數(shù)據(jù)即可求得值．

本小題主要考查向量的模、數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：角以軸的非負(fù)半軸為始邊，為終邊上一點(diǎn)，

則，

，；

．

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦、正切函數(shù)的二倍角公式，即可依次求解；

根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解．

本題主要考查三角函數(shù)的二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：由圖可知，，

函數(shù)的最小正周期為，

，

，

，

，

則，

，則，

故；

將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得到函數(shù)的圖象，

再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)的圖象，

則，

當(dāng)時(shí)，，

則，

，

在區(qū)間上的值域?yàn)椋?/p>

【解析】由圖可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；

利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得在上的值域．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

21.【答案】解：，

則，

，，

，

，

，

；

，的夾角為，，，

則，

，

設(shè)，，

則，解得，

向量與的夾角為銳角，

且，解得且，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解；

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查平面向量的數(shù)量