新教材人教A版數(shù)學(xué)學(xué)案第8章微專題2立體幾何中的翻折問(wèn)題

微專題2立體幾何中的翻折問(wèn)題高考全國(guó)卷中，立體幾何重視考查幾何元素間的位置關(guān)系、度量關(guān)系．回顧和審視全國(guó)卷歷年試題的命制，我們發(fā)現(xiàn)有一條清晰的脈絡(luò)，那就是特別重視基本平面幾何圖形性質(zhì)的空間探索，也即特別重視平面圖形翻折前后的幾何元素間的位置關(guān)系、度量關(guān)系的變與不變的考查．這樣命題有助于充分考查考生的空間想象能力，有助于從熟悉的平面圖形要素的位置關(guān)系進(jìn)入到空間幾何體的幾何要素關(guān)系的把握上．類型1箏形的翻折箏形是指以一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形，與菱形定義相對(duì)應(yīng)．菱形是特殊的箏形．箏形的一條對(duì)角線所在的直線垂直平分另一條對(duì)角線．在箏形從平面到空間變換的研究中，常常沿著其中一條對(duì)角線進(jìn)行翻折．在翻折過(guò)程中，兩條對(duì)角線垂直關(guān)系保持不變，這就成為高考試題命制的基礎(chǔ)，常常利用兩個(gè)對(duì)應(yīng)的等腰三角形來(lái)描述空間箏形．【例1】(2017·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．[解](1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO．因?yàn)锳D＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD．(2)連接EO．由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2．又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC．又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD．故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1．類型2等腰梯形的翻折等腰梯形的翻折主要強(qiáng)調(diào)對(duì)腰的翻折，也即保持底面的矩形特征，兩腰向中間翻折，而這里面就有兩底的端點(diǎn)是否合攏的問(wèn)題．【例2】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF＝2FD＝2，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．(1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求該五面體的體積．[解](1)證明：因?yàn)锳F⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF＝F，所以AF⊥平面EFDC．又AF?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC．(2)由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°．因?yàn)锳B∥EF，所以AB∥平面EFDC．又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF．由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，故∠CEF＝60°．如圖，連接AC，AE，作CM⊥EF于M，因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，CM?平面EFDC，所以CM⊥平面ABEF．因?yàn)锳F＝2FD＝2，所以DF＝CE＝1，EF＝2，CM＝eq\f(\r(3),2)，CD＝1．則V四棱錐A-EFDC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(EF＋CD)×CM×AF＝eq\f(\r(3),2)，V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AB×BE×CM＝eq\f(\r(3),3)．所以五面體ABCDEF的體積V＝V四棱錐A-EFDC＋V三棱錐C-ABE＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5\r(3),6)．類型3直角梯形的翻折如圖所示，在直角梯形中有一類由兩個(gè)直角三角形(特別是其中一個(gè)是等腰直角三角形)拼接而成的直角梯形是翻折問(wèn)題考查的熱點(diǎn)．這類翻折問(wèn)題，一般都沿著兩個(gè)三角形的公共邊進(jìn)行翻折，翻折的位置往往強(qiáng)調(diào)兩個(gè)面互相垂直，這樣容易考查線面垂直和面面垂直中的性質(zhì)定理與判定定理．具體操作時(shí)要注意翻折前后的點(diǎn)與線、線與線位置關(guān)系的變與不變，數(shù)量關(guān)系的變與不變．【例3】如圖(1)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝4，AD＝CD＝2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖(2)所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D-ABC的體積．(1)(2)[解](1)在直角梯形ABCD中，因?yàn)椤螦DC＝90°，AD＝CD＝2，所以∠DAC＝45°，AC＝2eq\r(2)．又AB∥CD，AB＝4，所以∠ACB＝90°，BC＝2eq\r(2)．因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，所以BC⊥平面ACD．(2)V三棱錐D-ABC＝V三棱錐B-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×CD×BC＝eq\f(4\r(2),3)．類型4矩形(正方形)的翻折矩形是大家比較熟悉的平面圖形，對(duì)于矩形的翻折問(wèn)題，常常聚焦于具有一定長(zhǎng)寬比的矩形翻折問(wèn)題．如圖所示．類比于箏形，在圖形沿著對(duì)角線BD或者CF翻折過(guò)程中，垂直關(guān)系始終保持不變，而這就是命題的落腳點(diǎn)．近幾年全國(guó)卷高考題也進(jìn)行了正方形的翻折研究．【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E為BC的中點(diǎn)，把△ABE和△CDE分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P．(1)求證：PE⊥平面PAD；(2)求二面角P-AD-E的大小．[解](1)證明：在矩形ABCD中，有EC⊥CD，EB⊥BA，∴由題意知：PE⊥PD，PE⊥PA，而PD∩PA＝P，∴PE⊥平面PAD．(2)過(guò)E作EF⊥AD于F，連接PF，又AD?平面PAD，由(1)知：PE⊥AD，而PE∩EF＝E，所以AD⊥平面PEF，∴∠PFE為二面角P